九年级人教版数学上册预习 专题14第22章二次函数单元测试（培优提升卷）（解析版）

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注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键．
二次函数的一般式为，由此判定即可．
【详解】解：关于的函数是二次函数，
∴，
解得，，
故选：D ．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故选：D．
3．（24-25九年级上·广西河池·期中）点在抛物线上，则的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴该抛物线开口向上，对称轴为轴，
∵点在抛物线上，
∵，离对称轴越远，函数值越大，
∴
故选：A．
4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为，
故选：C．
5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的（ ）
A．函数图象开口向下B．函数图象的对称轴是：直线
C．该函数有最大值D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性是关键．
根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解．
【详解】解：二次函数，
∵，图象开口向上，顶点坐标为，对称轴直线为，最小值为，当时，随的增大而增大，
∴故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意；
故选：D ．
6．（2025·湖南益阳·二模）二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性确定的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴点关于直线的对称点为，
当时，，
∴函数值y大于3的自变量x的取值可以是，不能是、0、2．
故选：B．
7．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象平移，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离，再根据，即可求解．
【详解】解：抛物线，
抛物线平移前的顶点纵坐标为，
平移后抛物线的顶点的纵坐标为，
平移的距离为，
，
平移后抛物线的顶点在线段的垂直平分线上，
平移得到的点的纵坐标为．
故答案为：B．
8．（2024·江苏徐州·一模）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为，理解题意，列出与时间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设运动时间为，则，，
根据题意，
，
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为，
故选：C．
9．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
把代入得到，，，列式子逐一判断即可．
【详解】解：∵过点，
∴，
∴，，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
解得：，故B错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故C错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确；
故选：D．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点，判断，即可判断①，抛物线与轴分别交于点，，得，，，从而可得，，即可判断②，根据图象可得与有2个交点，即可判断③，把方程可化为，得，解得，即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，则，
∵抛物线与轴交于点，，
∴对称轴为直线，则，
∴，
抛物线与轴交于负半轴，则
∴，故①不正确；
②∵抛物线与轴分别交于点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，抛物线与轴交于点，且，
∴抛物线与有2个交点，
即方程有两个不相等的实数根；故③正确；
④∵，，
∴方程可化为，
∴，
解得，；故④不正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【详解】解：，
把变成一般式，它的常数项为，
故答案为：.
12．（24-25八年级下·北京·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围．
【详解】解：二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
当时，随的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴
∴的值可以是
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．根据抛物线与轴有两个不同的交点及二次函数的定义，则且，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意：且，
解得：且，
故答案为：且．
14．（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（为常数）上，若的最小值为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点，求二次函数的极值，
先将点的坐标代入关系式，可得，进而得，再根据二次函数的性质讨论极值即可．
【详解】解：因为点在直线上，
所以，
所以．
因为抛物线的开口向上，
所以当时，有最小值，即，
解得．
故答案为：．
15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围．
【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上，
．
．
喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，
，即：．
．
故答案为：．
16．（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次函数的性质．先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解．
【详解】解：由得，
设，则，
∵，
∴，
解得，或（不合题意，舍去），
∴抛物线的“开口大小”为，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24九年级上·河北·阶段练习）二次函数的图像经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________；
(3)通过计算判断点是否在函数的图像上．
【答案】(1)；
(2)上；；y轴
(3)不在
【分析】（1）将点代入解析式求解即可得到答案；
（2）根据二次函数的性质直接判断即可得到答案；
（3）令代入解析式求出与比较即可得到答案；
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为，
故答案为：上；；y轴；
（3）解：当时，
，
∴点不在函数的图像上；
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，解题的关键是求出解析式，熟练掌握二次函数的性质．
18．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题：
(1)将其化成的形式：______；
(2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图；
(3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小．
【答案】(1)
(2)填表见解析；画图见解析
(3)；
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可；
（2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可；
（3）根据函数的增减性，得出答案即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：填表如下：
描点，连线，画出函数图象，如图所示：
（3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．
19．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．

(1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标；
(2)连接A、B、C三点，求的面积．
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集．
（1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可；
（3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点的坐标为，
把代入得，
∴点D的坐标为，
∴，
∴．
（3）解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴不等式的解集为．
20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米．
(1)当米时， ___________米， ___________平方米；
(2)求S与x之间的函数表达式；
(3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)40，400；
(2)；
(3)围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15．
【分析】本题考查了二次函数的应用以及代数式求值，根据各数量之间的关系，找出S关于x的函数关系式是解题关键．
（1）将代入中，可求出y值，再将x、y的值代入中，即可求出S的值；
（2）利用矩形的面积公式，可找出S关于x的函数表达式，再结合矩形的各边为正及墙长为42米，即可确定x的取值范围；
（3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：当米时，米，，
平方米，
故答案为：40，400；
（2）解：由题意得：，
，，
，，
解得：，
S与x之间的函数表达式为；
（3）解：，
，
当时，S取得最大值，最大值为450，
即围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15．
21．（2025·湖北·三模）为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表：
(1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度；
(3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分．
【答案】(1)；
(2)米；
(3)小宇此次掷球不能得满分．
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值、自变量的值的计算是关键．
（1）根据表格得到顶点为，设函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）令，根据函数解析式求函数值即可；
（3）令，求自变量的取值即可．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线，
∴顶点为，
∴设函数表达式为，
又∵抛物线过，
∴．
∴，
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
（2）解：由题意，结合（1），令，
∴，
∴实心球出手时的坐标为，
∴出手时的高度为米．
（3）解：由题意，令，
∴或（不合题意，舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为，
∴小宇此次掷球不能得满分．
22．（2025·河南南阳·二模）新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的关系式．
(2)求该产品每天获得的利润w（元）的最大值．
(3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)该产品每天获得的利润的最大值为4000元
(3)最小值为26
【分析】本题考查一次函数及二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键．
（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意列出关于的函数关系式为，再根据二次函数的性质求解，从而得出结论．
【详解】（1）解：设与的关系式为．
将和代入，得
解得
与的关系式为．
（2）解：由题意，得，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为4000，
该产品每天获得的利润的最大值为4000元．
（3）解：由题意，得，
，
，抛物线开口向下．
对称轴为直线，在实际销售过程中，发现每天获得的利润随的增大而增大，且，
，
解得，
的最小值为26．
23．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的对称轴为直线．
(1)若抛物线经过点．
①求的值．
②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值．
(2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
（1）①可证明抛物线经过点，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线解析式为；根据对称轴计算公式得到，进而得到原抛物线顶点坐标为，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，解之即可得到答案；
（2）当时，一定有；而当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况，当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况，当时，一定有，据此可得答案．
【详解】（1）解：①在中，当时，，
∴抛物线经过点，
又∵抛物线经过点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴；
②由①得，
∵，
∴直线解析式为；
∵原抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴原抛物线顶点坐标为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∵新抛物线的顶点到轴的距离为1，
∴，
解得或；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∵，，
∴，
∴当时，一定有；
当时，一定有，
当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况，
当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况，
又∵对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，
∴，
综上所述，．0
1
2
3
6
0
1
2
3
6
3
2
3
6
1
2
4
6
7
…
2.25
3
2.25
…