2025年安徽省芜湖市南陵县中考一模数学试题

这是一份2025年安徽省芜湖市南陵县中考一模数学试题，共33页。
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷和“答题卷两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ）
A. B. C. D.
2. 中，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（）
A. B.
C D.
5. 若，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数和，且，，，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B. C. D.
8. 如图，矩形中，F是上一点，，垂足为E，，则长度是（ ）
A. B. C. D. 1
9. 如图，在等边中，，点在边上，，则长为（ ）
A. B. C. 2D.
10. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ）
A 8B. 10C. 12D. 6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知点，是反比例函数图象上的两个点，，则______（填“”“”或“”）
12. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 _____．
13. 如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则阴影部分的面积为_____．
14. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，．小华在边找一点，在边找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为点，小华变换，的位置，始终让点落在上，则当为直角三角形时，的长为______．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向左平移5个单位得到，则的坐标为（ ， ）；
（2）将绕点O顺时针旋转90°后得到，画出，并写出的坐标为（ ， ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求的最小值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为，且满足．求的值．
18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点在轴上，，．
（1）求点的坐标；
（2）求正切值；
（3）延长，交轴于点，求点的坐标．
20. 如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点．
（1）设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
七、（本题满分12分）
22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
初步感知】
（1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求．
八、（本题满分14分）
23. 在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）．
（1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：．
2025届九年级模拟试卷
数学试题卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷和“答题卷两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，函数图象在一、三象限，并且在每个象限内都有随增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，并且在每个象限内都有随增大而增大．根据反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，
，
解得：．
故选：C ．
2. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】在中，，
可设，则
由勾股定理得，
故选：B．
3. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移的规则，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：，再向下平移5个单位为：，即．
故选：A．
4. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
已知平分，即，然后根据各个选项所给条件，结合相似三角形的判定定理逐一判断。
【详解】A、由平分，得到，而，判定和相似，故A不符合题意；
B、由平分，得到，而，判定和相似，故B不符合题意；
C、由平分，得到，由，得到，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定和，故C不符合题意；
D、虽然，但夹角与不一定相等，不满足相似三角形的判定条件，所以不能判定和相似，故D符合题意．
故选：D．
5. 若，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线的对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小．
首先，我们需要找到二次函数的对称轴，然后判断点在抛物线上的位置，最后根据二次函数的增减性来确定的大小关系．
【详解】∵二次函数中，
∴开口向上，对称轴为，
∵中，
最小，
又∵都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，随的增大而减小，故．
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键；
【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故选：D．
7. 已知函数和，且，，，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象问题，由函数解析式字母系数的正负，把一次函数与二次函数的图象相比较看是否一致进行解答．
【详解】解：由解析式可知，，图象开口向上，其顶点坐标为，
又因为，，；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知，而由一次函数的图象可知，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
8. 如图，矩形中，F是上一点，，垂足为E，，则长度是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用矩形的性质可以分别求出，然后利用面积公式可以求出，最后利用平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，
∴根据勾股定理得，
∵，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∵四边形矩形，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、勾股定理．
9. 如图，在等边中，，点在边上，，则长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，关键是通过添加辅助线，构造直角三角形，过点作点于H，利用等边三角形的性质得到，，解直角三角形求出，，设，则，根据求出的值，进而得到，即可解答．
【详解】解：如图，过点作，
则，
为等边三角形，，
，，
，
，
设，则，
，，
，即，
，
解得：，
则，
，
故选：B．
10. 如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键．
由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为8．
【详解】解：如图，
，
，
，
在以为直径的上，
连接交圆于，当与重合时，线段的长最小，
，
，
，
，
，
线段的最小值为8．
故选答案为：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知点，是反比例函数图象上的两个点，，则______（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据反比例函数的增减性即可判断结论．
【详解】解：因为，
所以函数图像在第一、三象限内，
且在每个象限内，y随x的增大而减小，
因为点，两点在该双曲线上，且，
A，B两点在第三象限的曲线上，
．
故答案为：．
12. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 _____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】延长至格点D，连接，根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：延长至格点D，连接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理及其逆定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
13. 如图，在中，，，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式、圆的切线的性质、直角三角形的性质等知识．利用直角三角形的性质结合勾股定理可得，，再根据圆的切线的性质和切线长定理可得，，，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，，
∵，O是斜边中点，
∴，
∵是半圆O的切线，
∴，
∵，
∴，，，
∴阴影部分的面积为
，
故答案为：．
14. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，．小华在边找一点，在边找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为点，小华变换，的位置，始终让点落在上，则当为直角三角形时，的长为______．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，根据即可求解．
【详解】解：在中，，，．
∴，
当时，

∵折叠，
∴
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
∴
设，
即
解得：
当时，如图所示，

∵折叠，
∴
即
解得：
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠问题，三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等知识，先由零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值逐个计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案，熟记实数相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向左平移5个单位得到，则的坐标为（ ， ）；
（2）将绕点O顺时针旋转90°后得到，画出，并写出坐标为（ ， ）；
（3）若点P为y轴上一动点，求的最小值．
【答案】（1）图见解析；，3
（2）图见解析；1，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标；
（3）连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，的坐标为；
故答案为：，3；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；

的坐标为；
故答案为：1，；
【小问3详解】
如图，连接交y轴于点P，则，
∴的最小值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为，且满足．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据方程有实数根，得到，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.
【小问1详解】
由题意得， ．
解得：；
【小问2详解】
解：由一元二次方程根与系数关系可得．
∵，
∴．
解得：．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．
18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题．
（2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题．
【小问1详解】
解：由题知，将点A坐标代入得，，
所以反比例函数的解析式为．
将点A坐标代入得，，
所以一次函数的解析式为．
【小问2详解】
因为，且轴于点D，
则将代入得，，
所以点B的坐标为．
同理可得，点C的坐标为．
又因为点A坐标为，
所以．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点在轴上，，．
（1）求点的坐标；
（2）求的正切值；
（3）延长，交轴于点，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，点的坐标，解题的关键是掌握解直角三角形．
（1）过点作于点，由，则，即可求解；
（2）根据勾股定理求出，即可求解；
（3）由，即可求解．
【小问1详解】
解：过点作于点，
则，
，
，
；
【小问2详解】
∵
∴
∵，
∴
；
【小问3详解】
如下图，延长，交轴于点，
由（2）知，，
在中，，
，
，
解得：，
点．
20. 如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作垂线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）利用等腰三角形的性质得到，进而得到，可得，然后根据切线的判定定理可得结论；
（）先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求得, 进而得，即得，然后解直角三角形求得即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又为的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点．
（1）设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1），
（2）能，当时，四边形能构成矩形
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到，可证，得到，即可得到，令，得到，可得；
（2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可．
【小问1详解】
解：：∵，
，
，
，
，
，，
，
；
设，
∴，
，，
设，
，
；
令，则，
的取值范围为；
【小问2详解】
解：当四边形为矩形时，，即，
则，
解得， (舍)，，
∴当时，四边形能构成矩形．
七、（本题满分12分）
22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到；
（3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：（1）∵，，．
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴；
（2）∵，是的中线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴；
（3）由（2）得，，
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
八、（本题满分14分）
23. 在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）．
（1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解；
（3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得．
【小问1详解】
解：当时，则，
把点代入得，，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线与轴的交点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴对称轴为直线，
∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：∵函数的图象经过，两点（是实数），
∴，，
∴
，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．