山东省泰安市新泰市（五四制）2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份山东省泰安市新泰市（五四制）2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、＝4，原计算错误，不符合题意；
B、＝＝2，原计算错误，不符合题意；
C、＝﹣2，原计算错误，不符合题意；
D、﹣＝﹣8，正确，符合题意．
故选：D．
2．已知＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：设m＝2k，n＝3k，
则
＝
＝
＝，
故选：B．
3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（ ）
A．20mB．30mC．40mD．60m
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴，
解得：AB＝40，
故选：C．
4．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．BA＝BCB．AC、BD互相平分
C．AC＝BDD．AB∥CD
解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，
若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：
AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）
故选：B．
6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．3：4
解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∵S△ABC＝S四边形BCED+S△ADE，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，
故选：B．
7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+（x﹣6.8）2＝100B．x（x+6.8）＝100
C．x2+（x+6.8）2＝100D．x（x﹣6.8）2＝100
解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
故选：C．
8．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
9．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝，
∴FG＝，
∴CG＝﹣1
∴，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
10．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x﹣3）2＝14
解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：D．
11．直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．B．C．1D．2
解：∵两条直角边的长分别是为和，
∴斜边＝＝4，
∴斜边上的中线＝2．
故选：D．
12．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AD'M＝30°，
∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算：＝ 3 ．
解：
＝
＝，
故答案为：．
14．如图所示，网格中相似的两个三角形是 ①③ ．（填序号）
​
解：图形①的三边为：2，，；
图形②的三边为：3，，；
图形③的三边为：2，2，2；
图形④的三边为：3，，，
∵，，
∴①与③相似，
故答案为：①③．
15．将一条长28cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于25cm2，则其中较大正方形的边长为 4 cm．
解：设其中较大正方形的边长为xcm，则较小正方形的边长为＝（7﹣x）cm，
根据题意得：x2+（7﹣x）2＝25，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝3时，7﹣x＝7﹣3＝4＞3，不符合题意，舍去；
当x＝4时，7﹣x＝7﹣4＝3＜4，符合题意，
∴其中较大正方形的边长为4cm．
故答案为：4．
16．教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是2.7m，落在墙壁上的影长是0.6m，则这棵树实际高度为 3.6 m．
​
解：∵同一时刻物高与影长成比例，
∴＝，
即：＝，
解得落在地上的影长对应的树的高度＝3m，
∴树的高度为：3+0.6＝3.6m，
故答案为：3.6．
17．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，则图中与△OAB位似的三角形中，边OA对应边的长为 ．
解：在Rt△AOB中，OA＝1，∠AOB＝30°，
则OB＝＝＝，
同理可得：OC＝（）2，
…
OG＝（）6＝，
∵△OAB与△GOH位似，OG与OA是对应边，
∴边OA对应边的长为，
故答案为：．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 6 ．
解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：（1）；
（2）．
解：（1）
＝3﹣4+4+2+2
＝7；
（2）
＝3﹣﹣（5﹣1）
＝3﹣﹣4
＝﹣1﹣．
20．解下列方程：
（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
解：（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0，
4（x+2）2＝9（x﹣3）2，
则2（x+2）＝3（x﹣3）或2（x+2）＝﹣3（x﹣3），
解得x1＝13，x2＝1；
（2）x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
∴x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝1时，求另一个根x2的值．
解：（1）由题意得：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＞0，
解得：m＜；
（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，
∴x2＝2．
22．已知，如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，AE＝AB＝6，AD＝．
（1）求CE的长；
（2）若DF∥BC交AB于点F，求BF的长．
解：（1）∵AE＝AB＝6，AD＝9/2，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C+∠CBE＝∠DBE+∠ABD，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠C＝∠ABD，
在△ABD和△ACB中，
∠C＝∠ABD，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AC＝AD：AB，
即：，
∴AC＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
（2）∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴AF：AB＝AD：AC，
即：，
∴，
∴．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点P是边BC上的动点（不包括端点），过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：OP＝EF．
解析：证明：（1）∵AB∥CD，AB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OP＝EF．
24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
25．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF．
求证：（1）AD＝DF；
（2）DF2＝BE•BF．
​
解析：证明：（1）过点D作DG∥BE交AB于点G，交AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CD，
∴BG＝AG＝AB，
∵DG∥BE，
∴＝＝1，
∴点H为AF的中点，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵DG∥BE，
∴∠DHF＝∠AFB＝90°，
∴DH垂直平分AF，
∴AD＝DF．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BCE＝90°，
∵AD＝DF，
∴DF＝BC，
∵BE⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠BCE，
∵∠CBF＝∠CBE，
∴△BCF∽△BEC，
∴＝，
∴BC2＝BE•BF，
∴DF2＝BE•BF．