7升8年级 暑假衔接讲义 人教版数学 八年级上册预习 第10讲 等边三角形 （无答案）

这是一份7升8年级 暑假衔接讲义 人教版数学 八年级上册预习 第10讲 等边三角形 （无答案），共8页。学案主要包含了例1.1，例1.2，变式1-1，例2.1，例2.2，变式2-1，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.；等边三角形是轴对称图形，它有三条轴对称。
（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型1 等边三角形的定义与性质】
【例1.1】如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【例1.2】如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
（例1.1） （例1.2）
【变式1-1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
（1）求证：DB=DE； （2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．
【题型2 等边三角形的判定】
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
【例2.1】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
【例2.2】下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式2-1】如图：在△ABC中，下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（ ）
A．AB=AC，∠B=∠C B．AD⊥BC，BD=CD
C．BC=AC，∠B=∠C D．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
【题型3 利用等边三角形的性质求角的度数】
【例3】如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
【变式3-1】等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【变式3-2】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE=12BC，则∠AFE的度数为 ．
【题型4 利用等边三角形的性质求线段长度】
【例4】如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【变式4-1】如图，已知等边△ABC，点 O是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE+OF 的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．不确
【变式4-2】如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．95B．2C．115D．125

（例4） （变式4-1） （变式4-2）
【题型5 证明等边三角形】
【例5】如图所示，在 △ABC中， ∠B=60°，AB=AC，点D，E分别在BC，AB上，且 BD=AE，AD与CE交于点 F．(1)求证： △ABC是等边三角形； (2)求证： AD=CE； (3)求 ∠DFC的大小．
【变式5-1】如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠2=∠3，AE=AC，DE=BC．
(1)求证：△ABC≌△ADE． (2)若∠2=60°，猜想△ABD的形状并证明．
【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E，∠ABD=∠ADB．
(1)填空：AC与BD的位置关系为__________，BE与DE的数量关系为__________；
(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，且AB=AF．
①求证：△BCD是等边三角形；
②若点G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH+AH的值最小时，请确定点H的位置，并求出GH与CH之间的数量关系．
【题型6 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】
【例6】在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,4
(1)如图1，若点B的坐标为3,0，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，求C点坐标；
(2)如图2，若点E是AB的中点，求证：AB=2OE；
(3)如图3，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，△ACD是等边三角形，连接OD，若∠AOD=30°，求B点坐标
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为(0，1)，点B在y轴上且位于A点上方，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA交x轴于点E．
(1)求证：OB=AC；
(2)判断AP是否平分∠OAC？请说明理由；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
课后作业
1．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
3．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )
A．10B．12C．14D．16
4.如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
5.如图，等边△ABC的边长为8cm，点D、E分别在边AB、AC上，点A落在点A1处，且点A1在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
6.如图，正方形纸片ABCD，①先对折使AB与CD重合，得到折痕EF；②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下△BCH，小组成员得到了如下结论：①∠BHF=30°；②BF=12CH；③△BCH是等边三角形；④∠ABG=15°；⑤四边形ABHE和四边形DCHE全等．正确的个数是（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
7.如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，点C关于BD的对称点为点E，连接BE．
(1)若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；
(2)如图2，连接EA并延长交BD的延长线于点F，
①求∠F的度数；
②探究EA，AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．
学生/课程
年级
7升8年级
学科
数学
授课教师
日期
时段

核心内容
等边三角形 （第10讲）