高教版（2021·十四五）基础模块 上册同角三角函数的基本关系教案

这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 上册同角三角函数的基本关系教案，共6页。教案主要包含了教学内容解析，教学目标设置，教学重难点设置，学生学情分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
本节内容是中职数学高教版基础模块的“同角三角函数的基本关系”。这一部分是三角函数知识体系中的重要组成部分，旨在帮助学生理解和掌握同角三角函数之间的基本关系式，包括平方关系和商数关系。通过这些关系式的推导和应用，学生能够解决一些简单的三角函数求值、化简等问题，为后续学习更复杂的三角函数知识奠定基础。
二、教学目标设置
知识与技能：学生能够理解并掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，能够熟练运用这些关系式进行简单的三角函数求值和化简。
过程与方法：通过问题探究和分组活动，培养学生的自主学习能力和合作探究能力，提高学生的逻辑思维和数学表达能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学思维和严谨的科学态度，增强学生解决实际问题的信心。
三、教学重难点设置
重点：同角三角函数的平方关系和商数关系的推导及其应用。
难点：理解同角三角函数关系式的适用条件，以及如何灵活运用这些关系式解决实际问题。
四、学生学情分析
中职学生在数学学习上往往存在基础薄弱、学习兴趣不足等问题。在学习同角三角函数的基本关系之前，学生已经学习了三角函数的定义以及各象限角的三角函数值的符号特征，但对三角函数的理解还不够深入。因此，在教学中需要通过具体的例子和实际操作来帮助学生理解抽象的数学概念。同时，通过分组活动和变式挑战，激发学生的学习兴趣，增强他们的自信心和参与度。
五、教学过程设计
六、教学反思
在本节课的教学中，通过问题探究和分组活动，学生能够积极参与课堂，对同角三角函数的基本关系有了较为深刻的理解。然而，部分学生在应用关系式时仍然存在困难，尤其是在处理一些复杂的变式问题时。在今后的教学中，需要进一步加强对学生思维能力的培养，通过更多的实例和练习帮助学生灵活运用所学知识。同时，还需要关注学生的学习兴趣和自信心的培养，通过多样化的教学方法激发学生的学习动力。教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
第一环节：导入环节
回顾
口诀
“一全正， 二正弦， 三正切， 四余弦”
0∘、90∘、180∘、270∘。360∘的正弦、余弦和正切值
α(角度)
0°
90°
180°
270°
360°
α (弧度)
0
π2
π
3π2
2π
sinα
0
1
0
−1
0
csα
1
0
−1
0
1
tanα
0
不存在
0
不存在
0
任意角三角函数的定义
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 y=sinx,x∈R;
余弦函数 y=sinx,x∈R;
正切函数 y=tanx,x∈x|x≠π2+kπk∈Z.
思考
点 P(x, y)（ x≠0）是角α的终边上一点，则 sinα，csα，tanα三者有什么关系呢？
教师提问，学生回答，共同回顾已学知识；教师提出探究问题，学生思考并准备进行讨论。
通过复习旧知，建立新旧知识之间的联系，为新知识的学习做好铺垫；通过提出探究问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
第二环节：新课讲解环节
推导 sinα，csα，tanα三者的关系
一般地，设点P (x，y)是角α的终边与单位圆O的交点，则|OP|=1，x=csα，y=sinα.
因为 |OP|=r=x²+y²
得x²+y²=1 即 sin²α+ cs²α =1
强调：
sin²α=（sinα）²；
sin²α≠sinα² .
过P作x轴的垂线，交x轴于M，
则△OMP是直角三角形，而且|OP|=1
由勾股定理有|OM|²+|MP|²=1
得x²+y²=1
根据三角函数的定义，
点P的坐标为(csα，sinα)
所以 sin²α+ cs²α =1
平方关系
对于任意角α，都有sin²α+ cs²α =1
公式理解：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
推导 sinα，csα，tanα三者的关系
tanα=yx=sinαcsα.
思考：对所以的α，这个公式都成立吗？
分母x以及csα≠0
当α=π2+kπk∈Z 时，公式无意义
商数关系
对α≠π2+kπk∈Z，都有 tanα=sinαcsα.
公式理解：
同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角α的正切
变式
以同角三角函数的基本关系式为对象进行变式探究，请学生进行变式挑战，给出变式让另一组说明变式过程.
sin2α+cs2α=1⇒sin2α=_1−cs2α；cs2α=1−sin2α；sinα=±1−cs2αcsα=±1−sin2αsinα±csα2=1±2sinαcsα
tanα=sinαcsα⇒sinα=tanαcsα.csα=sinαtanα.
在运用统计三角函数的基本关系解决问题时，要特别注意“同角”二字，如，
如 sin²35°+cs²35°=1,tan35°=sin35°cs35°;
sin²β+cs²β=1,tanβ=sinβcsβ;
sin²2α+cs²2α=1,tan2α=sin2αcs2α;
以上各式都符合同角三角函数基本关系式的形式，所以都成立.
教师讲解，学生听讲并记录；教师提问关键概念，学生回答以确认理解；教师通过举例说明公式的应用。
帮助学生理解并掌握同角三角函数的基本关系式，明确其推导过程和应用条件；通过提问和举例，加深学生对知识点的理解。
第三环节：例题讲解环节
例1 已知 sinα=45,且角α是第二象限角，求 csα和tanα.
解 因为： sin²α+cs²α=1,所以
|csα|=1−sin²α=1−45²=35.
又因为α是第二象限角，所以csα0.所以
csα=66,
sinα=−5csα=−5×66=−306.
例3 化简： sinα−csαtanα−1.
解因为
tanα−1=sinαcsα=sinα−csαcsα,
所以 sinα−csαtanα−1=sinα−csαsinα−csαcsα=csα.
例4 求证： sinα1+csα=1−csαsinα.
证明 因为
sinα1+csα−1−csαsinα=sin²α−1−cs²α1+csαsinα
=sin²α−sin²α1+csαsinα=0
所以 sinα1+csα=1−csαsinα.
例5 已知 tanα=2, 求 3sinα+4csα2sinα−csα.解法一 由 tanα=2, 得 sinαcsα=2,即sinα=2csα,所以
3sinα+4csα2sinα−csα=3×2csα+4csα2×2sinα−csα
=10csα3csα=103.
解法二
3sinα+4csα2sinα−csα=3tanα+42tanα−1=3×2+42×2−1=103
教师逐步解析例题，学生跟随教师的思路进行思考；教师提问解题步骤，学生回答以确认理解；学生尝试独立解决类似问题，教师给予指导。
通过具体例题的讲解，使学生学会如何应用同角三角函数的基本关系解决问题；通过提问和练习，提高学生的解题能力和思维能力。
第四环节：课堂练习环节
1.已知 sinα=32且α是第二象限角，求csα和tanα.
2.已知 csα=−22且α是第三象限角，求sinα和tanα.
3.已知 tanα=34且α是第一象限角，求sinα和csα.
4. 化简:
(1) csαtanα; 22cs²α−11−2sin²α;
31−sin²α,其中α为第二象限角.
5. 已知tanα=-4,求下列各式的值：
(1) sinα+csα; 21cs²α−sin²α.
6. 求证: 1+sinαcsα=csα1−sinα.
7. 化简: 1+2sinαcsα,其中α为第一象限角.
学生独立完成练习题，教师巡视指导；完成后，教师选取部分题目进行讲解，学生核对答案；学生之间可以相互讨论解题思路。
通过练习，检验学生对知识的掌握程度，及时发现并解决学习中的问题；通过讲解和讨论，加深学生对知识点的理解和应用能力。
第五环节：课堂小结环节
平方关系
对于任意角α，都有sin²α+ cs²α =1
商数关系
对α≠π2+kπk∈Z，都有 tanα=sinαcsα.
教师总结，学生听讲并记录；教师提问关键知识点，学生回答以确认理解；学生分享本节课的学习收获。
帮助学生梳理本节课的知识结构，形成系统的认识；通过提问和分享，增强学生的记忆力和表达能力。
第六环节：作业布置环节
布置书面作业，要求学生完成《学习指导与练习》中的相关习题；鼓励学生根据个人情况查漏补缺，对课堂学习进行复习与回顾；布置拓展作业，思考sinα+csα与sinαcsα之间的关系。
教师布置作业，学生记录作业要求；教师解释作业目的和要求，学生明确作业任务；学生提出疑问，教师给予解答。
通过书面作业，巩固学生所学知识，提高解题能力；通过查漏补缺和拓展作业，促进学生的自主学习和深入思考。