2024-2025学年北京市景山学校2024~2025学年下学期八年级期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年北京市景山学校2024~2025学年下学期八年级期末数学检测试卷，共51页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
北京景山学校 2024～2025 学年度第二学期期末考试
八年级数学
2025 年 7 月
本试卷共 8 页，满分 100 分，考试时长 100 分钟．考生务必将答案答在答题卡 上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题 2 分，共 16 分）．
1 ．已知2a = 3b(ab ≠ 0) ，则下列比例式成立的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列函数中，是反比例函数的是( )
A ． B ． C ．y = x2 D ．
3 ．eO 的半径为 3，点 P 到圆心 O 的距离为 5，点 P 与eO 的位置关系是( )
A ．点 P 在eO 内 B ．点 P 在eO 上 C ．点 P 在eO 外 D ．无法确定
4 ．已知点A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 都在反比例函数 的图象上，且x1 > x2 > 0 ，则y1 与y2 的大 小关系是( )
A ．y1 > y2 B ．y1 < y2 C ．y1 = y2 D ．无法判断
5 ．在Rt△ABC 中，上C = 90° , AC = 2 ，BC = 1，则 tan上A 的 值 为 ( )
B ．2 C ． D ．
6 ．三角形内切圆的圆心为( )
A ．三条高的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条角平分线的交点 D ．三条中线的交点
7 ．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为2 : 5 ，且三角尺的面积 为4cm2 ，则投影三角形的面积为( )
A ．10cm2 B ．25cm2 C ． D ．
8．如图，eO 的半径为2 , AB 为直径，过AO 中点C 作CD 丄 AB 交eO 于点D ，连接AD, BD ， 点P 为半圆AmB 上一动点，连接PD ，过点D 作DE 丄 PD ，交PB 的延长线于点E ．有如下 描述
① 上ADB = 90° ;
②当点P 由点A 向点B 运动时，DE 的长增大；
③ 上E = 30° ;
④ DE 最长时为 6．
以上描述正确的有( )
A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①③④
二、填空题（每题 2 分，共 16 分）
9 ．反比例函数 的图象如图所示，则k 的值可能是 （写出一个即可）．
10 ．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 tan，＜，或=”）．
13 ．如图，在YABCD 中，点E 在AB 上，CE ，BD 交于点F ，若 AE : BE = 2 :1，且 BF = 2 ，则 DF = ．
14 ．如图，四边形ABCD 内接于eO ，如果它的一个外角上DCE = 64° , 那么上BOD 的度数 为 ．
15 ．如图，P 是eO 外的一点，PA 、PB 分别与eO 相切于点A 、B ，C 是上的任意一 点，过点C 的切线分别交PA 、PB 于点D 、E ，若△PDE 的周长是10 ，则 PA = ．
16 ．如图，在Rt△ABO 中，上AOB = 90° , OA = 4 ，OB = 3 ，eO 的半径为 1，P 为线段AB 上一点，过点 P 作eO 的切线，切点为 C，连接OP 交eO 于点 D，连接CD ．
（1）当点 P 与点A 重合时，sin 上CPO 的值为 ；
（2）当弦 CD 的长最小时，sin 上CPO 的值为 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17－23 题每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分， 第 26－27 题每题 7 分，第 28 题 8 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程．
17 ．计算
18 ．已知：eO 为△ABC 的外接圆，D 是BC 边上的一点，连接AD ．
求作： Ð BEC ，使得点 E 在线段AD 上，且上BEC = 2上BAC ．
作法：
①连接OB ，分别作线段OB ，BC 的垂直平分线l1 ，l2 ，两直线交于点 P；
②以点 P 为圆心，PB 长为半径作圆，交线段AD 于点E；
③连接BE ，CE ．
ÐBEC 就是所求作的角．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明． 证明：连接OC ．
∵点A ，B ，C 在eO 上，
填推理的依据）．
∵点 B ，O ，E，C 在eP 上， : ÐBEC = Ð .
: ÐBEC = 2ÐBAC ．
19．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴 心 O 为圆心的圆，已知圆心 O 始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB 为 6 米时，水 面下盛水筒的最大深度为 1 米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB 从原来的6 米变为 8 米时，则水面下盛水筒的最大 深度为多少米？
20 ．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD 丄 AB 于点 E．
(1)求证：上BCO = 上D ；
(2)若CD = 4 ，OE = 1 ，求。O 的半径．
21 ．如图，在 Rt△ABC 中， 上ACB = 90° , 点 D 在 AB 上， CA = CD ，过点 B 作 BE 丄 CD ， 交CD 的延长线于点 E．
(1)求证： △ABC ∽△DBE ；
(2)如果BC = 5 ，BE = 3 ，求 AC 的长．
22 ．如图，在Rt△ABC 中，上CAB = 90° , , AC = 8 ，BD 平分Ð CBA 交AC 边于 点D ．
(1)直接写出线段AB 的长： ；
(2)过D 点作DE 丄 BC 于点E ，补全图形，并求线段 AD 的长．
23 ．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数y = k (x + 2) -1(k > 0) 的图象与反比例函数 y = m ≠ 0) 的图象的一个交点为A (-2，n) ．
(1)求反比例函数y = 的解析式；
(2)当x > 1 时，对于 x 的每一个值，一次函数y = k (x + 2) -1(k > 0) 的值大于反比例函数 y = m ≠ 0) 的值，直接写出 k 的取值范围．
24．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的eO 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，上上BAC ．
(1)求证：BF 是eO 的切线；
(2)若AB = 5 ，tan 上CBF = ，求CE 的长．
25．河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年 (955 年)重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会 经济、文化发展起到了积极的促进作用．某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小 组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量妙乐寺塔高度
测量工具
测角仪、皮尺等
活动形式
以小组为单位
已知测角仪的高度为 1.5 米，点 C，E，A 在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB 的高 度．(参考数据：sin37° ≈ 0.60 ，cs37° ≈ 0.80 ，tan37° ≈ 0.75 )
26 ．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y = ax2 + bx 与 x 轴有两个交点，其中一个交点的坐 标为(-b，0).
(1)求 a 的值和抛物线的对称轴( 用含 b 的式子表示) ；
(2)若点A(2，y1 ) ，B (b，y2 ) ，C (b +1，y3 ) 在该抛物线上，且y3 < y1 < y2 ，求 b 的取值范围.
27 ．如图，在 △ABC 中，点D 在AC 边上，作点D 关于AB 的对称点D¢ ,连接DD¢ 交AB 于 点E ，连接BD ，作BF 丄 BD （点 F 在BC 右侧），且BF = BD ，连接BD¢ , DF ，D¢F ，D¢F 交AB 于点G ．
(1)①依题意补全图形；
②若上ABD = a ，用含有 a 的式子表示上BFD¢ 的度数；
(2)用等式表示线段BE 与GF 的数量关系，并证明．
28 ．在平面直角坐标系xOy 中， eO 的半径为1 ．对于eO 的弦 AB 和点 C ，给出如下定义： 若在eO 上或其内部存在一点C¢ 使得四边形CAC¢B 是菱形且AB 是该菱形的对角线，则称点 C 是弦AB 的“伴随点”．
测量示意图
测量步骤及结果
如图，步骤如下：
在 C 处使用测角仪测得塔的顶部点 B 的仰角
上BDG = 37° ;
②沿着CA 方向走到 E 处，用皮尺测得CE = 12.5 米；
③在 E 处使用测角仪测得塔的顶部点 B 的仰角
上BFG = 45°
……
(1)如图，点A(0,1), B(1,0) ．
①在点 中，弦AB 的“伴随点”是点 ； @若点D 是弦AB 的“伴随点”且 ÐADB = 120° ,则 OD 长为 ；
(2)已知P 是直线y= x 上一点，且存在eO 的弦，使得点 P 是弦MN的 “ 伴随点 ” . 记点P 的横坐标为t ，当 t > 0 时，直接写出t 的取值范围．
1 ．B
【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可 得解．
解：A 、由 得ab = 6 ，故本选项错误，不符合题意；
得2a = 3b ，故本选项正确，符合题意；
得3a = 2b ，故本选项错误，不符合题意；
得3a = 2b ，故本选项错误，不符合题意； 故选：B．
2 ．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如 且 k 为常数，的函 数叫做反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有 B 选项中的函数是反比例函数， 故选：B．
3 ．C
【分析】根据点与圆的位置关系： 点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等 于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内，据此判断即可．
【详解】解：点 P 到圆心 O 的距离为 5，半径为 3 ，5>3 ，则点 P 在eO 外． 故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
4 ．B
【分析】本题考查反比例函数 ） 的性质．解题关键在于先根据k 值判断函数在 相应象限的单调性，再依据已知点横坐标的大小关系及点所在象限，利用函数单调性来比较 纵坐标的大小．对于反比例函数 ），当 k > 0 时，在每个象限内，y 随x 的增大 而减小；当k < 0 时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．在函数 中，k = 2 > 0 ，所 以此函数在每个象限内y 随x 的增大而减小．已知x1 > x2 > 0 ，这表明点A(x1, y1 ) 和B(x2, y2 )
都在第一象限．由于在第一象限内该反比例函数y 随x 增大而减小，且x1 > x2 ，从而得出
出y1 与y2 的大小关系．
【详解】解：对于反比例函数 ， : k = 2 > 0 ，
:在每个象限内y 随x 的增大而减小．
: x1 > x2 > 0 ，说明点A(x1, y1 )，B (x2, y2 ) 都在第一象限，又在第一象限内y 随x 增大而减小，
:当x1 > x2 时，y1 < y2 ， 故选：B．
5 ．A
【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据tan上代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图：
:在Rt△ABC 中，上C = 90° , AC = 2 ，BC = 1，
故选：A
6 ．C
【详解】试题分析： 三角形外接圆的圆心是三条线段中垂线的交点，三角形内切圆的圆心是 三条角平分线的交点，故本题选 C．
7 ．B
【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用， 根据对应边的比为2 : 5 ，再得出 投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为2 : 5 ，对应边的比 为2 : 5 ，则面积比为 4 : 25 ，即可得出投影三角形的面积．
【详解】解：:位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2 : 5 ，三角尺 的面积为4cm2 ，
:投影三角形的面积为25cm2 ．
故选：B．
8 ．C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特 殊角三角函数值，求特殊角等知识．
根据连AP, OD ，根据直径所对的圆周角得到上ADB = 90° , 故①正确，再由CD 丄 AB ，半 径长为2 ，利用锐角三角函数求 上COD = 60° ,再由圆周角定理求出
上DPA = 上ABD = 30° ,由圆内接四边形的知识证明 上DAP = 上DBE 得到 △DAP∽△DBE ，推 出 上E = 上APD = 30° ,故③正确，进而推出DE = 3DP 判断②④错误，则问 题可解．
【详解】解：连 AP, OD ， : AB 为eO 直径，
: 上ADB = 90° ,故①正确，
: CD 丄 AB ，半径长为 2 ， : CO = · ,
: 上COD = 60° ,
: 上DPA = 上ABD = 30° , : AD = 2 , BD = 6 ，
: CD 丄 AB ，
: 上PDE = 90° ,
: 上ADP = 上BDE ，
由题意，A, P, B, D 四点共圆， : 上DAP + 上DBP = 180° ,
: 上DBE + 上DBP = 180° , : 上DAP = 上DBE ，
: △DAP∽△DBE ，
上E = 上APD = 30° , 故③正确，
DB . DP
: DE = = DP ，
AD
:当点P 由点A 向点B 运动时，当DP 过圆心 O 时，DE 的长最大， 此时， 故④错误，
随着点P 继续向运动，DE 的长度逐渐减小，故②错误，
故选：C
9 ．-1（不唯一，满足 k < 0 即可）
【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 根据函数图象所在象限确定k 的取值范围，再取值即可．
【详解】Q x > 0 时函数图象位于第四象限， :k < 0 ，
可取k = -1 ，
故答案为：-1（不唯一，满足 k < 0 即可）．
10 ．
【详解】:AB 所在的直角三角形的两直角边分别为：2 ，4，
11 ．（ -3 ， -4）
【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.
【详解】解：因为直线 y ＝mx 过原点，双曲线 的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3 ，4），则另一个交点的坐标为（ -3， -4）．
故答案是：（ -3 ， -4）．
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容 易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点
对称．
12 ．=
【分析】本题主要考查反比例系数k 的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标
轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为 k ，所围成三角形的面积为 ．
【详解】解：根据反比例函数的性质 所以S1 = S2 ．
13 ．6
【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出△BEF ∽△DCF 和求出CD = 3a 是解此题的关键．设AE = 2a ，BE = a ，则 AB = 3a ，根据平行四边形的性 质得出AB = CD = 3a ，AB∥CD ，证出△BEF ∽△DCF ，得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：QAE : BE = 2 :1，
:设AE = 2a ，BE = a ，则 AB = 3a ， Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD = 3a ，AB∥CD ，
: △BEF ∽△DCF ，
Q BE = a ，CD = 3a ，BF = 2 ，
解得：DF = 6 ，
故答案为：6．
14 ．128° ##128 度
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质， 圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得上BAD + 上BCD = 180° ,结合
上DCE + 上BCD = 180° ,得 上BAD = 上DCE = 64° ,再利用圆周角定理求解． 【详解】Q 四边形ABCD 为圆内接四边形，
:上BAD + 上BCD = 180° , 又上DCE + 上BCD = 180° ,
:上BAD = 上DCE = 64° ,
在ΘO 中，由圆周角定理，可得上BOD = 2上BAD = 128° ,
故答案为：128° .
15 ．5
【分析】本题考查的是切线长定理， 切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要 仔细探索，找出图形的各对相等切线长．可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三 角形PDE 的周长等于PA + PB = 10 ，又因为 PA = PB ，所以可求出 PA 的长
【详解】解：QDA ，DC 都是圆O 的切线， :DC = DA ，
同理EC = EB ，PA = PB ，
:△PDE 的周长= PD + PE + DE = PD + DC + PE + CE = PA + PB = 2PA = 10 ，
:PA = 5 ；
故答案为5 ．
16 ．
【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理， 熟练掌握切线的性质是解题 的关键．
（1）连接OC ，根据切线的性质可得 上PCO = 90° ,当点 P 与点A 重合时，OP = OA = 4 ， 根据三角函数的定义即可求出sin 上CPO 的值；
（2）连接OC ，根据切线的性质可得上PCO = 90° , 根据三角函数的定义和勾股定理分析可 得当弦 CD 的长最小时，OP 最小；由垂线段最短性质得，当OP 丄 AB 时，OP 有最小值， 求出此时OP 的长，即可求出sin 上CPO 的值．
【详解】解：（1）连接OC ，
Q过点 P 作eO 的切线，切点为 C，
:PC 丄 OC ，
:上PCO = 90° ,
当点 P 与点A 重合时，OP = OA = 4 ，
故答案为： ．
（2）连接OC ，
Q 上AOB = 90° , OA = 4 ，OB = 3 ，
Q过点 P 作eO 的切线，切点为 C，
:PC 丄 OC ，
:上PCO = 90° ,
当弦 CD 的长最小时，圆心角上COD 也最小，
: 当上COD 最小时，tan 上COD 最小，即PC 最小， 又Q在Rt△OCP 中，OP2 = PC2 + OC2 = PC2 +1 ， : 当PC 最小时，OP 最小，
: 当弦 CD 的长最小时，OP 最小，
由垂线段最短性质得，当OP 丄 AB 时，OP 有最小值， 此时
: 当弦 CD 的长最小时，sin 上CPO 的值为 ． 故答案为： ．
17 ．3
【分析】利用二次根式的化简， 特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的代 数意义计算即可求出值．
解：原式
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18 ．(1)见解析
(2)圆周角定理；上BOC
【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质， 熟练掌握圆 周角定理是解答的关键．
（1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即 可；
（2）根据圆周角定理补全证明过程即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示：
（2）证明：连接OC ． ∵点A ，B ，C 在ΘO 上，
: 上上BOC （圆周角定理）．
∵点 B ，O ，E，C 在ΘP 上， : 上BEC = 上BOC ．
: 上BEC = 2上BAC ．
故答案为：圆周角定理；上BOC
19 ．(1)5 米
(2)2 米
【分析】（1）作OD 丄 AB 于点 E，交ΘO 于点 D，由垂径定理可得 再由勾股定理即可求出圆的半径；
当AB = 8 米时4 米． 在Rt△AOE 中，由勾股定理可得， AE2 + OE2 = OA2 ，则 OE = 3 米，即可求出DE 的长．
【详解】（1）解：如图，作OD 丄 AB 于点 E，交ΘO 于点 D．
则 3 米，DE = 1 米．
设圆的半径为 r 米，在Rt△AOE 中，AE2 + OE2 = OA2 ， : 32 + (r -1)2 = r2 ，
解得r = 5 ，
:该圆的半径为 5 米；
解：当AB = 8 米时米．
在Rt△AOE 中，AE2 + OE2 = OA2 ， : 42 + OE2 = 52 ，
: OE = 3 米，
: DE = 5 - 3 = 2 （米）．
答：水面下盛水筒的最大深度为 2 米．
【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．
20 ．(1)见详解 (2)3
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；
（2）连接OD ，根据垂径定理得到 ED，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：: OC = OB = r ，
: 上BCO = 上CBO ，
: 上CDA 与上CBO 都是弧AC 所对圆周角，
: 上CDA = 上CBO ， : 上BCO = 上D ；
（2）解：连接OD ，
: CD 丄 AB ，CD = 4 ，
: CE = DE = 2 ，
在RtΔODE 中，根据勾股定理可得，
【点睛】本题考查圆周角定理， 垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相 等．
21 ．(1)见解析
【分析】（1）由等角的余角相等得到上DBE = 上ABC ，又由 上ACB = 上E = 90° 即可得到
△ABC ∽△DBE ；
AC BC
（2）由勾股定理求得CE = 4 ，得到 DE = 4 - AC ，由△ABC ∽△DBE 得到 = ，则
DE BE
即可求得答案．
【详解】（1）证明：在 Rt△ABC 中，上ACB = 90° , : 上A + 上ABC = 90° ,
: CA = CD ，
: 上A = 上ADC ， : BE 丄 CD ，
: 上E = 90°
: 上DBE + 上BDE = 90° , : 上BDE = 上ADC = 上A ， : 上DBE = 上ABC ，
: 上ACB = 上E = 90° , :△ABC ∽△DBE ；
（2）: BC = 5 ，BE = 3 ，上E = 90° ,
: DE = CE - CD = CE - AC = 4 - AC ， :△ABC ∽△DBE ，
解得 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质， 还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的 判定和性质是解题的关键．
22 ．(1)6
(2)图形见解析；3
【分析】本题重点考查了锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，熟练运用相关知识， 数形结合，是解题的关键．
利用 得 ，设 AB = 3x (x > 0) ，BC = 5x ，再利用勾股定理列方程，解方 程求出x 的值，可得线段AB 的长；
（2）利用角平分线的性质，推出 AD = ED ，再利用 S△ABC = S△DAB + S△DBC ，列方程求解； 【详解】（1）在 Rt△ABC 中，上CAB = 90° , AC = 8 ，
设AB = 3x (x > 0) ，BC = 5x ，
由勾股定理得AB2 + AC2 = BC2 ，
: (3x )2 + 82 = (5x )2 ， 解得x = 2 ，
: AB = 3x = 6 ，BC = 5x = 10 ， :线段AB 的长为 6．
故答案为：6．
（2）如图所示：
Q 上CAB = 90° ,
:DA 丄 AB ，
Q DE 丄 BC,DA 丄 AB ，BD 平分 Ð CBA ，
: AD = ED ，
Q AB = 6 ，AC = 8 ，BC = 10 ，
: S△ABC = . AB . AC = × 6 × 8 = 24 ，S△△ 又QS△ABC = S△DAB + S△DBC ，
: 24 = 3AD + 5AD ，
: AD = 3 ，
:线段AD 的长为 3．
23 ．(1)反比例函数的解析式为：
(2)k 的取值范围是k ≥1．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出 m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式 得到答案．
【详解】（1）解：对于 y = k (x + 2) -1(k > 0) ，当 x = -2 时，y = -1，
:一次函数y = k (x + 2) -1(k > 0) 的图象与反比例函数 0) 的图象的一个交点为 A (-2，-1)，
: m = -2× (-1) = 2 ，
:反比例函数的解析式为：
（2）解：解方程组 得 或
由题意得： ，
解得：k ≥1，
则 k 的取值范围是k ≥1．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交 点的求法是解题的关键．
24 ．(1)证明见解析；
(2) CE = 2 ．
【分析】（1）连接 AD ，由 AB 为ΘO 的直径得到上1 + 上2 = 90° ,又由 上上BAC ，
上上BAC ，得到 上CBF = 上1 ，进而得到 上CBF + 上2 = 90° ,即可求证；
连接DE ，由上1= 上CBF ，tan 上得到tan 上 设BD = x ，
AD = 2x ，由 得到 ，证明△DEC∽△ABC ，即可求解；
本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关 键．
【详解】（1）证明：连接 AD ，
∵ AB 为ΘO 的直径， : 上ADB = 90° ,
: 上1 + 上2 = 90° , ∵ AB = AC ，
: CD = BD ，上上BAC ，
: 上CBF = 上1 ，
又∵AB 为ΘO 的直径， : BF 是ΘO 的切线；
（2）解：连接DE ，
∵ 上1= 上CBF ，tan 上
:在Rt△ADB 中，tan 上 ，
设BD = x ，AD = 2x ， 则AB = x = 5 ， : x = 、 ，
: CD = BD = ，BC = 2 ， ∵四边形ABDE 内接于ΘO ，
: 上CED = 上2 ，
又∵ 上3 = 上3 ，
:△DEC∽△ABC ，
即 ， : CE = 2 ．
25 ．塔AB 的高度为 39 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．根据题意得到DF = CE = 12.5 米， AG = EF = CD = 1.5 米，上BDG = 37° , 上BFG = 45° ,解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由题意得，DF = CE = 12.5 米，AG = EF = CD = 1.5 米，上BDG = 37° , 上BFG = 45° . DG - FG = - BG = 12.5
在Rt△BDG 中，tan上BDG = tan37° = ≈ 0.75 ，
: GD = ．
在Rt△BFG 中， ∵ 上BFG = 45° , : FG = BG ，
∵ DF = 12.5 米，
解得BG = 37.5 ，
AB = 37.5 +1.5 = 39 （米）， 答：塔AB 的高度为 39 米．
【分析】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征， 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1) 将(-b，0) 代入y = ax2 + bx ，可得 a = 1，则抛物线的解析式为 y = x2 + bx ，即可得抛物线 的对称轴为直线 .
b
2
b +1+ < 2 + < b +
,求出 b 的取值范围即可．
(2) 由题意得，点 C 到对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离小于点 B 到对称轴的距离，即
【详解】（1）将(-b，0) 代入y = ax2 + bx ， 得ab2 - b2 = 0.
Qa ≠ 0 ，
:b ≠ 0.
:a = 1.
:抛物线的解析式为y = x2 + bx ， :抛物线的对称轴为直线x = - .
（2）Q 点A(2，y1 ) ，B (b，y2 ) ，C (b +1，y3 ) 在该抛物线上，且y3 < y1 < y2 ， : 点 C 到对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离小于点 B 到对称轴的距离，
b b b
即 b +1+ < 2 + < b + ，
2 2 2 解得
:b 的取值范围为
27 ．(1)①见解析；② 上BFD¢ = 45° - a
（或 BE = GF 或 = ） 【分析】（1）①正确画图即可；
②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答；
（2）如图 2，过点 F 作FH丄 AB 于 H，证明 △DBF，△D ' EG，△GHF 是等腰直角三角形，证明
△BDE≌△FBH (AAS) ，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的 倍即 可解答．
【详解】（1）解：①如图 1 所示，
②:点 D 关于AB 的对称点D¢ ,
: BD = BD ¢, 上ABD = 上D¢BE = a ， : BF 丄 BD ，
: 上DBF = 90° ,
: 上D¢BF = 90° + 2a ，
: BD = BF ，
: BD ¢ = BF ，
解 证明如下：
如图 2，过点 F 作FH丄 AB 于 H，
∵ BD = BF，上DBF = 90° , : △DBF 是等腰直角三角形， : 上BFD = 上BDF = 45° ,
由②知：上BFD¢ = 45° - a ， : 上DFD¢ = a = 上ABD ，
∵ 上BOG = 上DOF ，
: 上BGO = 上BDF = 45° = 上EGD¢ , ∵点 D 关于AB 的对称点D¢ ,
: DE = D ¢E，AB 丄 DD¢ , : 上DEB = 上BHF = 90° , : 上EDB + 上DBE = 90° , ∵ 上DBF = 90° ,
: 上DBE + 上HBF = 90° , : 上EDB = 上HBF ，
∵ BD = BF ，
: △BDE≌△FBH (AAS) ，
: BH = DE = D ¢E，BE = FH ， ∵ 上D¢EG = 90°, 上EGD¢ = 45° , : △D ¢EG 是等腰直角三角形， : EG = D ¢E = ED = BH ，
: EG + BG = BH + BG ，
即BE = GH ，
∵ 上BGF = 45°, 上H = 90° ,
:△GHF 是等腰直角三角形，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三 角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题 是解题的关键．
【分析】（1）①根据新定义，弦 AB 的“伴随点”在 AB 的垂直平分线上（除 AB 的中点外）， 且在ΘO 上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解；
②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出上AEB = 180° - 上AGB = 135° > 120° ,根据 新定义得出点D 在ΘO 外，且只有 1 个，进而解直角三角形，即可求解；
（2）分析新定义，结合（1）②可得弦AB 的“伴随点”是线段E¢G ¢ 除F 点外上的点，而
, 根据新定义得出点P 的轨迹为线段E¢G ¢ （除 F 点）上任意一点，当MN 旋 转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为OF 的圆 （虚线部分）；根据对称性分别求得OE¢, OG ¢ , 进而根据OE¢ ≤ OP ≤ OG¢ 且OP ≠ OF ，得出 OP 的范围，根据y= x 与x 轴的夹角为45° ,即可求解．
解：①: A(0,1), B(1, 0) ，点 关于AB 对称的点分别
只有C2 (1,1) 在AB 的垂直平分线上（除AB 的中点外），且在ΘO 内部存在一点， 故答案为：C2 ．
②如图所示，设F 为AB 的中点，G , E 为AB 的垂直平分线与ΘO 的交点，
∵ A(0,1), B(1,0)
: OA = OB = 1 ，则 △AOB 是等腰直角三角形，
: AB 的垂直平分线为一三象限的平分线上即y= x ，点 D 在一三象限的平分线上
: 上AEB = 180° - 上AGB = 135° > 120°
如图所示，则G¢, E ¢ 分别为E, G 关于AB 的对称点，弦AB 的“伴随点”是线段E¢G ¢ 除F 点外 上的点，
又∵点D 是弦AB 的“伴随点”且上ADB = 120° :点D 在ΘO 外，且只有 1 个，
∵ A(0,1), B(1,0)
故答案为 ．
（2）解：由（1）②可得，弦AB 的“伴随点”是线段E¢G ¢ 除F 点外上的点，而
: E 在y = x 上，且OE = 1 ， 设E(a, a ) ，则 a = 1
同理 则OG = 1
: A(0,1), B(1, 0) ，则F (çè , ，则
当P 是直线y= x 上一点，且存在ΘO 的弦MN = /2 ，点 P 是弦MN的 “ 伴随点 ” ．
:点P 的轨迹为线段E¢G ¢ （除 F 点）上任意一点，当MN 旋转时，构成的图形如图所示，是 两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为OF 的圆（虚线部分）
: OE ¢ ≤ OP ≤ OG¢ 且OP ≠ OF
又: y = x 与x 轴的夹角为45°
: P 的横坐标为OP× cs 45° = OP
2
【点睛】本题考查了几何新定义， 圆周角定理，菱形的性质，点与圆的位置关系，解直角三 角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识正确的分析新定义是解题的关键．