福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考试题 数学试卷

这是一份福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考试题 数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
三明一中 2025-2026 学年上学期 10 月月考高二数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）第 I 卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
直线的倾斜角是（）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
若， ，则（）
A. 22B. C. D. 15
已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（）
B. C. D.
已知 ， ，，若向量 ， ，共面，则实数 的值为（）
B. C. D.
已知直线：与： 平行，则 m 的值是（）
B. 2 或C. 6D. 或 6
在正三棱锥 中， ，点分别是棱 的中点，则 （）
B. C. D.
已知点 ， ．若直线 与线段 无公共点，则实数的取值范围是（）
B. C. D.
8.已 知 实 数 ， ， ， 满 足 ， ， ， 则 的最大值为（）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
下列命题中，错误的是（）
平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
经过点 且斜率为 2 的直线方程为
直线 的斜率为 0
直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
已知直线过点 且交圆于 两点，则下列结论正确的是（）
若圆 关于直线对称，则
的最小值为
若的方程是 ，则圆 上有 3 个点到直线的距离为 2
圆 在 两点处的切线的交点轨迹方程为
如图，在棱长为 6 的正方体中，M 是棱 的中点，点 P 是线段 上的动点，点
Q 在正方形 内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（）
若存点 Q，使得
存在点 P，使得
面积的最小值是
若 ，则三棱锥 体积最大值是
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
直线 恒过定点，则直线 关于点对称的直线方程为．
已知点 和点 到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为.
若实数 、满足，则 的取值范围是.
已知空间中三点 ，设
已知 ，求 的值；
若，且 ，求 的坐标.
，
，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为
求 BC 边上的中线 AD 的所在直线方程；
．
求△ABC 的外接圆 O 被直线 l： 截得的弦长．
如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的正方形， 底面， ，M为 的中点，N 为 的中点，解答以下问题：
证明：直线 平面；
求直线 与平面的距离；
求直线与平面所成角余弦值.
已知圆 .
若直线 与圆 相交，求实数的取值范围；
若点 为 轴上一点，过点 作圆 的切线，切点分别为 和.
①求四边形 面积的最小值；
②当点 横坐标为 4 时，求直线方程.
圆 上.
已知圆 和定点 ，动点 ､
过点作圆 的切线，求切线方程；
若满足 ，设直线与直线 相交于点 .
①求证：直线 过定点；
②求证：.
三明一中 2025-2026 学年上学期 10 月月考高二数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）第 I 卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
直线的倾斜角是（）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.
【详解】因为直线方程为，所以斜率，设倾斜角为 ，所以，所以 ，
故选：C.
若 ， ，则 （）
A. 22B. C. D. 15
【答案】C
【解析】
则
.
【分析】根据题意，利用向量的坐标运算公式，以及数量积的运算公式，准确计算，即可求解.详解】由向量， ，可得，且 ，
故选：C.
已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化方程为 ，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】由直线，可得 ，
则直线 和 的距离为 .
故选：B.
已知 ， ，，若向量 ， ，共面，则实数 的值为（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理，得到存在实数使得 ，结合题意，列出方程组，即可求解.
，
，
【详解】由向量，
使得
，
因为向量 ， ，共面，则存在实数
即
，
所以，解得.
故选：A.
已知直线： 与： 平行，则 m 的值是（）
B. 2 或C. 6D. 或 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解.
或
，
【详解】由直线，得 ,解得
当时，直线： 与直线：平行，
当 时，直线： 与直线： 平行，所以 m 的值是或 6.
故选：D
在正三棱锥 中， ，点分别是棱 的中点，则 （）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到 ，，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解.
【详解】如图所示，在正三棱锥 中，，可得，
，
，
因为点分别是棱 的中点，可得
所以
．
故选：D．
已知点 ， ．若直线 与线段 无公共点，则实数的取值范围是（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段无公共点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.
，
，
【详解】由 ，得 ，所以直线的方程恒过定点 ，斜率为 .
因为
，
.
所以
如图所示，
由图象可知，， 即时，直线 与线段 无公共点，所以实数的取值范围为，
故选：A.
8.已 知 实 数 ， ， ， 满 足 ， ， ， 则 的最大值为（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把问题转化为点到直线的距离求解.
，
.
【详解】设
因为，，所以.
又，即.
所以 为等边三角形.如图：
取 中点为，则，点在以为圆心，为半径的圆上.分别过 做直线 的垂线，垂足分别为 .
则 .
又
，
所以，
即
.
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
下列命题中，错误的是（）
平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
经过点 且斜率为 2 的直线方程为
直线 的斜率为 0
直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断 AC，利用点斜式直线方程求解判断 B，求出直线与坐标轴的
交点坐标，进而计算三角形面积求解判断 D.
【详解】对于 A，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，故 A 错误；
对于 B，过点 且斜率为 2 的直线的方程为 ，即 ，故 B 正确；对于 C，直线 的斜率不存在，故 C 错误；
对于 D，对于直线 ，令 ，则，令，则 ，所以直线 在 轴上的截距为 2，在轴上的截距为，
所以直线 与坐标轴围成的三角形的面积为，故 D 正确.
故选：AC.
已知直线过点 且交圆于 两点，则下列结论正确的是（）
若圆 关于直线对称，则
的最小值为
若的方程是 ，则圆 上有 3 个点到直线的距离为 2
圆 在 两点处的切线的交点轨迹方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线过圆心，求得，可判定 A 正确；由圆的性质得，当垂直于 时，求得
，可判定 B 正确；求得圆心 到直线的距离为，结合，可判定 C 错误；设 ，结合 和 ，联立方程组，求得，结
合 在圆 上，得到 ，可判定 D 正确.
【详解】由圆，可得圆心 ，半径为 ，
对于 A，若圆 关于直线对称，则直线过圆心，此时，所以 A 正确；对于 B，由点 满足，可得点 在圆内，
由圆的性质得，当垂直于 时，此时最短，且，
所以，所以 B 正确；
对于 C，若直线的方程是 ，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆 上有 个点到直线的距离为 ，所以 C 错误；
对于 D，设 ，可得，
所以，可得 ， 由 ，可得，可得 ，
联立方程组，两式相减得到，
，即
，
因为 在圆 上，满足
所以，即 成立，所以 D 正确.故选：ABD.
如图，在棱长为 6正方体中，M 是棱 的中点，点 P 是线段 上的动点，点
Q 在正方形 内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（）
若存在点 Q，使得
存在点 P，使得
面积的最小值是
若 ，则三棱锥 体积的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用线面垂直推理判断 A；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断 BC；求出点 的轨迹求解判断 D.
【详解】对于 A，假定存在点，使得，连接 ，由 平面 ， 平面 ，
得，而平面 ，
于是 平面，又 平面，因此，
而点 在正方形 内（含边界）运动，显然不存在这样的点 ，故 A 错误；
对于 BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
令，则，
，假定存在点，使得，
则，整理得 ，而 ，
解得，因此存在点，使得，故 B 正确；
显然点 在直线上的投影为点，
则点到直线的距离，
当且仅当 时取等号，因此面积的最小值是，故 C 错误；
在 中，，则 ，即 ，在平面 内以直线 为 轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，
有 ，于是 ，整理得 ，
因此以点为圆心，4 为半径的圆在正方形 及内部的圆弧即为点的轨迹，
当点 为线段与圆的交点时，点 到底面的距离最大，最大距离为，所以三棱锥 体积的最大值为，故 D 正确.
故选：BD
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
直线 恒过定点，则直线 关于点对称的直线方程为．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果.
【详解】由 得：，当 时， ，；设直线 关于点对称的直线方程为 ，
，解得：或 （舍），
直线 关于点对称的直线方程为 .
故答案为：.
已知点 和点 到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意，分 和直线过线段 的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】因为点 和点到直线的距离相等，且过点 ，
当直线 时，可得，
，即
，
可得直线的方程为，即；当直线过线段的中点，由
，即
，
或
.
则 ，所以直线的方程为综上可得，直线的方程为
若实数 、满足，则 的取值范围是.
【答案】
【解析】
【详解】令，此时，，
且题设等式化为 .
于是，满足方程 .
如图，在 平面内，点的轨迹是以 为圆心、为半径的圆在 的部分，即点与弧 并集.
故
.
从而， .
已知空间中三点 ，设
已知 ，求 的值；
若，且 ，求 的坐标.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据条件得到， ，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解；
（2）根据条件得到 ，再利用，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，，
，
，
所以
又，所以，得到.
【小问 2 详解】
或，
或
.
因为 ，又，所以，解得所以 的坐标为
，
，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为
求 BC 边上的中线 AD 的所在直线方程；
．
求△ABC 的外接圆 O 被直线 l： 截得的弦长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求 BC 边的中点 D 的坐标，再得 AD 的斜率即可求解；
（2）先求△ABC 的外接圆 O，再求圆心到直线.直线 l 的距离，再由勾股定理可求解.
【小问 1 详解】
∵
，
∴BC 边的中点 D 的坐标为，
∴中线 AD 的斜率为，
∴中线 AD 的直线方程为：，即
【小问 2 详解】
设△ABC 的外接圆 O 的方程为 ，
∵A、B、C 三点在圆上，
∴
解得：
，即
，
∴外接圆 O 的方程为
其中圆心 O 为，半径,
又圆心 O 到直线 l距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的正方形， 底面， ，M为 的中点，N 为 的中点，解答以下问题：
证明：直线平面；
求直线 与平面的距离；
求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合 ，即可证得直线 平面；
由（1）知： 平面，得到直线 与平面的距离即为点 N 到平面的距离，结合向量的距离公式，即可求解；
设直线与平面所成角为，利用向量的夹角公式，求得 的值，进而得到直线与平面所成角的余弦值.
【小问 1 详解】
证明：如图所示，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 x，y，z 轴建立坐标系，
，
，
，
，
，
，
则，
，
，
可得
设平面的法向量为，则，取，可得 ，所以，
因为 ，且 平面，所以直线 平面.
【小问 2 详解】
解：由（1）知： 平面，且平面的法向量为，所以直线 与平面的距离即为点 N 到平面的距离，
设点 到平面 的距离为 ，
又由，可得，所以直线 与平面的距离为.
【小问 3 详解】
，则
，
解：设直线与平面所成角为，且，因为
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
已知圆 .
若直线 与圆 相交，求实数的取值范围；
若点 为 轴上一点，过点 作圆 的切线，切点分别为 和.
①求四边形 面积的最小值；
②当点 横坐标为 4 时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用距离公式即可得到答案.
（2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案.
【小问 1 详解】
命题等价于到直线 的距离小于 ，
即，解得的取值范围是 .
【小问 2 详解】
①易知，
所以，
等号对成立，故最小值是；
②因为 ，所以 四点共圆，圆心为 的中点，
因为，所以圆的半径为，
方程为 ，即 ，
直线 为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线 的方程为 .
已知圆和定点 ，动点 ､ 在圆 上.
过点作圆 的切线，求切线方程；
若满足 ，设直线与直线 相交于点 .
①求证：直线 过定点；
②求证： .
或
，
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解，
（2）设直线 方程，与圆方程联立后由韦达定理化简 后证明，
以得直线 方程与 坐标，再由斜率公式计算 后化简证明
【小问 1 详解】
当直线斜率不存在时，与 相离，
当直线斜率存在时，设切线方程 即 ，
或
，
，解得 或，切线方程为
【小问 2 详解】
若直线 斜率不存在，由对称性得，
令，由解得，则，直线 方程为，
若直线 斜率存在，设方程为 ，
联立直线与圆方程得，
时得，
而
，
化简得 ，当 时，直线过，不合题意，故，直线过，而直线 也过，
综上，直线 过定点；
，，故直线 方程为，
得
，
，