河南省洛阳市老城区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省洛阳市老城区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2025D.
【答案】C
【解析】的相反数是，故选：C ．
2. 人民日报评论，河南许昌商超胖东来坚持关注顾客需求、尊重员工价值，把事做到极致，春节假期仅营业4天，市区各店客流量便达224万人次，真正赢得消费者信赖和市场认可．将数据224万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】万，故选：D．
3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，
即看到的图形为，
故选：C．
4. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】和不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
5. 抖空竹是我国传统的体育、游艺与杂技项目，是国家级非物质文化遗产之一如图，线某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为计，方向竖直向下．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，延长，
由题意，，∴，
∴，
故选：A．
6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为．
故选：A．
7. 点在第三象限，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵在第三象限，∴，解得，
故选：C．
8. 如图，在中，点是的中点，交对角线于点，交于点，若，则的长是（ ）
A. 4B. 3C. 2.5D. 2
【答案】B
【解析】在中，点是的中点，
∴，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，又，
∴，则，
故选：B
9. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，
根据题意得．
故选：A．
10. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④
【答案】C
【解析】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=，
∴cs∠ABE=，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；
当秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=，
PQ=CD-PD=4-=，
∵，，∴，
又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】．
12. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为_____．
【答案】
【解析】二次方程的一个根为2，
，
，
故答案为：．
13. 某餐厅提供单价为10元、8元、6元的三种小吃，如图是某月销售情况的扇形统计图，则该餐厅本月销售单价的众数是___________元．
【答案】8
【解析】，
销售量为8元的最多，
众数为8元，
故答案为：8．
14. 如图，在中，，在上取一点E，以点E为圆心，的长为半径作弧，与边恰好相切于点B，则图中阴影部分面积为________．
【答案】
【解析】连接，
四边形是平行四边形，
，
以点为圆心，的长为半径作弧，与边恰好相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分面积平行四边形的面积扇形的面积的面积，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，P、Q是边上两点，将沿直线折叠，沿直线折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当为直角三角形时，线段的长为______．

【答案】或
【解析】作于F，
在中，，，
∴，，
∴，即，
如图所示，当时，
由折叠可知，，即，则，
∴，，
∴，
∴，，∴；

如图所示，当时，
同理可求，，，则，
则；

故答案为：或．
16. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）
；
（2）
．
17. 当前AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89．
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中，___________，___________，___________．
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人．
解：（1）由题意得：款“满意”所占百分比为，
“不满意”所占百分比为，
；
“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
，
在款的评分数据中，98出现的次数最多，
；
故答案为：10，88.5，98；
（2）款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）；
（3）款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人．
18. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求直线的函数解析式．
解：（1）设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为
（2）设直线的函数解析式为，
把点代入得，，解得，
∴直线函数解析式为，
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线
∴直线的函数解析式为，
19. 图1是某型号的挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂、伸展臂和钻头组成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，为水平地面，钻头D点和基座A点在同一水平线，连接，基座高，主臂长，钻头长，用测角仪测得，，．（参考数据：，，，，，)
（1）求点B和点C到地面的距离．
（2）求伸展臂的长度．(结果保留一位小数)
解：（1）过点B作于点E，过点C作于点F，
∴，，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，，
即点B和点C到地面的距离分别为，；
（2）如图，过点C作，
∴，
∵，，∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
即伸展臂的长度约为．
20. 图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧．图2是马车的侧面示意图，为过圆心O的车架，且与交于点B，地面与车轮相切于点D，连接，．
（1）求证：．
（2）小李测出车轮的直径为1米，为米，求的长度．
（1）证明：如图，连接，
与相切于点D，
，即，
为的直径，，即，
，，；
（2）解：由（1）知，
又，
，
的直径，，，
，
解得，舍去
答：的长度为2米．
21. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
解：（1）∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
22. 乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，O点在球台中轴线上，发球机的出球口A在O点正上方处，以球台的中轴线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从A点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球台边界距O点的水平距离为．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
（3）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低后(抛物线形状不变)，球从B点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与O点的水平距离．
解：（1）根据题意，将点代入，得：，
解得：，
∴；
（2）当时，，
∴球能过网，
当时，，
∴球不会出界，
∴球能越过球网，也不会出界；
（3）依题意，点，
设，
将代入，得：，
解得：，
∴，
令，则，
解得：，（舍去），
∴球的落点与O点的水平距离为．
23. 小英同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程．
（1）操作判断
如图1，正方形的边长为a，则．
如图2，菱形的边长为a，则________．（请用含a的代数式表示）
（2）性质探究
①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含a、b的代数式表示）
②如图4，在中，，，猜想与a、b的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在如图4的中，，，，将点B绕点O旋转，点B的对应点为，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长．
解：（1）根据菱形的性质，得，，
根据勾股定理得，
变形得，
整理得．
故答案为：．
（2）①根据矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
②；
理由如下：
如图，过点A作于，过点D作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
．
故答案为：．
（3）根据题意，中，，，，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
根据前面的结论得，
∴，∴，
∴（舍去），∴，
∵点B绕点O旋转，点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当顺时针旋转时，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
AI聊天机器人
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
96
B
88
87.5