河南省南阳市新野县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市新野县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】．故选：A．
2. 据网络平台数据显示，截至2025年3月19日，动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破151亿．数据“151亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】151亿；故选C．
3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】其俯视图为：
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，计算正确，故A符合题意；
B、不能合并，原计算错误，故B不符合题意；
C、，原计算错误，故C不符合题意；
D、，原计算错误，故D不符合题意．
故选：A．
5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射后与原光线平行．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∵光线经过平面镜反射后与原光线平行，
∴；
故选C．
6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得．
故选：A．
7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈尺，1尺寸）设竿的长度为尺，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，得．
故选：B．
8. “河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”是郑州市内具代表性的四个历史文化景点．若小力从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“河南博物馆”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设用A、B、C、D分别表示“河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中这两个景点中有“河南博物馆”的结果数有6种，
∴这两个景点中有“河南博物馆”的概率为，
故选：D．
9. 如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】和都对着，，，
，，
，，
是的直径，弦于点，
，，
与等底等高，即，，
，
，
故选：D．
10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为．其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】∵矩形，
∴，
由点可得：当时，则，
结合图象可得：，
当时，重合，当时，重合，
∴，而，
∴，
如图，当时，重合，记的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，，

此时，
∴，，
∴，即，
故选C.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个大于1且小于2的无理数：___．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】大于1且小于2的无理数可以是等，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 一元一次不等式组的整数解为_____．
【答案】
【解析】，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解为，
∴不等式组的整数解为，
故答案为：．
13. 某农科所试验田种有万株水稻．为了考查水稻稻穗长度的情况，有关人员于同一天从中随机抽取了株稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），数据整理如下：
根据以上数据，估计此试验田的万株水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为_____万株．
【答案】
【解析】由题知，此试验田2万株水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为（万株），
故答案为：．
14. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是_____．
【答案】
【解析】∵A和B的坐标分别是和，
∴平行于x轴，，
∵等腰直角三角板，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
又∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
则，
∵点D在x轴负半轴上，∴点D的坐标是．
15. 如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____．
【答案】
【解析】如图1，在上取一点，使，连接．
∵四边形是菱形，，边长为，
∴，，，，
∴，，，
由旋转知，，
∴，∴，∴，∴．
由点为定点，为线段上的一个动点，
∴当时，有最小值，此时，
∵，∴，∴最小值为，∴的最小值为；
如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值，
∵，∴，∴，
此时Q，C，D三点共线，过点B作．
∵，，∴，，
∴，
∴，
∴有最大值，最大值为，∴的最大值为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
解：（1）；
（2）．
17. 在某中学的科技创新大赛中，每位参赛者需要完成五轮比赛．评委对甲、乙、丙三位选手的表现进行了评分（单位：分）（满分10分），并得出了以下信息：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线统计图．
信息二：选手乙五轮比赛的部分成绩：9.0，8.9，8.3．
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）表中，_____，_____．
（2）从甲、丙两位选手的得分折线统计图中可知，选手_____（填“甲”或“丙”）发挥的稳定性更好．
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由．
解：（1）甲选手的得分从小到大排列为8.7，8.8， 9.2， 9.3， 9.5，
∴甲的中位数，
丙选手的得分分别为8.3，9.1，9.3，8.4，9.4，
∴丙的平均数，
故答案为：9.2；8.9；
（2）从折线图看，甲选手的成绩波动幅度比丙选手小，甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
（3）应该推荐甲，理由如下：
甲的平均数约为9.1，中位数是9.2；乙的平均数是9.1，中位数是9.0；丙的平均数是8.9，中位数是9.1，且甲的成绩波动小，发挥更稳定．综合来看，甲选手的平均成绩较高且发挥稳定，
所以推荐甲选手参加市级比赛．
18. 某学校组织棋类竞赛，准备购买五子棋和象棋．已知五子棋比象棋的单价少8元，购买副五子棋与副象棋所需要的费用为元．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）该学校打算购买五子棋和象棋共副，根据学生的报名情况，购买五子棋的数量不超过象棋数量的两倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
解：（1）设五子棋的单价为元，象棋的单价为元．
由题意，得，解得．
答：五子棋的单价为元，象棋的单价为元．
（2）设购买五子棋副，则购买象棋副，总费用为元．
由题意，可得．
∵购买五子棋的数量不超过象棋数量的两倍，
∴，解得．
∵，
∴随的值增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时．
答：当购买五子棋副，象棋副时费用最低，最低费用为元．
19. 嫦娥五号搭载长征五号遥五运载火箭发射升空，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）．
（1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？
（参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cs45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02）
解：（1）Rt△ARL中，RL=AR•cs43°≈4.38（km）；
（2）在Rt△ARL中，AL=AR•sin43°≈4.08（km），
在Rt△BRL中，BL=RL•tan45.54°≈4.468（km），
∴AB=BL-AL=0.388≈0.39（km），
∴速度为0.39km/s，
答：雷达站到发射处的水平距离为4.38km，这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s．
20. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点．
（1）求证：平分．
（2）若，求的半径．
（1）证明：如图，连接OC．
∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴的半径为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段向右平移1个单位长度，得到线段，此时点的对应点恰好落在反比例函数的图象上．
（1）求该反比例函数的表达式．
（2）设是轴正半轴上的一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）连接并延长，与（2）中所作的角平分线相交于点．求证：．
（1）解：∵将线段向右平移1个单位长度，得到线段，，
∴点C的坐标为．
把点代入中，得，
∴该反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，射线OQ即为所求．
（3）证明：由平移可知，，且，
∴．
∵ON平分，∴，∴，
∴，∴．
22. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．
（1）当小球的飞行时间为时，小球的飞行高度是多少？
（2）若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长．
（3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为，求这两个时刻小球的飞行高度．
解：（1）将，代入函数，
可得．
答：小球的飞行高度是；
（2）令，即．
整理，得，
解得，
∴时，，
∴可被该设备清晰捕捉的时长为．
答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为；
（3）∵，
∴对称轴为直线．
设其中一个时刻为，另一个时刻为．
∵这两个时刻小球高度相同，
∴．
∵，
∴联立方程组，解得．
将代入，
得．
答：这两个时刻小球的飞行高度为．
23. 在中，，，是边上的一点，将沿折叠，得到，连接．
【特例发现】
（1）如图1，当，落在直线上时，求证：．
【类比探究】
（2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长．
解：（1）如图，延长，交于点．
由翻折得，，
∴垂直平分，∴，
∵．
∴．
∵，∴．
（2）如图，延长，交于点．
同（1），知．
∵，
∴，
∴．
（3）同（1）可知，，
∵是边的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，．
由（2）知，
∴，，
∴．
设，则．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，∴．
在中，，∴．
∵，∴，解得或（舍去），
即．
稻穗长度
稻穗株数
选手
甲
乙
丙
平均数
9.1
9.1
中位数
9.0
9.1