八年级人教版数学上册预习 第09讲 角的平分线（3个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（解析版）

这是一份八年级人教版数学上册预习 第09讲 角的平分线（3个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（解析版），共39页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 作已知角的平分线】
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【知识点2 角的平分线的性质】
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
【知识点3 角的平分线的判定】
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【题型1 角平分线的性质直接应用】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AD=6，AC=10，则DE的长是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出DE=DC，再利用线段的和差关系可求出结果．
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵AD=6，AC=10，
∴DE=DC=AC−AD=10−6=4，
故选：C．
【变式1-1】如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F．求证：AE=CF．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可求得DC=DE，则可证得△ADE≌△FDCASA，再利用全等三角形的性质可证得结论，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BF，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BF，
∴DE=DC，∠AED=∠FCD=90°，
在△ADE和△FDC中，
∠AED=∠FCD=90°DE=DC∠ADE=∠FDC，
∴△ADE≌△FDCASA，
∴AE=CF．
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
(1)求证：CF=EB；
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AB=AF+2BE，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
DC=DEDF=DB，
∴Rt△FCD≌Rt△BEDHL，
∴CF=EB；
（2）解：AB=AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AEDHL，
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE．
【变式1-3】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是56cm2，AB=20 cm，AC=8cm，求DE的长．
【答案】DE=4cm
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的性质得出DE=DF，根据三角形面积公式推出S△ABC=S△ABD+S△ACD=12DE(AB+AC)，代入数据求解即可．
【详解】解：∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=12AB⋅DE+12AC⋅DF
=12AB⋅DE+12AC⋅DE
=12DE⋅(AB+AC)，
∵△ABC的面积是56cm2,AB=20cm,AC=8cm，
∴56=12DE(20+8)，
解得：DE=4cm．
【题型2 作一边的垂线】
【例2】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DE=2，AB+AC=16，则△ABC的面积为（ ）
A．32B．20C．16D．8
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质定理得到DF=DE=2，再结合AB+AC=16，即可求出面积．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，DE=2，
∴DF=DE=2，
∵AB+AC=16，
∴S△ABC=12AC×DE+12AB×DF=12AB+AC·DE=16，
故选：C．
【变式2-1】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF=3，BC=9，则△CDF的面积为（ ）
A．272B．92C．274D．6
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=3，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可．
【详解】解：过F作FG⊥BC于G，

∵BF平分∠ABC，FG⊥BC，EF⊥AB，
∴FG=EF=3，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FD为△BFC的BC边上在中线，
又∵BC=9，
∴S△CDF=12S△BFC=12×12×BC·FG=12×12×9×3=274，
故选：C．
【变式2-2】如图，AB平行CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8cm，BC=10cm，求四边形ABCD的面积？
【答案】40cm2
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过P作PQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质可得出PA=PQ=PD，根据HL证明Rt△ABP≌Rt△QBP，得出AB=QB，同理得出CD=CQ，则AB+CD=10cm，然后根据梯形面积公式求解即可．
【详解】解：过P作PQ⊥BC于Q，
∵AB平行CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PQ=PD，
∵AP=QP，BP=BP，
∴Rt△ABP≌Rt△QBP，
∴AB=QB，
同理CD=CQ，
∴CD+AB=CQ+BQ=BC=10cm，
∴四边形ABCD的面积为12AB+CD⋅AD=12×10×8=40cm2．
【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°．
(1)求证：2AE=AB+AD．
(2)当AD=4,BE=3时，AB=______（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键；
（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质可得CF=CE，先根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC，再根据AAS证明△FDC≌△EBC，即可证明2AE=AB+AD；
（2）由（1）可知DF=BE=3，则AE=AF=7，即可求出AB．
【详解】（1）证明：过点C作CF⊥AD，
∵ AC平分∠BAD,CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=∠BEC=90°，
∵AC=AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AECHL，
∴AF=AE，
∵∠FDC+∠ADC=180°,∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDC=∠B，
∵∠DFC=∠BEC，CF=CE，
∴△FDC≌△EBCAAS，
∴DF=BE，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE，
∴2AE=AB+AD；
（2）解：∵DF=BE， BE=3，
∴DF=3，
∴AE=AF=AD+DF=4+3=7，
∴AB=AE+BE=7+3=10，
故答案为：10．
【题型3 作两边的垂线】
【例3】如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD=CD，若BD平分∠ABC，∠A=119°，则∠DCB的度数为（ ）
A．62°B．61°C．60°D．59°
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点D作DE⊥BA,DF⊥BC，垂足分别为E,F，证明Rt△ADE≌Rt△CDFHL，即可得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥BA,DF⊥BC，垂足分别为E,F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠BAD=119°，
∴∠DAE=180°−∠BAD=61°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDFHL，
∴∠DCB=∠DAE=61°，
故选：B
【变式3-1】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，AB=5，AC=3，BC=7，则ED长为（ ）
A．157B．715C．78D．158
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是关键．
如图，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，S△BADS△CAD=ABAC=53，BDDC=53，BD=358，由中点得到BE=72，根据DE=BD−DE=BD−BE=358−72=78即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，
∴S△BADS△CAD=ABAC=53，
∴BDDC=53，
∵BC=7，
∴BD=358，
∵AE是△ABC的中线，BC=7，
∴BE=72，
∴DE=BD−BE=358−72=78，
故选：C．
【变式3-2】如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD=3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（ ）
A．503B．25C．1003D．50
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质定理可得OE=OD=3，OF=OD=3，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
，
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D，OD=3，
∴OE=OD=3，OF=OD=3，
∵△ABC的面积是50，
∴S△OAB+S△OBC+S△OAC=50，
∴12AB⋅OE+12BC⋅OD+12AC⋅OF=50，
∴3AB+3BC+3AC=100，
∴AB+BC+AC=1003，即△ABC的周长为1003，
故选：C．
【变式3-3】已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上一点，点C，D分别在射线OA,OB上，连接PC,PD．
(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D分别在射线OA,OB上运动，且∠AOB=90°．当∠PCO+∠PDO=180°时，PC与PD在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)PC=PD
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）根据角平分线的性质定理即可作出判断；
（2）过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，如图，可得PF=PE，根据补角的性质得出∠PCO=∠PDE，证明△PFC≌△PEDAAS，进而得到结论．
【详解】（1）解：∵PC⊥OA,PD⊥OB,OM是∠AOB的平分线，
∴PC=PD；
故答案为：PC=PD；
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
∴∠PFC=∠PED=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PF=PE，
∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PDO+∠PDE=180°，
∴∠PCO=∠PDE，
在△PFC和△PED中∠PFC=∠PED∠PCF=∠PDEPF=PE
∴△PFC≌△PEDAAS，
∴PC=PD．
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】尺规作图：已知点M、N和∠AOB．
(1)画直线MN；
(2)在直线MN上求作点P，使点P到∠AOB的两边的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了作直线，尺规作角平分线，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据直线的定义求解即可；
（2）尺规作出∠AOB的平分线与MN交于点P即为所求．
【详解】（1）如图所示，直线MN即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
【变式4-1】如图，在△ABC中.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面积为12，求△ABC的面积
【答案】(1)见解析
(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点D作DF⊥AB、DE⊥AC，根据角平分线的性质，得到DF=DE，再根据三角形面积公式，求得DE=DF=3，再由S△ABC=S△ABD+S△ACD，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线AD即为所求：
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB交AB与点F，作DE⊥AC交AC与点E，
∵AD平分∠BAC，
∴DF=DE，
∵△ABD的面积为12，
∴12AB⋅DF=12×8×DF=12，
∴DF=3=DE，
∵AB=8，AC=6，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12+12AC⋅DE=12+12×6×3=21．
【变式4-2】如图，已知在△ABC中．
(1)分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当∠A=60°时，∠BOC的度数为______．
(3)当∠A=α时，用含α的代数式表示∠BOC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
(3)90°+12α
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．
（1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，可得结论；
（3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示；
（2）
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=120°，
故答案为：120°；
（3）解：∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=90°−12α，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=90°+12α．
【变式4-3】如图，在△ABC中，用圆规和无刻度直尺在AB上方作∠PBA=12∠C．（保留作图痕迹，不要求写作图过程）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及作一个角等于已知角，先作∠BCA的角平分线，得出∠BCN=12∠BCA，再结合作一个角等于已知角的尺规作图过程，得∠PBN=∠BCN，故∠PBA=12∠BCA，即可作答．
【详解】解：如图，∠PBA即为所求．
【题型5 证角平分线】
【例5】如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可．
【详解】证明：过M作ME⊥AD于E，

∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB．
【变式5-1】如图，BE=FD，CE⊥AB于点E，CD⊥AF交AF的延长线于点D，且BC=FC，求证：AC是∠BAF的平分线．
【答案】见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到Rt△BCE≌Rt△FCD.
证明Rt△BCE≌Rt△FCD得CE=CD，可得点C在∠BAF的平分线上，进而可以解决问题．
【详解】证明：∵CE⊥AB，CD⊥AF，
∴∠CEB=∠D=90°，
在Rt△BCE和Rt△FCD中，
BC=FCBE=FD，
∴Rt△BCE≌Rt△FCDHL，
∴CE=CD，
∵CE⊥AB，CD⊥AF，
点C在∠BAF的平分线上，
∴AC是∠BAF的平分线．
【变式5-2】如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到∠ADP=∠CDP，再证明△ABD≌△CBD(SAS)，得到∠ABP=∠CBP，即可证明结论．
【详解】证明：∵ PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，
∴ DP为∠ADC的角平分线，
∴ ∠ADP=∠CDP，
∴ ∠ADB=∠CDB，
在△ABD和△CBD中，
AD=CD,∠ADB=∠CDB,BD=BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS)，
∴ ∠ABP=∠CBP，
∴ BP平分∠ABC．
【变式5-3】如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，
(1)图中EC、BF有怎样的位置关系？试证明你的结论．
(2)连接AM，求证：MA平分∠EMF．
【答案】(1)EC⊥BF，证明见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）令AB与EC的交点为G，证明△ACE≌△AFBSAS，得到∠AEC=∠ABF，进而得出∠BMG=∠EAG=90°，即可得到结论；
（2）过点A作AP⊥CE于点P，AQ⊥BF于点Q，证明△ACP≌△AFQAAS，得到AP=AQ，即可证明结论．
【详解】（1）解：EC⊥BF，证明如下：
令AB与EC的交点为G，如图，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠CAE=∠FAB，
在△ACE和△AFB中，
AC=AF∠CAE=∠FABAE=AB，
∴△ACE≌△AFBSAS，
∴∠AEC=∠ABF，
∵∠AGE=∠BGM，
∴∠BMG=∠EAG=90°，
∴EC⊥BF；
（2）证明：如图，过点A作AP⊥CE于点P，AQ⊥BF于点Q，
∴∠APC=∠AQF=90°，
∵△ACE≌△AFB，
∴∠ACP=∠AFQ，
在△ACP和AFQ中，
∠APC=∠AQF∠ACP=∠AFQAF=AC，
∴△ACP≌△AFQAAS，
∴AP=AQ，
又∵AP⊥ME，AQ⊥MF，
∴MA平分∠EMF．
【题型6 角平分线的判定与性质综合】
【例6】如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥BC，交BC于点F，连接BD．若∠BCE=104°，DE=DF，求∠DBC的度数
【答案】63°
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接CD，过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G，证明CD平分∠BCE，BD平分∠CBG，利用三角形的外角性质求得∠ABC=54°，进一步计算即可求解．
【详解】解：如图，连接CD，过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，DE=DF，
∴CD平分∠BCE，
∵AD平分∠BAC，
∴DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG，
∴DF=DG，
∴BD平分∠CBG，
∴∠ABC=∠BCE−CAB=104°−50°=54°，
∴∠CBG=180°−∠ABC=126°，
∴∠DBC=12∠CBG=63°．
【变式6-1】如图，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，垂足为点Q，连接AP．
(1)若∠BAC=60°，求∠PAC的度数；
(2)设BC=a，AC=b，AB=c，求线段AQ、CQ的长度（用含a，b，c的式子表示）．
【答案】(1)60°
(2)AQ=a+b−c2，CQ=b+c−a2．
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定；
（1）过点P作PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．根据角平分线的性质得出PE=PQ，进而可得AP平分∠CAE，即可求解；
(2)证明△EBP≌△FBP得出BE=BF．同理可得．AE=AQ，CQ=CF．根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）过点P作PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，PQ⊥BD，
∴PE=PF，PQ=PF．
∴PE=PQ．
∴AP平分∠CAE．
∵∠BAC=60°，
∴∠PAC=12∠CAE=60°
（2）∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠E=∠PFB．
∵BP=BP，
∴△EBP≌△FBP．
∴BE=BF．
同理可得．AE=AQ，CQ=CF．
∴c+AQ=a+CQ，AQ+CQ=b．
∴AQ=a+b−c2，CQ=b+c−a2．
【变式6-2】如图在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF=20°，连接DE．
(1)求证：DE平分∠ADC；
(2)若AB=6,AD=5,CD=7，且S△ACD=12，求△ABE的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)S△ABE=6．
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，由BE是∠ABC的平分线，得到 EF=EH，再证明AE是∠FAG的平分线，得到EF=EG，进而得到EG=EH，即可得出结论；
（2）由S△ACD=12，得到12CD⋅EH+12AD⋅EG=12，求出EF=EH=EG=2，即可求解．
【详解】（1）证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图：
∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF=EH，
∵∠AEF=20°，∠F=90°，
∴∠FAE=90°−20°=70° ，
∴∠GAE=180°−∠FAE−∠BAD=70°，
∴∠GAE=∠FAE，
∴AE是∠FAG的平分线，
又∵EG⊥AD，EF⊥AB，
∴EF=EG，
∴EG=EH，
又∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：如图：
∵S△ACD=12
∴12CD⋅EH+12AD⋅EG=12，
∵AD=5,CD=7，EH=EG，
∴12×7×EG+12×5×EG=12，
解得：EH=EG=2，
∴EF=EH=2，
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×6×2=6．
【变式6-3】如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF=55°，连接DE．
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求EF的长．
【答案】(1)35°
(2)见解析
(3)52
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
1根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=145°，再根据∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
2过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH，进而得到EG=EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
3根据三角形的面积公式求出EH=52，再根据角平分线的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠AEF=55°，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=110°，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145°−110°=35°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F=90°，∠AEF=55°，
∴∠EAF=90°−55°=35°，
由1可知，∠EAF=∠CAD=35°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF=EH，
∴EG=EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD=15，
∴S△ADE+S△CDE=15，
∴12AD⋅EG+12CD⋅EH=15，
∵AD=4，CD=8，EG=EH，
∴12×4⋅EH+12×8⋅EH=15，
∴EH=156=52，
∴EF=52．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连结DE，则下列结论错误的是（ ）
A．AM=AN
B．连结PM、PN，根据SAS可判定△AMP≌△ANP
C．∠CAD=∠BAD
D．DE的最小值是DC的长
【答案】B
【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，AM=AN，MP=NP，可得△AMP≌△ANPSSS，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，可得∠CAD=∠BAD，即可判断C选项；由题意知，当DE⊥AB时，DE取得最小值，此时结合角平分线的性质可得CD=DE，即DE的最小值是DC的长，即可判断D选项．
【详解】解：连接PM，PN，
由作图过程可得，AM=AN，MP=NP，
∵AP=AP，
∴△AMP≌△ANPSSS，
∴根据SSS可判定△AMP≌△ANP，
故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意；
由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
故C选项正确，不符合题意；
由题意知，当DE⊥AB时，DE取得最小值，
∵AP为∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴此时CD=DE，
即DE的最小值是DC的长，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
2．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD=4.5，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（ ）
A．PE=4.5B．PE>4.5C．PE≤4.5D．PE≥4.5
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作PH⊥AB于H， 如图，根据角平分线的性质得到PH=PD=4.5， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断．
【详解】解：过P点作PH⊥AB于H， 如图，
∵AP平分∠CAB,PD⊥AC,PH⊥AB，
∴PH=PD=4.5，
∵点E是边AB上一动点，
根据垂线段最短可知：PE≥4.5.
故选D．
3．如图，在△ABC中，AB+AC=18，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若DE=4，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．18C．24D．36
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法．
如图，过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质可以证明DE=DF，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．
∴DE=DF，
∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC
=12×DE×AB+12×DF×AC
=12×DEAC+AB
又∵AB+AC=18，DE=4，
∴△ABC的面积为：12×4×18=36
故选：D．
4．如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A．∠ABCB．∠ACBC．∠BACD．∠AEB
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作EH⊥BD于点H，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交CA的延长线于点G，根据角平分线的性质，推出EF=EG，进而得到AE平分∠BAG，得到∠BAE=12∠BAG=12180°−∠BAC，即可得出结果．
【详解】解：作EH⊥BD于点H，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交CA的延长线于点G，
∵∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，
∴EH=EF,EH=EG，
∴EF=EG，
∴AE平分∠BAG，
∴∠BAE=12∠BAG=12180°−∠BAC，
∴只需要知道∠BAC的度数即可求出∠BAE的度数；
故选C．
5．如图，△ABC的角平分线为AD，过点D作DF⊥AB，垂足为F，E是线段BC的中点．若S△AEC=6，DF=2，AC=7.5，则△ABD的面积是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作DH⊥AC于H，先利用角平分线的性质得到DF=DH=2，由三角形中线可知S△ABC=2S△AEC=2×6=12，再根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得．
【详解】解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB,DH⊥AC,DF=2，
∴DF=DH=2，
∵ E是线段BC的中点，
∴S△ABC=2S△AEC=2×6=12
∴S△ABD+S△ACD=S△ABC=12，
∵S△ABD+12AC⋅DH=S△ABC，
∴S△ABD+12×7.5×2=12
解得：S△ABD=4.5，
故选：C．
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B=∠CED．若AB=16，CE=7，则AE的长为 ；
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点D作DF⊥AB于点F，先证出△BDF≌△EDC，根据全等三角形的性质可得BF=CE=7，从而可得AF=9，再证出Rt△ACD≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质可得AC=AF=9，然后根据AE=AC−CE求解即可得．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DF=DC，
在△BDF和△EDC中，
∠BFD=∠C=90°∠B=∠CEDDF=DC，
∴△BDF≌△EDCAAS，
∴BF=CE=7，
∵AB=16，
∴AF=AB−BF=16−7=9，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
AD=ADDC=DF，
∴Rt△ACD≌Rt△AFDHL，
∴AC=AF=9，
∴AE=AC−CE=9−7=2，
故答案为：2．
7．如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M，点M到BE的距离为4．若AB=7，BC=9，则四边形ABCM的面积为 ．
【答案】32
【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点M作MF⊥BE于F，MG⊥AC于G，MH⊥BD于H，连接BM，根据角平分线的性质得出MF=MG=MH=4，根据S四边形ABCM=S△ABM+S△CBM，结合三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：如图，过点M作MF⊥BE于F，MG⊥AC于G，MH⊥BD于H，连接BM，
∵△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M，点M到BE的距离为4，
∴MF=MG=4，MG=MH，
∴MH=4，
∴S四边形ABCM=S△ABM+S△CBM=12AB⋅MH+12BC⋅MF，
∵AB=7，BC=9，
∴S四边形ABCM=12×7×4+12×9×4=32．
故答案为：32
8．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平分线，如果△ABC的面积为 32，那么△DBC的面积为 ．

【答案】910/0.9
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得DE=DF，则可证明S△ABDS△CBD=ABBC=23，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足为E、F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABDS△CBD=12AB⋅DE12BC⋅DF=ABBC=23，
∴S△CBD=33+2S△ABC=910，
故答案为；910．
9．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE，CD分别为△ABC的角平分线．BE，CD相交于点F，FG平分∠BFC，已知BD=3，CE=2，△BFC的面积=2.5，求△BCD的面积= ．
【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB于点M，根据角平分线性质定理求出FM=FN，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出∠BFD=60°=∠BFG，利用ASA证明△BDF≌△BGF，△CEF≌△CGF，则BD=BG，CE=CG，BC=BG+CG=BD+CE=5，根据三角形面积公式求出FN=1=FM，SΔBDF=12BD⋅FM=32，再根据△BCD的面积=SΔBDF+SΔBFC求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB于点M，
∵∠BAC=60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB=12∠ABC+12∠ACB=12×(180°−∠BAC)=60°，FM=FN，
∴∠BFC=180°−(∠EBC+∠DCB)=120°，
∴∠BFD=60°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=12∠BFC=60°=∠DFB，
在△BDF和△BGF中，
∠BFD=∠BFGBF=BF∠DBF=∠GBF，
∴△BDF≌△BGF(ASA)，
∴BD=BG，
同理可得△CEF≌△CGF(ASA)，
∴CE=CG，
∴BC=BG+CG=BD+CE，
∵BD=BG=3，CE=CG=2，
∴BC=5，
∵△BFC的面积=2.5，
∴ 12BC⋅FN=2.5，
∴FN=1，
∴FM=1，
∴S△BDF=12BD⋅FM=12×3×1=32，
∴△BCD的面积=SΔBDF+SΔBFC=4，
故答案为：4．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠DAB的平分线交BC于点E，DE⊥AE，若AD=12，BC=8，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】32
【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
延长AB、DE相交于点F，根据得到DE=EF，AD=AF，再证明△DEC≌△FEB得到DC=BF，从而推算出四边形ABCD的周长等于2AD+BC；
【详解】解：延长AB、DE相交于点F，
∵∠DAB的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠FAE，
∵DE⊥AE
∴∠AED=∠AEF=90°，
∴AE=AE，
△AED≌△AEF，
∴DE=EF，
AF=AD=12，
∵AB∥DC，
∴∠CDE=∠EFB，
∴ ∠CDE=∠EFBDE=EF∠DEC=∠FEB，
△DEC≌△FEB，
DC=BF，
∵AB+DC=AB+BF=AF=12，
∴四边形ABCD的周长为AD+AB+BC+DC=AD+AF+BC=12+12+8=32；
故答案为：32
11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
(1)求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）
(2)若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：∠APQ=∠AQP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等．
（1）根据题意以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA,BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接B和两弧的交点，即为∠ABC的平分线；
（2）根据题意利用角平分线定义可得∠BPD+∠PBD=90°，后得到∠BPD=∠AQP，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA,BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接B和两弧的交点，如下图即为∠ABC的平分线：
；
（2）解：根据题意画图如下：
，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP．
12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=DC，CE⊥AD于点E，AD=12，AB=7，则求线段DE的长为多少？

【答案】DE=52．
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，证明Rt△ACF≌Rt△ACEHL，则AE=AF=AB+BF，证明Rt△BCF≌Rt△DCEHL，则DE=BF，得到AD=AB+2DE，即可得到DE的长．
【详解】解：过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于F，
∴CE=CF，
∵AC=AC，
∴Rt△ACF≌Rt△ACEHL，
∴AE=AF=AB+BF，
∵CE=CF，BC=DC，
∴Rt△BCF≌Rt△DCEHL，
∴DE=BF，
∴AD=AE+DE=AB+BF+DE=AB+2DE，
∴12=7+2DE，
∴DE=52．
13．如图，点D为△ABC外一点，G为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，连接DG，AD，且DG⊥BC，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB=15，AC=9，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AE=12
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）连接BD,CD，证明BD=CD，在直角三角形中利用HL可证△BDE≌△CDF，得到DE=DF，利用角平分线的判定定理，得到点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC；
（2）证明Rt△ADE≌Rt△ADFHL，可得AE=AF，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：连接BD,CD，
∵G是BC的中点，DG⊥BC，
∴BG=CG，BD=CD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中：BD=CD，BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL，
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD，DE=DF．
∴Rt△ADE≌Rt△ADFHL．
∴AE=AF，
∵BE=CF，AB=15，AC=9，
∴AB−AE=AE−AC．
即15−AE=AE−9，
解得AE=12．
14．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I．
(1)如图1，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上；
(2)如图2，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T，FL⊥AD于点L．求证：FT=FL．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定．
1因为BE，CF是△ABC的角平分线，过点I作AB，AC，BC的垂线段，分别交于点M、N、K，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得IK=IN=IM，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立；
2首先过点F作AC的垂线段，交CA的延长线于点G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证FT=FG、FL=FG，等量代换可证FT=FL．
【详解】（1）证明：如图1所示，
过点I作AB，AC，BC的垂线段，分别交于点M、N、K，
∵BE，CF是△ABC的角平分线，
∴IK=IM，IK=IN，
∴IN=IM，
∴点I在∠BAC的角平分线上；
（2）证明：如图2所示，
过点F作AC的垂线段，交CA的延长线于点G，
∵CF是△ABC的角平分线，FT⊥BC，FG⊥CA，
∴FT=FG，
∵∠BAC=120°，
∴∠GAF=180°−∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴∠BAD=∠GAF，
∴FL=FG，
即FT=FL．
15．教材呈现：
我们在教材第28页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学方法来证明这一定理．
定理证明：
（1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
已知：
求证：
证明：
知识应用：
（2）如图（2）在四边形ABCD中，∠B=∠C，点E在边BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
①求证：BE=CE；
②若四边形ABCD的周长为20，面积为26，BE=2，则△ABE的边AB上高的长度为 ．
【答案】（1）射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D；PE=PD；见解析；（2）①见解析；②3.25
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键．
（1）由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出BE=EC；
（2）证明Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，得出AF=AG，同理DG=DH，由①得出△BEF≌△CEH，得出BF=CH，设BF=CH=x，AF=AG=y，DG=DH=z，由四边形ABCD的周长得出x+y+z=8，由四边形ABCD的面积得出x+y+z•EF=26，求出EF=3.25即可．
【详解】（1）已知：OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D和E；
求证：PD=PE；
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POD=∠POE，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△POD和△POE中，
∠POD=∠POE∠PDO=∠PEOOP=OP，
∴△POD≌△POE(AAS)，
∴PD=PE；
（2）①证明：过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF=EG=EH，
在△BEF与△CEH中，
∠B=∠C∠BFE=∠CHE=90°EF=EH，
∴△BEF≌△CEH(AAS)，
∴BE=CE；
②解：由①得：EF=EG=EH，
在Rt△AEF和Rt△AEG中，
AE=AEEF=EG，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，
∴AF=AG，
同理：DG=DH，
由①得：△BEF≌△CEH，
∴BF=CH，
设BF=CH=x，AF=AG=y，DG=DH=z，
∵四边形ABCD的周长为20，CE=BE=2，
∴x+y+y+z+z+x+2+2=20，
∴x+y+z=8，
∵四边形ABCD的面积为30，
∴12(x+y)⋅EF+12(y+z)⋅EG+12(z+x)⋅ED=26，
整理得：(x+y+z)⋅EF=26，即8×EF=26，
∴EF=3.25，
即△ABE的边AB的高的长为3.25．