河南省周口市郸城县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省周口市郸城县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1. 的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 5
【答案】C
【解析】；
故选C．
2. 据“交通运输部”微信公众号消息，根据国务院物流保通保畅工作领导小组办公室监测汇总数据，2025年2月3日-2月9日，全国货运物流有序运行，其中国家铁路累计运输货物6989万吨，环比增长7.49%．数据6989万用科学记数法可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】数据6989万用科学记数法可以表示为，
故选：C．
3. 如图是一个几何体的三种视图，则这个几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意，故选：D．
4. 如图，已知直线，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：
根据题意得：，∴，
∵，∴，故选：D.
5. 如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据面积得：，故选B.
6. 如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵一次函数的图象经过，
时，
又由图像知，一次函数随的增大而增大，
∴关于的不等式的解集是．
故选：C．
7. 如图，在四边形中，，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】∵，点分别是的中点，
∴，
∴四边形的周长为；
故选：C．
8. 某学校食堂为更好地服务学生，让全体学生给食堂的服务情况进行打分，以便了解存在的问题，及时改进．如图是学生给食堂的打分情况(满分5分)，其中相应分数的众数和中位数分别是（ ）
A. 3，3B. 3，4C. 4，4D. 4，3
【答案】A
【解析】由扇形统计图可知：3分所占百分比最大，故3分出现的次数最多，
∴所打分数的众数为3；
∵1分占比，2分占比，3分占比，
∴，
∴中位数3分，
故选：A．
9. 如图，矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心， 的长为半径画弧，交于点 F，则阴影部分的面积为（ ）
A. 12πB.
C. D.
【答案】D
【解析】∵， ，，
∴，
故选：D．
10. 九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（ ）
A. 是关于x的二次函数
B. 是关于x的一次函数
C. 当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间
D. 10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量
【答案】D
【解析】由函数图象可知，是关于x的二次函数，是关于x的一次函数，故A、B都正确，不符合题意；
由函数图象可知，当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间，故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，10分钟时，A场景剩余质量大于 B 场景剩余质量，故D错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 请写出一个小于的整数：_______．
【答案】（答案不唯一，不大于的整数均正确）
【解析】∵，
∴小于的整数为负整数、、，
故答案为：（答案不唯一，不大于的整数均正确） ．
12. 方程 的解的情况为______．
【答案】无解
【解析】，
，
，
，
检验：时，，
∴原分式方程无解，
故答案为：无解．
13. 只有河南————戏剧幻城用沉浸的方式讲出厚重的河南．它不仅仅是河南文旅的新名片，更是河南人更加认同自己、介绍自己、让更多人了解河南最好的载体．景区以沉浸式戏剧艺术为手法，以独特的“幻城”建筑为载体，通过讲述关于“土地、粮食、传承”的故事，让更多人感受戏剧文化的魅力．小明假期期间去景区参观，由于时间关系，他只能在《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光(闭园大秀)中随机选择两个参观，则他选中《李家村剧场》和文明之光(闭园大秀)的概率为________．
【答案】
【解析】用字母A，B，C，D表示《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光（闭园大秀），
画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的有2种，
所以，选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的概率为．
14. 对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况：________．
【答案】有两个实数根
【解析】根据题意得：可化为，
解得：，
∴关于x的方程有两个实数根．
故答案为：有两个实数根．
15. 如图，点D 是等边三角形边上一点，，连接，将沿 翻折，得到，线段绕点D 旋转，点A 的对应点为点，当点是一边的中点时，的长度为_________．
【答案】3或
【解析】由折叠的性质得：，
∵线段绕点D 旋转，
∴点A在以点D为圆心，长为半径的圆上运动，
设圆D的半径为r，即，
如图，当圆D过边的中点时，设与圆D交于点，过点D作于点G，此时，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得：或（舍去），
∴；
如图，当圆D过边的中点时，设与圆D交于点，连接，此时，
∵是等边三角形，
∴，
在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
综上所述，的长度为或3．
三、解答题(本大题8个小题，共75分)
16. （1）计算∶；
（2）计算∶ ．
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
①甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填字母)
A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法分配律 D．乘法交换律
②请选择一种解法，写出完整的解答过程．
解：（1） ；
（2）①甲同学解法的依据是分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律；
故答案为：B ；C
②选择甲同学的解法：
原式
；
选择乙同学的解法：
原式
．
17. 为进一步落实立德树人根本任务，全面推进素质教育，提升学生综合素养，某校组织了春季体育艺术节活动，在体育艺术节开幕式中，对各班的入场式按照服装整齐、艺术表现、创新能力、精神面貌这四项进行打分(百分制)．九(1)班、九(2)班的得分(单位：分)如下表：
两个班级的得分整理情况如下：
（1）你认为九（1）班和九（2）班的入场式得分哪个更好？结合数据，从两个角度进行分析．
（2）若将这四个方面的得分分别按权重计算综合得分，请分别计算九（1）班和九（2）班的综合得分．
解：（1）从平均数看，九（1）班的平均分高于九（2）班，九（1）班的整体成绩比较好；从方差看，九（1）班的方差小于九（2）班，所以九（1）班的成绩更加稳定，所以九（1）班的成绩更好；
（2）九（1）班综合得分：（分）；
九（2）班综合得分：（分）．
18. 观察下列算式：
，，，，……
（1）通过观察上述4组算式得到规律是 ；
（2）请证明你得到的规律．
（3）利用上面的规律计算．
（1）解：，
，乘积的末两位是21，前面的数字是：，
，乘积的末两位是21，前面的数字是：，
，乘积的末两位是21，前面的数字是：，
则上述4组算式得到的规律是：乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积．
（2）证明：设数字为，，
则(．
（3）解：
19. 某休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，石墩在阳光下形成自己的影子分别是、．如图所示，和是两球的主视图，均与地面l相切．
（1）求与的关系，并说明理由．
（2）已知太阳光线与地面的夹角是，，，请根据以上数据求出球的半径．(参考数据： ，，，结果精确到)
解：（1），理由如下：
如图，设太阳光线与、 的切点分别为点 D、C，
∵与直线l相切，
∴．
在和中，，，
，
，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）设球的半径为r．
由（1）可知，，∴，
在中，，
，
∵，，
，
解得．
答∶球的半径为．
20. 如图，平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数 的图象上，点A 的坐标为，点 C在x轴上．
（1）求k的值．
（2）已知轴，轴，两条直线相交于点N，请用无刻度的直尺和圆规在图中作图∶过点A作轴，轴， 相交于点M(不写作法，保留作图痕迹)．
（3）求证：点O、N、M在同一条直线上，判断四边形的形状，并说明理由．
（4）直接写出与的数量关系．
（1）解：把点代入得：；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：四边形是矩形，理由如下：
∵轴，轴，
∴轴，
∵轴，
∴轴，
∵轴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形；
∵点A 的坐标为，
∴，
∵，
∴，
根据题意得可设，则，点N的纵坐标为m，
∴可设点B的坐标为，则，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∵，
∴或（舍去），
∴点，，
∴点M的坐标为，
设直线的关系式为，
把点代入得：，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点M在直线上，
即点O、N、M在同一条直线上．
（4）解：如图，延长交x轴于点E，设直线交x轴于点F，在x轴取点D，使，则轴，
∴，
∴，
∵点M的坐标为，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵点A 的坐标为，
∴，
∴，
∴．
21. 朱仙镇木版年画是中国木版年画的鼻祖，主要分布于河南省开封、朱仙镇及其周边地区．朱仙镇木版年画构图饱满，线条粗扩简炼，造型古朴夸张，色彩新鲜艳丽．年，朱仙镇木版年画经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．某商场需要购买、两种年画．如果购买种幅和 B种幅，共需元；如果购买种幅和 种幅，共需元．
（1）种年画和种年画单价各是多少元？
（2）若该商场需要购买种年画和种年画共幅(两种年画均需购买)，其中种数量不少于幅，为使购买年画的总费用最低，应购买种年画和种年画各多少幅？购买年画的总费用最低为多少元？
解：（1）设种年画的单价为元，种年画的单价为元，
则，解得：，
答：种年画的单价为元，种年画的单价为元；
（2）设购买种年画幅，则购进种年画幅，设购买总费用为元，
则，
因，
所以随的增大而增大，
又因为，
所以当时，购买年画的总费用最低，此时购进、两种年画各幅，
购买年画的总费用最低为（元）．
答：购进、两种年画各幅，购买年画的总费用最低为元．
22. 掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度．
（1）求满足条件的抛物线的关系式．
（2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
解：（1）由题意可知,抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的关系式是，
把点代入得：
解得：，
∴ 抛物线的关系式为；
（2）当时, ，
解得： （舍去），
∵，
∴小明在这次投掷中得到了满分．
23. 【课本再现】
（1）如图1，正方形的中心为点O，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点O旋转．
在正方形旋转过程中阴影部分的面积 （填写“改变”或“不变”），阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为 ．
【深入思考】
（2）如图2，在旋转过程中，线段与的位置关系是什么？请写出并证明．
【问题迁移】
（3）如图2，如果正方形的边长为4，正方形在旋转中边长与有交点，设，请求出阴影部分的周长y与x的函数关系式．
【拓展应用】
（4）如图3，如果正方形的边长为4，边长为4且的菱形 绕点O旋转，请直接写出两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值和最小值．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
∴在正方形旋转过程中阴影部分的面积不变，阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为；
故答案为：不变；；
（2），证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，过点作于点，
∵正方形的边长为4，，
∴，
∵设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长，
∴函数关系式为；
（4）①若两个图形重叠部分为，如图所示，
作于点，作的外接圆，作于点，连接、、，
∵正方形的边长为4，，
∴，
∵的外接圆，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴面积的最小值为，
∴两个图形重叠部分面积的最小值为；
②若两个图形重叠部分为四边形，如图所示，
作于点，于点，在上截取，作的外接圆，作于点，连接、、，
∵正方形的边长为4，，，
∴，，，
∴四边形是边长为2的正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵的外接圆，
∴，，
∴是等边三角形，，，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴
，
∴四边形面积的最大值为，
∴两个图形重叠部分面积的最大值为；
∴综上所述，两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值为，最小值为．甲
乙
解：原式
……
解：原式
……
班级
服装整齐
艺术表现
创新能力
精神面貌
九（1）班
88
87
82
87
九（2）班
76
89
89
86
班级
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
86
87
87
九（2）班
85
89