2025年山西省吕梁市孝义市中考三模数学试题（附答案解析）

这是一份2025年山西省吕梁市孝义市中考三模数学试题（附答案解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ）
A．B．C．D．
2．中国传统纹样是中国传统文化的重要组成部分．下列所给的纹样图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．今年，我国科学家通过嫦娥六号带回的月球背面月壤样品研究，又取得一项重大突破，确定月球最古老、最大的撞击遗迹南极——艾特肯盆地形成于42.5亿年前．数据42.5亿年用科学记数法表示为（ ）
A．年B．年C．年D．年
5．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，从点光源发出平行于主光轴的光线，在凸透镜处折射后经过焦点射出，从点光源发出的光线经过光心后沿原方向射出，两束光线汇聚于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．今年春季，为方便游客赏花，某市推出4条赏花线路，分别是：．市城区春日踏青游；．乡村田园赏春游；．山野古风漫步游；．太行风光暖阳游．小丽和妈妈计划分别从这4条线路中随机选择一条去踏青赏花，则两人选择的线路相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（ ）
A．图形的平移B．图形的轴对称
C．图形的旋转D．图形的相似
10．如图，在中，，，点是边上一点，经过点且恰好与边相切于点，与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．数学之美无处不在．如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为 ．
13．如图是一组有规律的图案，它们由若干个大小相同的正方形组成，第1个图案中有4个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有10个正方形…按此规律，第n个图案中有 个正方形．（用含n的代数式表示）
14．图1所示是厨房三角落地置物架，图2是置物架搁物板示意图，其中，，则的度数是 ．
15．如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：．
18．为增强学生的交通安全意识，某市开展“交通安全宣讲员”遴选活动．某校有男、女学生各10名报名参加校级初选，报名的学生需进行“笔试”“宣讲”“答辩”三项测试（每项测试满分均为100分），将笔试、宣讲、答辩三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．这20名学生的总评成绩频数直方图如下图（每组含最小值，不含最大值），小亮和小慧的三项测试成绩和总评成绩（取整数）如下表．
(1)请计算出小亮的总评成绩；
(2)学校决定根据总评成绩在男女生中各择优选拔5名学生参加市级遴选，试分析小亮、小慧能否入选，并说明理由．
19．从古建系列冰箱贴惊艳亮相，到呆萌“佛小伴”霸屏社交软件，再到汾酒巧克力“全网断货”，山西以其独特的历史和风俗，赋予文创商品独特的韵味，使其成为吸引游客的“新流量”．“五一”前夕，某文创商店购进一批“佛小伴”毛绒公仔和钥匙扣，已知1个“佛小伴”毛绒公仔和3个钥匙扣的总进价为143元，2个“佛小伴”毛绒公仔的总进价和5个钥匙扣的总进价相等．
(1)求1个“佛小伴”毛绒公仔和1个钥匙扣的进价各是多少；
(2)“五一”期间，商店以88元/个的价格出售“佛小伴”毛绒公仔，后来为让利于顾客，商店决定降价销售，若要使利润率不低于，则每个“佛小伴”毛绒公仔最多可降价多少元?
20．2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：
①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑；
②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，…
请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．）
21．阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
学习任务：
(1)在图1中，，，的数量关系是________；
(2)请在图2中证明四边形是平行四边形；
(3)当四边形对角线的交点是相关点时，矩形的泰森四边形是________，菱形的泰森四边形是________．（填“矩形”“菱形”或“正方形”）
(4)如图5，在四边形和中，，，分别垂直平分，，．在平面内求作点，使四边形是四边形的泰森四边形，且点是相关点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法．）
22．综合与实践
项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究
调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为．
解决问题：
(1)请直接写出点，的坐标；
(2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）；
(3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标．
23．综合与探究
问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接．
数学思考：
（1）如图1，求证：是等腰三角形；
拓展探究：
过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点．
（2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
姓名
性别
测试成绩/分
总评成绩/分
笔试
宣讲
答辩
小亮
男
75
88
80
小慧
女
85
92
70
84
关于“泰森四边形”的研究报告荷兰气候学家A・H・Thicssen为了计算各个区域的平均降雨量，将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，这些垂直平分线围成一个多边形，这个多边形就是泰森多边形，其顶点是每个三角形外接圆的圆心．如图1，点是四边形内一点，，，，分别是，，，的外心，则四边形是四边形的泰森四边形，点叫做相关点．
如图2，当四边形对角线的交点是相关点时，其泰森四边形是平行四边形．
如图3，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是菱形．理由如下：
设与交于点，与交于点，与交于点，与交于点．
点，，，分别是，，，的外心，
．
又 ．
又四边形是平行四边形
四边形是菱形．
如图4，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是矩形．理由如下：
，…
《2025年山西省吕梁市孝义市中考三模数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查了正数和负数，根据例题的思路，以及正数和负数的意义，即可解答．
【详解】
解：若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的概念解答即可．
【详解】解：A．图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C．图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D．图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键；
根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性．
【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B：，故本选项符合题意；
C：，
，
，
故本选项不符合题意；
D：，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：42.5亿年年年．
故选：D．
5．A
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键．
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解．
【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握对顶角相等、三角形外角的性质，由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，最后由三角形外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人选择的线路相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人选择的线路相同的结果有4种，
∴两人选择的线路相同的概率为．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查相似三角形的应用，几何变换的类型，过E作于H，判定，推出，求出，因此，于是得到答案．
【详解】解：过E作于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
其依据的图形变化是图形的相似．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，解直角三角形求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
∵是的切线，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的长为：，
故选：B．
11．
【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．
【分析】本题考查了平面直角坐标系的知识，根据已知点确定坐标原点位置的是解决本题的关键．
首先根据端点，两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出点的坐标．
【详解】解：因为端点，两点的坐标分别为，，
所以可知小方格的边长为1个单位长度，
且可知点A在x轴负半轴2个单位，y轴正半轴2个单位，
点B在x轴正半轴2个单位，y轴正半轴1个单位，
由此建立坐标系如图：
所以点B的坐标为．
故答案为： ．
13．/
【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律．
【详解】解：第1个图案有4个正方形，即，
第2个图案有7个正方形，即，
第3个图案有10个正方形，即，
……
第个图案有个正方形，
故答案为：．
14．/135度
【分析】本题主要考查了多边形的内角和．根据多边形的内角和定理可得，即可求解．
【详解】解：五边形的内角和为，
即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
作于点，而，求得，由平分，得，由，得，则，求得，则，作于点交的延长线于点，则，可证明，得，推导出，由，得，则，可证明，则，由，得，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】作于点，则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，与相交于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
作于点，交的延长线于点，则，
在和 中，
,
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（1）2；（2）
【分析】本题考查了解分式方程，负整数指数幂．
（1）先根据有理数乘法，加法，负整数指数幂计算，再计算加减即可；
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原方程可化为．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以原方程的解是．
17．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的证明以及平行线的性质，由角边角的证明三角形全等并得到四边形是平行四边形解决本题的关键．
首先由角边角的方法证明与全等，则可得到，再由平行四边形的判定，即“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明．
【详解】证明：，
，
，
，．
，．
．
．
又．
四边形是平行四边形．
．
18．(1)83分
(2)小亮一定能入选，小慧不一定能入选，见解析
【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
（1）根据加权平均数的定义求解即可；
（2）根据频数直方图得出答案即可．
【详解】（1）解：小亮的总评成绩
（分）．
答：小亮的总评成绩为83分．
（2）小亮一定能入选，小慧不一定能入选．
理由如下：由男生总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的男生有4名，小亮的总评成绩为83分，学校要选拔5名男生，小亮的成绩在前4名，因此小亮一定能入选；由女生总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的女生有6名，小慧的总评成绩为84分，学校要选拔5名女生，小慧的成绩不一定在前5名，因此小慧不一定能入选．
19．(1)1个“佛小伴”毛绒公仔的进价为65元，1个钥匙扣的进价为26元
(2)10元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1个“佛小伴”毛绒公仔的进价是x元，1个钥匙扣的进价是y元，根据1个“佛小伴”毛绒公仔和3个钥匙扣的总进价为143元及2个“佛小伴”毛绒公仔的总进价和5个钥匙扣的总进价相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设每个“佛小伴”毛绒公仔可降价m元，利用利润=售价-进价，结合利润率不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设1个“佛小伴”毛绒公仔的进价为元，1个钥匙扣的进价为元．
根据题意，得
解得：
答：1个“佛小伴”毛绒公仔的进价为65元，1个钥匙扣的进价为26元．
（2）解：设每个“佛小伴”毛绒公仔可降价元．
根据题意，得．
解得．
答：每个“佛小伴”毛绒公仔最多可降价10元．
20．25米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的性质得到，，利用求出，求出x的值，最后根据含30度角的直角三角形特征求出结果．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
则四边形为矩形．
，．
设．
在中，，．
．
．
在中，
，．
，
．
，
．
解，得．
在中，
，，
（米）．
答：背水坡的长为25米．
21．(1)
(2)见解析
(3)菱形；矩形
(4)见解析
【分析】（1）由“垂直平分”可得，再根据四边形的内角和以及三角形的内角和结合等量代换即可求解．
（2）根据平行四边形的判定，即“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可证明．
（3）根据菱形的判定，即“对角线互相垂直的平行的四边形为菱形”证明；矩形的判定，即“有一个角为直角的平行的四边形为矩形”证明．
（4）根据尺规作图的作图要求，分别以H为圆心，为半径画圆，以G为圆心，为半径画圆，即可画出点D的位置．
【详解】（1）解：，
记与的交点为点N，与的交点为点M，
由题可知，垂直平分，垂直平分，
所以，
由四边形内角和可知，，
所以，
又因为在中，，
所以．
（2）解：设与交于点，与交于点．
，，，分别是，，，的外心．
，分别为，的垂直平分线，
，
．
同理，．
四边形为平行四边形．
（3）解：如图，四边形为矩形，四边形为其“泰森四边形”，
由题可知，垂直平方和，垂直平方和，
所以，
由（2）知四边形为平行四边形，
所以四边形为菱形；
如图，四边形为菱形，四边形为其“泰森四边形”，
因为四边形为菱形，
所以，
点，，，分别为所在四边的中点，
所以，，
所以，
所以四边形为矩形．
（4）如图所示，点即为所求（答案不唯一）．
作法：以H为圆心，为半径画圆，
以G为圆心，为半径画圆，
两圆相交于靠外侧的一点即为点D．
【点睛】本题考查了四边形和三角形的内角和，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，以及尺规作图的要求．需熟练掌握垂直平分线的性质和外心的性质是解决本题的关键．
22．(1)点，的坐标分别为，
(2)米
(3)点的坐标为，点的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意分别确定函数解析式是解题的关键；
（1）令，解方程，即可求解．
（2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为，把点代入，待定系数法求得解析式，当时，，即可求解；
（3）先求得直线的函数表达式为．当水压最小时，设喷头所在点的坐标为．设水流所在抛物线的函数表达式为，把点，代入，进而求得的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：令
解得：
∴点，的坐标分别为，
（2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为
把点代入，得．解，得．
当水压最大时抛物线的函数表达式为
当时，．
需在保温墙上做防水处理区域的高度为米．
（3）设直线的函数表达式为．
把点，代入，得
解，得，．
直线的函数表达式为．
设喷头所在点的坐标为．
当水压最小时，设水流所在抛物线的函数表达式为
把点代入，得．
解，得，（不合题意，舍去）
把代入，得．
所以点的坐标为
把点代入，得．
解，得（不合题意，舍去），．
把代入，得．
所以点的坐标为．
23．（1）见解析；（2），见解析；（3）存在，的长为或
【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明；
（2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么；
（3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故，
解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求．
【详解】（1）解：如图，
∵点是边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：，理由如下：
过点作的平行线，与的延长线交于点，则，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，正方形中，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：存在，
当点在的延长线上，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，则
∴，
设
∴，
∵，
∴，
解得：，
由折叠可得，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴；
当点在线段上，如图：
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形，则
∴，
设
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
由折叠可得，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
A
A
D
C
D
B