2024_2025学年_甘肃酒泉金塔县等4地高二第一学期11月期中数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_甘肃酒泉金塔县等4地高二第一学期11月期中数学试卷[附解析]，共24页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列的前项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 28
4. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
5. 设为数列的前项和，若，则的值为（ ）
A. 8B. 4C. D.
6. 若点在圆的外部，则的取值一定不是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 公差B.
C. 使成立的n的最小值为20D.
8. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A. 12B. C. 6D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程可能为（ ）
A. B.
C D.
10. 已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，则
11. 已知圆和圆，则下列结论中正确的是（ ）
A. 圆与圆相交
B. 圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为
C. 圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为
D. 若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的方向向量为，且直线经过点，则直线的一般式方程为________．
13. 圆C：，Px0,y0为圆C上任意一点，则的最大值为______．
14. 已知等比数列前n项和，，则a＝________；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，，且满足，垂足为.
（1）求的值及点的坐标.
（2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.
16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17 已知圆C：，点．
（1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程；
（2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围．
18 已知数列满足：，数列满足.
（1）求数列通项公式；
（2）求的值；
（3）求的值.
19. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：；
（3）若，求数列的前n项和
2024-2025学年甘肃省酒泉市金塔县等4地高二上学期11月期中数学检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.
详解】由已知数列，，，，，…，，…，
即，，，，，…，，…，
则数列的第项为，
第项为，
故选：A.
2. 已知数列的前项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据数列的前项和，可得数列的项，进而可得值.
【详解】由已知数列的前项和，
则，
故选：C.
3. 在等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 28
【正确答案】B
【分析】由等差中项的性质计算即可；
【详解】因为在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：B
4. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角.
【详解】由题意可得直线的斜率为，
设其倾斜角为，则，
又，所以，
故选：B
5. 设为数列的前项和，若，则的值为（ ）
A. 8B. 4C. D.
【正确答案】D
【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.
【详解】当时，，∴，
当时，，则，
∴，即数列是首项，公比的等比数列，
即，
∴
故选：D.
6. 若点在圆的外部，则的取值一定不是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.
【详解】因为点在圆：的外部，
所以，解得，
又方程表示圆，则，即，
所以，结合选项可知，的取值一定不是.
故选：D.
7. 已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 公差B.
C. 使成立n的最小值为20D.
【正确答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解.
【详解】设等差数列的公差为d，由，得，
即，即，
又，所以，所以；故AD错，
，故B错
因为，，所以，，
所以成立的n的最小值为20. 故C正确.
故选：C
8. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A. 12B. C. 6D.
【正确答案】C
【分析】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.
【详解】根据已知有，圆心O0,0，半径，因为弦，
所以圆心到所在直线的距离，
又因为为的中点，所以有，
所以的轨迹为圆心为O0,0，半径为的圆，
的轨迹方程为；
令直线为，则到直线的距离为，
则，即，所以当最大时，
也取得最大值，
由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的2倍，
设圆心O0,0到直线的距离为，则，所以，
所以的最大值为6.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【分析】由题意知直线过点，所以根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解.
【详解】设为点A，易知点在直线上，
直线与轴的交点，
当直线的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线的方程为，与轴的交点为；
此时，，，
所以不是等腰三角形，故直线存在斜率；
设关于轴的对称点为，
当直线过，两点时，，是等腰三角形，
同时直线的斜率为，倾斜角为，所以是等边三角形，
所以，此时直线的方程为，化简得，
设直线与轴相交于点，如图所示，
若，则，
所以直线，即直线的斜率为，
此时方程为，整理得；
所以直线l的方程可能为：或
故选：AD.
10. 已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，则
【正确答案】AC
【分析】利用和的关系即可判断A，B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项.
【详解】对于A，若，则当时，，
当时，，符合，故，
则是等差数列，故A正确；
对于B，若，则，，，
故，不是等比数列，故B错误；
对于C，若是等差数列，则，故C正确；
对于D，若，符合是等比数列，且，
此时，，
不满足，故D错误.
故选：AC
11. 已知圆和圆，则下列结论中正确的是（ ）
A. 圆与圆相交
B. 圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为
C. 圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为
D. 若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为
【正确答案】ABC
【分析】根据圆的一般方程确定圆心、半径，判断的关系判断A，两圆方程相减求相交线方程判断B；应用点斜式写出公共弦AB的垂直平分线方程判断C；数形结合判断使△PAB面积最大时点的位置，进而求最大面积判断D.
【详解】由题设，则，半径，
，则，半径，
所以，两圆相交，A对；
两圆方程相减，得公共弦所在直线为，B对；
公共弦AB的垂直平分线方程为，即，C对；
如下图，若与重合，而到的距离，且，
要使△PAB面积最大，只需到的距离最远为，
所以最大面积，D错.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的方向向量为，且直线经过点，则直线的一般式方程为________．
【正确答案】
【分析】根据点斜式求得直线方程，并化为一般式.
【详解】直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为.
故
13. 圆C：，Px0,y0为圆C上任意一点，则的最大值为______．
【正确答案】##
【分析】设，则直线与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解.
【详解】设，则，
联立，消元得，
由，解得，
所以的最大值为.
故
14. 已知等比数列的前n项和，，则a＝________；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为________．
【正确答案】 ①. 1 ②.
【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即，
结合对恒成立求的范围即可.
【详解】由等比数列an的前n项和知，，
所以，所以，
而，，
∴，即，
由上知：，则，
∴Tn=0+2n−1⋅n2=n2−n>5n+λ，
即，
当时，的最小值为，
所以.
故1；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，，且满足，垂足为.
（1）求的值及点的坐标.
（2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.
【正确答案】（1）；.
（2）
【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.
（2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.
【小问1详解】
解：显然，可得，，
由，可得，即，解得，
所以直线：，直线：，
联立方程组，解得，所以点．
【小问2详解】
解：由直线：，直线：，可得，，
所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心1,0，半径，
所以的外接圆方程是．
16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【正确答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；
（2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果.
【小问1详解】
设公差为，公比为，因为，
则由可得，，即，
由可得，，解得，则.
所以有，整理可得，
解得或（舍去）.
所以，则，解得（舍去负值），所以.
所以有，.
【小问2详解】
由（1）知，，，则.
.
17. 已知圆C：，点．
（1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程；
（2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围．
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）对直线l的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算；
（2）要使圆C上存在到点P的距离为1的点，则圆心C到的距离满足，，运算得解.
【小问1详解】
因为，所以圆C方程为
①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意；
②当l的斜率存在时，设l的方程为，即，
圆心C到l的距离，解得，
则l的方程为，即，
综上可得，l的方程为或．
【小问2详解】
由题意可得圆C：，圆心，半径，
则圆心C到的距离，
要使C上存在到P的距离为1的点，
则，即，
解得，
所以m的取值范围为．
18. 已知数列满足：，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列an的通项公式.
（2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；.
（3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解.
【小问1详解】
由数列an满足：，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
当，可得，所以，适合上式，
所以数列an的通项公式为.
【小问2详解】
由数列bn满足，
则.
【小问3详解】
由（2）知，
可得，
则，
两式相加可得，所以.
19. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：；
（3）若，求数列的前n项和．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明；
（2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可；
（3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果.
【小问1详解】
由题设，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，得证.
【小问2详解】
令数列的公差为，而，
所以，又，
则
恒成立，
所以，得证.
【小问3详解】
由上知，则，
则，即，
所以，即