2024-2025学年北京市房山区下学期八年级期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年北京市房山区下学期八年级期末考试数学检测试卷，共59页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说 明等内容，欢迎下载使用。
八年级数学一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选 项，符合题意的选项只有一个．
1 ．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A ．正三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正方形
2 ．下列各点中，在直线y = -x +1上的点是( )
A ．(1, 2) B ．(-1, 2) C ．(0, -1) D ．(3, 4)
3 ．关于方程x2 - 3x + 4 = 0 的根的情况，下列说法正确的是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．无法判断
4 ．如图，直线y = kx + b (k ≠ 0) 与 x 轴交于点(3, 0)，则关于 x 的不等式kx + b ≥ 0 的
解集是( )
A ．x ≥ 0 B ．x ≤ 0 C ．x ≥ 3 D ．x ≤ 3
5 ．下表记录了四名男子跳远运动员最近 10 次训练成绩（单位：m ）的平均数与 方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
1 号
2 号
3 号
4 号
平均数
7.98
7.85
7.83
7.98
方差
1.4
2.8
0.9
3.6
A ．1 号 B ．2 号 C ．3 号 D ．4 号
6 ．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , CD ，CE 分别是斜边AB 上的高和中线， 那么下列结论不一定成立的是( )
A ．上ACD = 上ABC B ．上ACD = 上BCE
C ．上BEC = 2上ACE D ．上BCD = 上DCE
7 ．若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A ．矩形 B ．对角线相等的四边形
C ．正方形 D ．对角线互相垂直的四边形
8 ．如图，矩形ABCD 绕点 D 逆时针旋转90° 得到矩形A¢B ¢C ¢D ，连接BB¢ 交CD 于 点 E，F 为BB¢ 的中点，连接DF 交A¢B¢ 于点 G，连接EG ，B ¢D ．给出下面四个结
论：① DF BB ¢ 丄 B¢D ．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9 ．函数 的自变量 x 的取值范围是 ．
10 ．方程x2 = x 的解为 ．
11 ．若一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过二、三、四象限，写出一个满足条件 的一次函数表达式 ．
12 ．一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，这个多边形是 边形．
13 ．关于 x 的方程x2 - 3x + c = 0 有两个相等的实数根，则实数 c 的值为 ．
14 ．如图， △ABC 中，BC = 5 ，AC = 3 ，CE 平分上ACD ，AD 丄 CE 于 E 交BC 于 D， F 为AB 的中点，则EF = ．
15 ．小雯要计算一组数据 94 ，89 ，90 ，92 ，87 ，98 的方差S2 ，在计算平均数的 过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 4 ，-1 ，0 ，2，
-3 ，8，若这组新数据的方差为 S12 ，则 S2 S12 （填“ > ”“ < ”或“= ”）．
16 ．平面直角坐标系xOy 中，点A (2, 2) ，点 B 与点 C 在直线y = kx + b (k ≠ 0, b > 0)
上．若四边形AOBC 是平行四边形，则k = ；若四边形 AOBC 是菱形 （上AOB < 90° ),且面积为 4，则点 B 的坐标为 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17 题 8 分；第 18 题 4 分；第 19-21 ，23 ，25-26 题每题 5 分；第 22 ，24 题每题 6 分；第 27-28 题每题 7 分）解答应写出文字说 明、演算步骤或证明过程，
17 ．解方程：
(1)3(x +1)2 = 12 ；
(2) x2 - 3x +1 = 0 ．
18 ．用配方法解方程：x2 - 4x - 3 = 0 ．
19．平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象与 x 轴交点A 的横坐标为-1，与y 轴 交点 B 的纵坐标为 2．
(1)画出函数图象，并求此一次函数的表达式；
(2)线段AB 的长为 ；坐标原点 O 到直线AB 的距离为 ．
20 ．下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程． 已知： △ABC ．
求作： △ABC 的中线AD ．
作法：①如图，以点 B 为圆心，AC 长为半径作弧；以点 C 为圆心，AB 长为半 径作弧，两弧交于BC 下方的点 E；
@连接AE ，与 BC 交于点 D ．则线段AD 即为所求中线．
根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题：
(1)使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明过程． 证明：连接BE ，CE ，
Q BE = AC ，CE = AB ，
: 四边形ABEC 是________形（________）（填推理依据）， :D 为BC 中点（________）（填推理依据），
: AD 为 △ABC 的中线．
21 ．关于x 的一元二次方程x2 + mx + m - 1 = 0 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求m 的取值范围．
22．某学校为筹备 2025 年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非 遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置 6 个相同的长方形文化展示区（如 “非遗剪纸工作坊”“ 古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实 物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感” ．中心广场长
20 m ，宽 15 m ，各展示区按 2 行 3 列排列（如图所示），广场四周设 1 m 宽的安 全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是20m2 ，请 你帮助活动负责人计算甬道的宽度．
23 ．房山区第二届中小学数学节在 2025 年 3 月启动，本届数学节以“数启智慧， 学创未来”为主题．某学校组织了“数学节lg 设计大赛”活动，共有 160 名同学 参与（全校共 32 个班，每班 5 名同学参与），评委小组给每位同学的参赛作品打 分（百分制）．
(1)为了更好地了解本次大赛成绩的分布情况，随机抽取了40 名同学的成绩作为 样本，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a ．40 名同学成绩的频数分布表与频数分布直方图如下：
40 名同学成绩的频数分布表
分组/成绩 x
频数
频率
50 ≤ x < 60
2
0.05
60 ≤ x < 70m
m
0.10
70 ≤ x < 80
10
0.25
40 名同学成绩的频数分布直方图
b ．40 名同学成绩在80 ≤ x < 90 这一组的数据如下表所
示：
根据以上信息，回答下列问题：
① m = ________；
②补全 40 名同学成绩的频数分布直方图；
③学校准备对成绩优秀（分数不低于 85 分）的同学进行表彰，通过分析样本数 据，估计 160 名参与者中可获得表彰的有________名学生；
(2)学校准备对成绩优秀的班级也进行表彰．对每个班级，计算 5 名参赛同学成 绩的平均数和方差，平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的 班级排序靠前．其中，甲、乙、丙三个班每班 5 名同学的成绩如下：
若乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中， 则这三个班中排序最靠前的是________ 班，表中p（p 为整数）的值为________．
80 ≤ x < 90
10
0.25
90 ≤ x ≤ 100
合计
40
1.00
成绩（分）
80
82
85
87
88
89
频数
4
2
1
1
1
1
班级
成绩
1
成绩
2
成绩
3
成绩
成绩
5
甲班
93
92
93
93
94
乙班
91
95
94
92
p
丙班
92
91
94
93
94
24 ．如图，在 △ABC 中，上ABC = 90° , AD 平分 ÐBAC ，上ACE = 上BAD ，且 EA 丄 AB ．
(1)求证：四边形ADCE 是平行四边形；
(2)若AB = 3 ，BC = 4 ，求 AE 的长．
25 ．小林自制了两支形状不同的蜡烛（蜡烛 A 和蜡烛 B），蜡烛 A 为圆柱形．同 时点燃这两支蜡烛，当燃烧时长为 t（单位：min ）时，小林分别记录了蜡烛 A 的剩余高度h1 （单位：cm ）和蜡烛 B 的剩余高度h2 （单位：cm ），部分数据如下：
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1 与 t ，h2 与 t 之间的关系．如图，在给
出的平面直角坐标系中，画出了h1 与 t 的函数图象，并描出了h2 与 t 对应值为坐 标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
h1 /cm
12.0
10.0
8.0
6.0
4.0
0
h2 /cm
11.0
10.6
9.6
8.0
5.9
3.2
0
①在燃烧过程中，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约为 cm （结果保 留小数点后一位）；
@当两支蜡烛的剩余高度的差为1.5cm 时，其燃烧时长约为 min （结果保留整 数）．
26．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 与y = -kx + 3 的图象交于点 (2,1) ．
(1)求k, b 的值；
(2)若函数y = mx (m ≠ 0) 与函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象的交点位于直线x = 2 的左侧， 直接写出m 的取值范围．
27 ．如图，在正方形ABCD 中，点 E，F 分别在CD 和AD 上，AE = BF ，AE 与BF 交于点 G．
(1)判断AE 与BF 的位置关系并证明；
(2)连接AC ，取 AC 中点 O，连接OG ．过点 C 作CH 丄 AE ，交 AE 的延长线于点 H．
①依题意补全图形；
@用等式表示线段AG ，OG ，GH 之间的数量关系，并证明．
28 ．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形W1 和图形W2 ，给出如下定义：点 P 是 图形W1 上任意一点，点Q 是图形W2 上任意一点，取线段PQ 中点T ．则称点 T 是 图形W1 和图形W2 的“居中点”．
(1)如图 1，点 A (-4,0)，点 B (0,3) ．
①在点C1 (-3,0) ，C2 (çè 0, ，C3 (çè -1,÷中，点 是点 O 和线段AB 的“居中点”；
@若点D (-1,0) 是直线y = -x + n 和线段AB 的“居中点”，则n 的最大值为 ；
(2)已知点A (t, t +1) ，B (t - 2, t ) ，C (t, t -1) ，D (t + 2, t) ，M (0, -t) ，N (-t,0) ，若图形 ABCD 上存在图形ABCD 和线段MN 的“居中点”，直接写出 t 的取值范围．
1 ．C
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．根 据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【详解】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查了求一次函数的值，将各选项的坐标代入直线方程，验证是否满足方程即 可．
【详解】解： A、点(1, 2)，代入方程y = -x +1，左边y = 2 ，右边= -1+1 = 0 ，2 ≠ 0 ，故 A 不在直线上，不符合题意；
B、点(-1, 2) ，代入方程y = -x +1，左边y = 2 ，右边= - (-1) +1 = 2 ，2 = 2 ，故 B 在直线上， 符合题意；
C、点(0, -1) ，代入方程 y = -x +1，左边 y = -1，右边= -0 +1 = 1 ，-1 ≠ 1，故 C 不在直线 上，不符合题意；
D、点(3, 4)，代入方程y = -x +1，左边y = 4 ，右边= -3 + 1 = -2 ，4 ≠ -2 ，故 D 不在直线上， 不符合题意．
故选：B．
3 ．C
【分析】本题考查根的判别式， 求出判别式的符号，进行判断即可，熟练掌握根的个数与判 别式之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵ x2 - 3x + 4 = 0 ， : Δ = (-3)2 - 4× 4 × 1 = -7 < 0 ， :方程没有实数根；
故选 C．
4 ．D
【分析】本题考查了一次函数图像与 x 轴交点求解不等式解集，从图象入手分析，根据不等 式与一次函数的交点确定不等式的解集即可．
【详解】解：由图象和题意可知：y = kx + b (k ≠ 0) 交 x 轴于点(3, 0)， 不等式kx + b ≥ 0 的解集即为y ≥ 0 时 x 的取值范围，
由图象可知当x ≤ 3 时，y ≥ 0 ， 故选：D．
5 ．A
【分析】本题考查了平均数和方差， 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均 数相同时选择方差较小的参加比赛．
【详解】解：∵ 1 号和 4 号的平均数较大， :从 1 号和 4 号中选择一人参加竞赛，
∵ 1 号的方差较小，
:选择 1 号参加比赛， 故选：A．
6 ．D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质， 解决本题 的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系．
【详解】解：A 选项：在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , :上A + 上ABC = 90° ,
QCD 丄 AB ，
:上ADC = 90° ,
:上A + 上ACD = 90° ,
:上ACD = 上ABC ， 故 A 选项一定成立；
B 选项：Q在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , CE 是AB 边上的中线，
:上ABC = 上BCE ，
由 A 选项可知上ACD = 上ABC ， :上ACD = 上BCE ，
故 B 选项一定成立；
C 选项：Q上BEC 是 △AEC 的外角，
:上BEC = 上A + 上ACE ， 由 B 选项可知AE = EC ，
:上A = 上ACE ，
:上BEC = 2上ACE ， 故 C 选项一定成立；
D 选项：当上ABC = 60° 时， △BCE 是等边三角形，
QCD 丄 BE ，
:CD 平分上BCE ，
则有上BCD = 上DCE ，
若上ABC ≠ 60° ,则 上BCD = 上DCE 不成立， 故 D 选项不一定成立．
故选：D．
7 ．B
【分析】根据题意画出图形，由四边形 EFGH 是菱形，点 E ，F，G ，H 分别是边 AD，AB， BC，CD 的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线 相等的四边形．
【详解】解：:点 E，F，G ，H 分别是边 AD，AB ，BC，CD 的中点，
:EHⅡⅡ :EHⅡFG ，EH＝FG，
:四边形 EFGH 是平行四边形，
根据题意得：四边形 EFGH 是菱形， :EF＝EH，
:AC＝BD，
:原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选 B．
【点睛】本题考查的是中点四边形、菱形的判定， 掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理 是解题的关键．
8 ．A
【分析】连接BD ，根据旋转性质可以确定上BDB¢ = 90° , 根据直角三角形斜边中线等于斜边 的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明 △BCE≌△DA¢ G (AAS) 从而得出结论②；证明
△DFE≌△B ¢FG (AAS)，通过勾股定理从而得出结论③；延长 EG 交DB ¢ 于点 H，通过平行 线的判定与性质即可证明结论④ .
【详解】解：如图，连接 BD ，
Q矩形ABCD 绕点 D 逆时针旋转90° 得到矩形A¢B ¢C ¢D ，
:上BDB¢ = 90° ,
Q F 为BB¢ 的中点，
故①正确；
Q矩形ABCD 绕点 D 逆时针旋转90° 得到矩形A¢B ¢C ¢D ，
:上C = 上DA¢B ¢ = 90° , BC = DA¢ , :上CA¢B ¢ = 90° ,
:上CBE = 上A¢B ¢E ，
QDB = DB ¢ , F 为BB¢ 的中点， Q 上DFE = 上B¢A¢E = 90° ,
:上A¢DG + 上DEF = 上A¢B ¢E + 上DEF = 90° , :上A¢B ¢E = 上A¢DG ，
:上CBE = 上A¢DG ，
又Q 上C = 上DA¢B ¢ = 90° , BC = DA¢ ,
:△BCE≌△DA¢ G (AAS) ，
:CE = A¢ G ，故②正确；
¢ , 上DFB¢ = 上DFE = 90° , 上A¢B ¢E = 上A¢DG ， :△DFE≌△B ¢FG (AAS)，
:EF = FG ，
: △EFG 为等腰直角三角形，
故③正确；
如图，延长EG 交DB ¢ 于点 H，
QDF = BF ，上DFB = 90° ,
:上DBF = 45° ,
Q EF = FG，上GFE = 90° ,
:上GEF = 45° ,即 上DBF = 上GEF ，
:EH Ⅱ BD ，
:上EHB¢ = 上BDB¢ = 90° , :EG 丄 B¢D ，故④正确， 故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质求解， 矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判 定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
9 ．x ≠ 2
【分析】本题考查了自变量的取值，分式有意义的条件，根据题意得到 x - 2 ≠ 0 ，解不等式 即可求解．
解：函数 ， : x - 2 ≠ 0 ，
解得，x ≠ 2 ，
故答案为：x ≠ 2 ．
10 ．x1 = 0 或x2 = 1
【分析】题目主要考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：x2 = x ，
: x2 - x = 0 ，
即x(x -1) = 0 ，
: x1 = 0 或x2 = 1，
故答案为：x1 = 0 或x2 = 1．
11 ．y = -x -1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系，理解题意，熟练 掌握一次函数的性质是解题关键．
根据题意确定 k，b 的取值范围，从而写出其解析式即可．
【详解】解：:一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过二、三、四象限， : k < 0, b < 0 ，
:解析式为：y = -x -1（答案不唯一）， 故答案为：y = -x -1 （答案不唯一）．
12 ．6##六
【分析】本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理， 熟练掌握该定理是解题的关键．利 用多边形的外角和为360° 以及多边形内角和定理即可解决答案．
【详解】解：设这个多边形边数为 x，内角和为 180° (x - 2) ，
:多边形外角和为360° , : 180° (x - 2) = 2 × 360° , 解得：x = 6 ，
故答案为：6．
13 ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用，根据方程有两个相等的实数根得到
Δ = (-3)2 - 4c = 0 ，由此即可求解．
【详解】解：关于 x 的方程x2 - 3x + c = 0 有两个相等的实数根， : Δ = (-3)2 - 4c = 0 ，
解得，c = ，
故答案为： ．
14 ．1
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质， 三角形中位线的判定与性质，掌握这些知识 点是解题的关键．根据CE 平分上ACD ，AD 丄 CE ，证明△ACE≌△DCE(ASA ) ，得出
AE = DE ，AC = CD = 3 ，求出BD = BC - CD = 2 ,进而可得EF 是△ABD 的中位线，再得出 答案即可．
【详解】解：: CE 平分上ACD ，AD 丄 CE ， : 上ACE = 上DCE ，上AEC = 上DEC = 90° ,
: CE = CE ，
:△ACE≌△DCE(ASA ) ， : AE = DE ，AC = CD = 3 ，
: BD = BC - CD = 2 ,
:点F 是边AB 的中点，
: EF 是△ABD 的中位线，
故答案为：1．
15 ．=
【分析】本题考查方差的意义：一般地设n 个数据， x1 ，x2 ， …xn 的平均数为x ，则方差
2 1 2 2 2
S = n [(x1 - x ) + (x2 - x ) +…+ (xn - x ) ] ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动
性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变， 即方差不变，即可得出答案．
【详解】解： Q 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都 加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变，
: S12 = S ．
故答案为：= ．
16 ． 1
【分析】题目主要考查平行四边形和菱形的性质， 一次函数的应用，理解意义，结合图形确 定直线函数解析式是解题关键．
根据平行四边形的性质即可确定k = m = 1 ；过点 B 作BH丄 AO ，取AO 中点 S，y 轴坐标 R， 连接RS ，过点H作HT丄 x 轴，根据题意得出 ，再由等腰直角三角形确定H( )， 结合图形确定直线CB 经过点R(0, 2) ，得出直线 CB 的解析式为y = x + 2 ，设点 B 的坐标为 (x, x + 2)，再由两点之间的距离公式求解即可．
【详解】解：∵ A (2, 2) ，四边形 AOBC 是平行四边形， : AO ⅡBC ，
设直线AO 的解析式为y = mx ， : 2 = 2m ，
解得：m = 1，
∵点 B 与点 C 在直线y = kx + b (k ≠ 0, b > 0) ， : k = m = 1 ；
根据题意，作图如下：过点 B 作BH丄 AO ，取 AO 中点 S，y 轴坐标 R，连接 RS ，过点 H 作HT 丄 x 轴，
∵四边形AOBC 是菱形（上AOB < 90° ),且面积为 4 ，AO = = 2 ，
: BH = 、 ，
: OH = 、 ，
∵ Ð AOT = 45° , : OT = HT = · , : H ( ) ， ∵S (1,1), R (0, 2) ，
: SR = = ， ∵ SO = 、 ，
: OS2 + SR2 = OR2 ， : RS 丄 AO ，
:直线CB 经过点R(0, 2) ，
:直线CB 的解析式为y = x + 2 ， 设点 B 的坐标为(x, x + 2)，
: BH2 = (x - )2 + (x + 2 - )2 = 2 ，
解得：x = 1 + 23 - 3 > 1 （不符合题意，舍去）或 x = 1 - 23 - 3 : x + 2 = 3 - 23 - 3 ，
:点 B 的坐标为(1- ,3 - )，
故答案为：(1- ,3 - ) ．
17 ．(1) x1 = 1, x2 = -3
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、 配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）先将方程变形为(x +1)2 = 4 ，再利用直接开平方法解方程即可得；
（2）利用公式法解方程即可得． 【详解】（1）解：3 (x +1)2 = 12 ，
(x +1)2 = 4 ， x +1 = ±2 ，
x = -1± 2 ，
x = 1 或x = -3 ，
所以方程的解为x1 = 1, x2 = -3 ．
（2）解：方程x2 - 3x +1 = 0中的a = 1, b = -3, c = 1 ，
方程根的判别式为 Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4× 1 × 1 = 5 > 0 ，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为
18 ．x1 = 2 + , x2 = 2 -
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、 配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将x2 - 4x - 3 = 0变形为
x2 - 4x = 3，再利用完全平方公式配方为(x - 2)2 = 7 ，再求解即可得．
【详解】解：x2 - 4x - 3 = 0 ， x2 - 4x = 3 ，
x2 - 4x + 4 = 3 + 4 ， (x - 2)2 = 7 ，
所以方程的解为
19 ．(1) y = 2x + 2 ，图见解析
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答 本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意得出A(-1, 0), B (0, 2) ，画出函数图象，然后利用待定系数法可以求得该函数 的解析式；
（2）根据勾股定理得出 再由三角形等面积法即可得出结果．
【详解】（1）解：∵一次函数图象与 x 轴交点A 的横坐标为-1，与 y 轴交点 B 的纵坐标为 2．
: A(-1, 0), B (0, 2) ，
函数图象如图所示：
设一次函数解析式为y = kx + b (k ≠ 0)
将A(-1, 0), B (0, 2) 代入解析式得：
解得：
:一次函数解析式为y = 2x + 2
（2）根据题意得：AO = 1, BO = 2 ，
设原点 O 到直线AB 的距离为 h ， 根据题意得
解得： ，
故答案为 ．
20 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查基本作图及平行四边形的判定和性质， 理解题意，综合运用这些知识 点是解题关键．
（1）根据题意作图即可；
（2）根据题中证明过程结合平行四边形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）解：如图所示即为所求；
（2）证明：连接 BE ，CE ，
Q BE = AC ，CE = AB ，
: 四边形ABEC 是平行四边形形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， :D 为BC 中点（平行四边形的对角线互相平分），
: AD 为△ABC 的中线．
21 ．(1)证明过程见详解
(2) m ≤ 1
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别 式，求根公式，分类讨论思想是关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）根据求根公式得到 分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于x 的一元二次方程x2 + mx + m - 1 = 0 ， : Δ = m2 - 4(m -1) = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 ，
:方程总有两个实数根；
（2）解：关于x 的一元二次方程x2 + mx + m - 1 = 0 ， Δ ≥ 0 ，
当m ≥ 2 时 ，
解得， ∵方程有一个根为非负数，
: 1- m ≥ 0 ，
解得，m ≤ 1，与m ≥ 2 不符合； 当m < 2 时
解得，
: 1- m ≥ 0 ，
解得，m ≤ 1；
综上所述，m ≤ 1．
22 ．甬道的宽度为 3 米．
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设甬道的宽度为 x 米，根据图形列出方程求解即可．
【详解】解：设甬道的宽度为 x 米，
根据题意得：(15 - 2 × 1- x)(20 - 2 × 1- 2x) = 20 × 6 ，
解得：x = 3 或x = 19 （不符合题意，舍去）
:甬道的宽度为 3 米．
23 ．(1)①4 ；②见详解；③ 72
(2)甲，92
【分析】本题主要考查频数分布直方图，平方数，方差的运用，掌握以上知识的计算是关键．
（1）①根据频数的计算方法求解即可；②根据频数得到90 ≤ x ≤ 100 的人数，由此即可补 全图形；③根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解；
（2）分别算出平均分，方差进行比较即可求解． 【详解】（1）解：① m = 40 × 0.10 = 4 ；
② 90 ≤ x ≤ 100 的人数为：40 - 2 - 4 -10 -10 = 14 （人）， :补全图形如下，
③成绩优秀（分数不低于 85 分）的同学的人数为4 +14 = 18 （人），
（2）解：平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前， 甲班 5 名参赛同学成绩的平均数为 甲 方差为
乙班 5 名参赛同学成绩的平均数为 乙
丙班 5 名参赛同学成绩的平均数为 丙 :乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，93 > 92.8 ，
:这三个班中排序最靠前的是甲，
当乙、丙平均分相同时 解得，p = 91，
此时乙班的方差为S乙 : 2.56 > 1.36 ，
:不符合题意，舍去，
:乙班的平均分高于丙班的平均分，
:当 时，p = 91.5 ，不符合题意；
当 时，p = 92 ，符合题意，
此时乙班的方差为S乙2 = (93 - 91)2 + (93 - 95)2 + (93 - 94)2 × 2 +(93 - 92)2 × 2 = 2.2 ， : x甲 = x乙 > x丙 ，S甲 < S乙 ，
符合平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前， : p = 92 ．
24 ．(1)证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质， 角平分线的性质，平行线的判定，相似 三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用同旁内角互补两直线平行得出 AE Ⅱ BC ，利用角平分线的性质及等量代换得出
上CAD = 上ACE ，利用内错角相等两直线平行得出CE∥AD ，利用两组对边分别平行即可得 出平行四边形；
（2）过点D 作DF TAC 交AC 于点F ，利用角平分线的性质和平行四边形的性质得出相等 的边，假设CD = AE = x ，则 DF = BD = 4 - x ，判定出△DFC∽△ABC ，利用相似三角形的 性质得出 最后求解即可．
【详解】（1）证明：: EA 丄 AB ，
:上EAB = 90° ,
:上EAB + 上ABC = 180°
: AE Ⅱ BC ，
: AD 平分7BAC ， : 上CAD = 上BAD ，
又: 上ACE = 上BAD ， : 上CAD = 上ACE ， : CE P AD ，
:四边形ADCE 是平行四边形；
（2）解：如图，过点 D 作DF TAC 交AC 于点F ，
又∵AD 平分 ÐBAC ，上ABC = 90° , : DF = BD ，
由（1）得四边形 ADCE 是平行四边形， : CD = AE ，
假设CD = AE = x ，则 DF = BD = 4 - x ， 由勾股定理得 ∵上DCF = 上ACB, 上DFC = 上ABC = 90° , :△DFC∽△ABC ，
即 ， 解得 ，
25 ．(1) 2.0
(2)作图见详解，h2 随时间t 的增加，逐渐减小
(3)①10.9cm ；②燃烧时长约为19 min 或45 min
【分析】本题主要考查函数图象获取信息， 描点，连线绘制函数图象，理解表格系数，函数 图象的性质是关键．
（1）根据表格信息求解；
（2）运用描点连线作图，结合函数图象分析即可；
（3）①根据函数图象判定即可；②根据函数图形判定即可．
【详解】（1）解：根据题意，每 10 分钟记录一次燃烧后剩余的高度，h1 的变化情况是逐渐 减少2cm ，
:表格中空缺的数值为2.0 ，
故答案为：2.0 ；
（2）解：根据表格描点如下，
根据图象得到，h2 随时间t 的增加，逐渐减小；
（3）解：①根据（2）中的函数图象可得，当两支蜡烛的剩余高度相同时，其剩余高度约 为10.9cm ；
②根据图形可得，当t = 20 min 时，h1 = 8.0cm, h2 = 9.6cm ，
:当两支蜡烛的剩余高度的差为1.5cm 时，其燃烧时长约为19 min ； 当t = 40 min 时，h1 = 4.0cm, h2 = 5.9cm ，
:当两支蜡烛的剩余高度的差为1.5cm 时，其燃烧时长约为45 min ；
综上所述，燃烧时长约为19 min 或45 min ．
26 ．(1)k = 1, b = -1
或m < 0
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，掌握一次函数图象的性质 是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到， ，再根据 m 的值越大，越靠近y 轴，正比例函数经过第二、四 象限的情况判定即可求解．
【详解】（1）解：一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 与y = -kx + 3 的图象交于点(2,1) ， :把点(2,1) 代入y = -kx + 3 得，-2k + 3 = 1 ，
解得，k = 1，
: y = kx + b = x + b ，
再把点(2,1) 代入y = x + b 得，2 + b = 1， 解得，b = -1；
（2）解：由（1）得到，k = 1, b = -1 ，
:函数y = kx + b (k ≠ 0) 的解析式为y = x -1， 当x = 2 时，y = x -1 = 2 -1 = 1，即 (2,1) ，
∵函数y = mx (m ≠ 0) 与函数y= x -1 的图象的交点位于直线x =2 的左侧， :把点(2,1) 代入得，2m = 1，
解得， ，
: m > ；
当函数y = mx (m ≠ 0) 图形经过第二、四象限时，m < 0 ，此时函数 y = mx (m ≠ 0) 与函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象的交点位于直线x =2 的左侧；
综上所述 或m < 0 ．
27 ．(1) AE 丄 BF ，见解析
(2)①图见解析；② GH - AG = OG ，见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握基本 知识，合理作出辅助线．
（1）通过证明Rt△ABF≌Rt△DAE (HL)，得出上ABF = 上EAD ，再由各角之间的关系即可求 解；
（2）①根据题意补全图形即可；
②取OH 的中点 T，连接 OT ，过点 O 作OM 丄 BG ，根据全等三角形的判定和性质得出
△BMO≌△ATO(AAS) ，再由正方形的判定和性质得出四边形 OMGT 为正方形，确定 ∠OGT = 45° ,再由勾股定理确定 OT = GT = OG ，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD 为正方形，
: AB = AD, 上BAF = 上D = 90° , ∵ AE = BF ，
: Rt △ABF≌Rt△DAE (HL)， : 上ABF = 上EAD ，
∵ 上ABF + 上AFB = 90° , : 上EAD + 上AFB = 90° ,
: 上AGF = 90° , : AE 丄 BF ；
（2）解：①根据题意补全图形如图所示：
②取AH 的中点 T，连接 OT ，过点 O 作OM 丄 BG ，如图所示： 根据题意得： Ð BGT = Ð GMO = 90° ,
∵ AH 的中点 T，AC 的中点 O， : OT ∥ CH ，AT = TH ，
: OT 丄 AH ，
:四边形OMGT 为矩形， ∵正方形ABCD ，
: BO = AO, Ð ABO = Ð OAD = 45° ,
: 上OBM = 上OAT ，
∵ Ð BMO = Ð ATO = 90° , : △BMO≌△ATO(AAS) ， : OM = OT ，
:四边形OMGT 为正方形， :∠OGT = 45° ,
: Ð OGT = Ð GOT = 45° ,
∵ GT = AT - AG = TH - AG = GH - TG - AG ，
: 2GT = GH - AG = OG ．
28 ．(1) ① C2 ，C3
② 2
(2)t 的取值范围是 或
【分析】本题考查坐标与图形， 中点坐标，一次函数，解题的关键是正确理解“居中点”的定 义．
（1） ① 根据点的坐标写出直线的解析式，根据中点坐标公式可得点O 关于C1 ，C2 ，C3 的 对称点，依次判断所得对称点是否在线段AB 上即可；② 根据“居中点”的定义和一次函数图 象的性质，确定n 取最大值的条件，解方程即可得n 的最大值；
（2）根据点的坐标，在平面直角坐标系中画图，改变 t 的大小，分析图形的运动方向，可 得线段与四边形的距离随t 的变化规律，分类讨论，分别确定不同情况下t 的最大值和最小 值，即可得t 的取值范围．
【详解】（1）解： ① 设AB 所在直线的解析式为y = kx + b ， : A(-4, 0) ，B (0, 3)
解得，
: AB 所在直线的解析式为 ，
, C3 (çè -1, ，O (0, 0) ，
:点O 关于C1 ，C2 ，C3 的对称点依次为O1 (-6, 0) ，O2 (0, 3) ， ， :-6 < -4 ，
:点O1 不在线段AB 上，
:点C1 不是点 O 和线段AB 的“居中点”，
: O2 (0, 3) 和 的横纵坐标满足 ，且横坐标在 -4 ≤ x ≤ 0 范围内， :点O2 和O3 在线段AB 上，
:点C2 和C3 是点 O 和线段AB 的“居中点”， 故答案为：C2 ，C3 ．
②如图，点A ，B 关于点D 的对称点分别为A¢ (2, 0) ，B ¢ (-2, -3)， 连接A¢B¢ ,则点 D 为线段A¢B¢ 与线段AB 的“居中点”，
:点D(-1, 0) 是直线y = -x + n 和线段AB 的“居中点”，
:直线y = -x + n 与线段A¢B¢ 有公共点，
:-1< 0
:当直线y = -x + n 过点A¢ 时，n 取得最大值，由-2 + n =0 得，n = 2 ， : n 的最大值为2 ，
故答案为：2 ．
（2）解：设直线 AD 的解析式为y = mx + n ， : A(t, t +1) ，D (t + 2, t)，
:直线AD 的解析式为 设直线BC 的解析式为y = px + q ，
: B (t - 2, t ) ，C (t, t -1) ，
:直线BC 的解析式为
: A(t, t +1) ，B (t - 2, t ) ，C (t, t -1) ，D (t + 2, t)， :四边形ABCD 是菱形，且形状和大小与t 无关，
又: B (t - 2, t ) ，N (-t, 0)，
: BN 的中点为 即 ， : D (t + 2, t) ，N (-t, 0)，
: DN 的中点为 即(çè 1, t ，
当t < 0 时，如图2 -1 ，t 越小，线段MN 与菱形ABCD 距离越远， :图形ABCD 上存在图形ABCD 和线段MN的“居中点”，
:当点M位于AD 上时，t 取最大值，
: M (0, -t)，直线 AD 的解析式为
当BN 的中点位于AD 上时，t 取最小值，
: BN 的中点为 ，直线 AD 的解析式为
当t > 0 时，如图2 - 2 ，t 越大，线段MN 与菱形ABCD 距离越远， :图形ABCD 上存在图形ABCD 和线段MN的“居中点”，
:当点M位于BC 上时，t 取最小值，
∵ M (0, -t)，直线 BC 的解析式为
当DN的中点位于BC 上时，t 取最大值，
∵ DN 的中点为(çè 1, t ÷,直线 BC 的解析式为 ，
答：t 的取值范围是 或