数学勾股定理单元测试课时作业

这是一份数学勾股定理单元测试课时作业，共20页。试卷主要包含了各组数中，是勾股数的是，3，0，下列各组数中，是勾股数的是，下列几组数中，为勾股数的是等内容，欢迎下载使用。

1.各组数中，是勾股数的是（ ）
A.9，16，25B.0.3，0.4，0.5C.1，3，2D.8，15，17

2.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.5，6，7B.3，4，5C.1，2，5D.0.6，0.8，1

3.下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A.35，45，1B.3，4，6C.5，12，13D.0.9，1.2，1.5

4.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为( )
A.13或119B.13或19C.13或15D.15

5.满足下列条件的△ABC不能构成直角三角形的一组是（ ）
A.∠A=∠C−∠BB.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.a2=b+cb−cD.a=1，b=2，c=3

6.已知a,b，c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，下列说法正确的有（ ）个．
①若∠C=90∘．则a2+b2=c2；②若∠B=90∘，则a2+c2=b2；③若∠A=90∘，则b2+c2=a2；④总有a2+b2=c2.
A.1B.2C.3D.4

7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A′BC，△AB′C，△ABC′，若△A′BC，△AB′C的面积分别是8和3，则△ABC′的面积是( )
A.33B.43C.53D.5

8.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则ℎ的取值范围是（ ）
A.12cm≤ℎ≤19cmB.12cm≤ℎ≤13cmC.11cm≤ℎ≤12cmD.5cm≤ℎ≤12cm

9.如图所示，沿DE折叠长方形ABCD，使点C落在AB边上的点F处，若AD＝8，且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为（ ）
A.2898B.503C.18D.20

10.下列四组数据，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1， 2，3
二. 填空题

11.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=2，CD=1，则AC的长是________．

12.毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是________.

13.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该长方形的面积为 ．

14.如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为________​∘.

15.如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，则DC的长为 ．

16.如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是________.
三. 解答题

17.解答题
（1）已知直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm，求第三边长．
（2）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D， AC=20,CB=15,BD=9．求AD与△ABC

18.如图，现有一块△ABC花坛， ∠ABC=90∘ ,AC=13m,BC=12m将其内部△ABD设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知AD=3m,BD=4m，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用．

19.在△ABC中， ∠C=90∘,BC:AB=3:5且AB=20cm，求边AC的长度．

20.八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．
1求风筝的高度CE；
2若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？

21.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．
（1）20s后，点P与点Q之间相距________cm．
（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行，________秒后两点相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？

22.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E在边CD上，且CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，AG平分∠BAF交BC于G，连接CF、FG，此时G、F、E在同一直线上．
1求EF的长；
（2）求证： △ABG≅△AFG
（3）求BG的长．

23.（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．如图1，请利用此图证明勾股定理；
（2）如图2，△ABC中，∠ACB=90∘,AB=10cm,BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A−C−B运动，设运动时间为t秒t>0，若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值．

24.阅读下列材料，完成文后任务．
我们知道，平方差公式a2−b2=a+ba−b可以用图1所示的平面几何图形的面积来表示．实际上，还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
1图2是由几个边长分别为a，b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，根据图中的信息可以写出所表示的代数恒等式为________.
2图3所示的是由四个直角边长分别为a，b，斜边为c的全等的直角三角形拼成的正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
3在Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，且a2−b2=28,a−b=2，求该直角三角形的斜边长c．
参考答案与试题解析
2023~2024学年苏科版八年级上《第3章 勾股定理》单元测试卷
一. 选择题
1.
【答案】
D
【考点】
勾股数
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】
解：A、∵162+92≠252，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵0.32+0.42=0.52，能组成直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵12+32=22，能组成直角三角形，但3不是正整数，故本选项不符合题意；
D、∵82+152=172，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
2.
【答案】
B
【考点】
勾股数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解：A、 52+62≠72，不是勾股数，不符合题意；B、 32+42=55，是勾股数，符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
3.
【答案】
C
【考点】
勾股数
【解析】
判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：A、352+452=12，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、32+42≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、52+122=132，是勾股数，故本选项符合题意．
D、0.92+1.22=1.52，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
4.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
A
5.
【答案】
D
【考点】
三角形内角和定理
勾股定理的逆定理
【解析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】
解：A、∵∠A=∠C−∠B，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∴△ABC是直角三角形；故A正确；
B、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∴△ABC是直角三角形；故B正确；
C、∵a2=b+cb−c，
∴a2=b2−c2，
即a2+c2=b2，
∴∠B=90∘，
∴△ABC是直角三角形；故C正确；
D、∵a=1，b=2，c=3，
∵a+b=1+2=3=c，
∴a，b，c不能构成三角形，
故D错误，
故选：D．
6.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
7.
【答案】
D
【考点】
三角形的面积
勾股定理
【解析】
设AB=c，AC=b，BC=a，用a、b、c分别表示△A′BC，△AB′C，△ABC′的面积，再利用Rt△ABC得b2+c2=a2，求得c值代入即可求得的面积△ABC的面积．
【解答】
D
8.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】
解：当筷子与杯底垂直时ℎ最大，ℎ最大=24−12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时ℎ最小，
如图所示：此时，AB=AC2+BC2=122+52=13 cm，
故ℎ=24−13=11cm．
故ℎ的取值范围是11cm≤ℎ≤12cm．
故选：C．
9.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
【解析】
由AD=8,△AFD的面积为60可得|AF=15，利用勾股定理即可得DF2二．由折叠的性质可知：CD=DF=17，在设出CE后，可分别表示出EF、BE，最后在Rt△BEF中，利用EF2=8F2+BE2即可求出CE，从而可求出4DEC的面积．
【解答】
A
10.
【答案】
B
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故错误；
B，1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故正确；
C，22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故错误；
D，12+22=3≠32，不可以构成直角三角形，故错误．
故选B．
二. 填空题
11.
【答案】
3
【考点】
全等三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：作DE⊥AB于E，
∵ AD是∠BAC的平分线，ACB=90∘,DE⊥AB，
∴ DE=DC=1，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=AD，CD=DE，
∴ Rt△ACD≅Rt△AEDHL，
∴ AC=AE，
由勾股定理得BE=BD2−DE2=22−12=3，
设AC=AE=x，
由勾股定理得x2+32=x+32，
解得x=3，
∴ AC=3，
故答案为：3.
12.
【答案】
32
【考点】
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
32
13.
【答案】
24
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
先设出小正方形的边长为x，然后根据题意和勾股定理，可以得到3+42=3+x2+4+x2，然后再根据[3+x−4+x]2=3+x2−23+x4+x+4+x2，可以得到3+x4+x的值，从而可以求得该长方形的面积．
【解答】
解：设小正方形的边长为x，则图中最大的直角三角形的斜边为a+b，一条直角边为a+x，另一条直角边为b+x，
∵a=3，b=4，
∴3+42=3+x2+4+x2，
∴49=3+x2+4+x2，
∵[3+x−4+x]2=3+x2−23+x4+x+4+x2，
∴3+x−4−x2=49−23+x4+x，
即1=49−23+x4+x，
解得3+x4+x=24，
∵大长方形的面积为3+x4+x，
∴长方形的面积为24，
故答案为：24．
14.
【答案】
135
【考点】
线段垂直平分线的性质
勾股定理的逆定理
【解析】
连接DA、EA，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据勾股定理的逆定理得到∠DAE=90∘，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：如图，连接DA，EA.
∵ AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴ AD=BD，CE=AE，
∴ ∠DAB=∠B，∠EAC=∠C.
∵ BD2+CE2=DE2，
∴ AD2+AE2=DE2，
∴ ∠DAE=90∘，
∴ 2∠B+2∠C+90∘=180∘，
∴ ∠B+∠C=45∘，
∴ ∠DAB+∠EAC=45∘，
∴ ∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠EAC=135∘．
故答案为：135.
15.
【答案】
103
【考点】
勾股定理的逆定理
翻折变换（折叠问题）
【解析】
由勾股定理的逆定理可求∠C=90∘，由折叠的性质可得CD=DE，AC=AE=5，由勾股定理可求解．
【解答】
解：∵AC=5，AB=13，BC=12，
∴AC2+CB2=AB2，
∴∠C=90∘．
∵将△ABC沿AD折叠，
∴CD=DE，AC=AE=5，
∴BE=8，
设CD=x，
∴∠AED=∠C=90∘，DE=CD=x，BD=12−x．
∵在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，
∴x2+82=12−x2，
解得x=103．
∴CD=103，
故答案为：103．
16.
【答案】
125
【考点】
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知，
SE=SF+SG
=SA+SB+SC+SD
＝62+82+32+42
=125.
故答案为：125.
三. 解答题
17.
【答案】
13cm
150
【考点】
三角形的面积
勾股定理的证明
【解析】
当5和12都是直角边时，根据勾股定理第三边即斜边的平方=5的平方+12的平方 斜边=根号13；
【解答】
13cm
150
18.
【答案】
解:在Rt△ABC中
AB2+BC2=AC2
∴ AB=5
在△ABD中
AB2=25
AD2+BD2=32+42
=25
∴ AD2+BD2=AB2
∴ △ABD为Rt△，∠BDA=90∘ ，
S阴=S△ABC−S△ABD
=30−6=24
24×20=480
∴ 种植花卉所需的面积费用为480元
【考点】
勾股定理
勾股定理的逆定理
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:在Rt△ABC中
AB2+BC2=AC2
∴ AB=5
在△ABD中
AB2=25
AD2+BD2=32+42
=25
∴ AD2+BD2=AB2
∴ △ABD为Rt△，∠BDA=90∘ ，
S阴=S△ABC−S△ABD
=30−6=24
24×20=480
∴ 种植花卉所需的面积费用为480元
19.
【答案】
解：∵ BC:AB=3:5 ，AB=20cm，
∴ BC=12cm，
∵ ∠C=90∘，
∴ AC=AB2−BC2=202−122=16cm，
答：边AC的长度为16cm．
【考点】
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ BC:AB=3:5 ，AB=20cm，
∴ BC=12cm，
∵ ∠C=90∘，
∴ AC=AB2−BC2=202−122=16cm，
答：边AC的长度为16cm．
20.
【答案】
【详解】（1）解：（1）由题意， DE=AB=1.68,∠CDB=90∘，
在Rt△CBD中，由勾股定理得， CD2=BC2−BD2=302−242=182
∴ CD=18 （取正），
∴ CE=CD+DE=18+1.68=19.68 （米），
答：风筝的高度CE为19.68米．
（2）解：如图示，连接MB，
∵ CM=8, CD=18
∴ MD=CD−CM=18−8=10
在Rt△MBD中，由勾股定理得， MB2=MD2+BD2=10+242=676=262，
∴ MB=26 （取正），
∴往回收线的长度是BC−MB=30−26=4 （米）
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】（1）解：（1）由题意， DE=AB=1.68,∠CDB=90∘，
在Rt△CBD中，由勾股定理得， CD2=BC2−BD2=302−242=182
∴ CD=18 （取正），
∴ CE=CD+DE=18+1.68=19.68 （米），
答：风筝的高度CE为19.68米．
（2）解：如图示，连接MB，
∵ CM=8, CD=18
∴ MD=CD−CM=18−8=10
在Rt△MBD中，由勾股定理得， MB2=MD2+BD2=10+242=676=262，
∴ MB=26 （取正），
∴往回收线的长度是BC−MB=30−26=4 （米）
21.
【答案】
【解答】解：如图，∵ 在Rt△ABC中，∠B=90∘,AC=100cm,BC=80cm，
∴ AB=AC2−BC2=60cm.
（1）在直角△BPQ中，由勾股定理得到
PQ=BQ2+BP2=1.5×202+60−202=50cm，
即PQ=50cm，
（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为：
501+1.5=20（秒）；
（3）设t秒后，AP=CQ，
则t=80−1.5t，
解得t=32，
答：32秒后，AP=CQ.
【考点】
勾股定理
一元一次方程的应用——路程问题
【解析】
（1）在直角△BPQ中，根据勾股定理来求PQ的长度；
【解答】
【解答】解：如图，∵ 在Rt△ABC中，∠B=90∘,AC=100cm,BC=80cm，
∴ AB=AC2−BC2=60cm.
（1）在直角△BPQ中，由勾股定理得到
PQ=BQ2+BP2=1.5×202+60−202=50cm，
即PQ=50cm，
（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为：
501+1.5=20（秒）；
（3）设t秒后，AP=CQ，
则t=80−1.5t，
解得t=32，
答：32秒后，AP=CQ.
22.
【答案】
（1）解：由折叠可知： EF=DE，
∵ 正方形ABCD的边长为6，
∴ CD=6，
∵ CE=2DE,CD=CE+DE，
∴ DE=13CD=2，
∴ EF=DE=2
（2）证明：由折叠可知：AF=AD，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=AF，
∵ AG平分∠BAF
∴ ∠BAG=∠FAG
∵ 在△ABG与△AFG中
AB=AF∠BAG=∠FAGAG=AG
∴ △ABG≅△AFGSAS
（3）设BG=x
∴ GC=BC−BG=6−x
∵ △ABG≅△AFG
∴ FG=BG=x
∴ GE=GF+EF=x+2
∵ 在Rt△GEC中，GC2+EC2=GE2，
即6−x2+42=x+22
∴ x=3
∴ BG=3
【考点】
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
全等三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：由折叠可知： EF=DE，
∵ 正方形ABCD的边长为6，
∴ CD=6，
∵ CE=2DE,CD=CE+DE，
∴ DE=13CD=2，
∴ EF=DE=2
（2）证明：由折叠可知：AF=AD，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD=AF，
∵ AG平分∠BAF
∴ ∠BAG=∠FAG
∵ 在△ABG与△AFG中
AB=AF∠BAG=∠FAGAG=AG
∴ △ABG≅△AFGSAS
（3）设BG=x
∴ GC=BC−BG=6−x
∵ △ABG≅△AFG
∴ FG=BG=x
∴ GE=GF+EF=x+2
∵ 在Rt△GEC中，GC2+EC2=GE2，
即6−x2+42=x+22
∴ x=3
∴ BG=3
23.
【答案】
解：（1）∵ 两个全等的直角三角形如图摆放，∴ ∠EBA=∠CED
∵ ∠EBA+∠BEA=90∘，∴ ∠BEA+∠CED=90∘
∴ ∠BEC=90∘，∴ △BCE是直角三角形，
用两种方法求梯形的面积S梯形ABCD=2×12ab+12c2,S梯形ABCD=12a+b2
∴ 2×12ab+12c2=12a+b2，化简得a2+b2=c2
（2）如图2，过P作PE⊥AB于E，
∵ 点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90∘,AB=10,BC=6，∴ CP=EP
在Rt△ACP和Rt△AEP中，AP=APCP=EP，∴ △ACP≅△AEPHL
∴ AC=8cm=AE,BE=2
设CP=x，则BP=6−x,PE=x，∴ Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2
即22+x2=6−x2，解得x=83，∴ CP=83
∴ CA+CP=8+83=323,∴ t=323÷4=83s
即Ⅰ的值为83s时，点P恰好在∠BAC的角平分线上．
【考点】
全等三角形的性质与判定
勾股定理的证明
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ 两个全等的直角三角形如图摆放，∴ ∠EBA=∠CED
∵ ∠EBA+∠BEA=90∘，∴ ∠BEA+∠CED=90∘
∴ ∠BEC=90∘，∴ △BCE是直角三角形，
用两种方法求梯形的面积S梯形ABCD=2×12ab+12c2,S梯形ABCD=12a+b2
∴ 2×12ab+12c2=12a+b2，化简得a2+b2=c2
（2）如图2，过P作PE⊥AB于E，
∵ 点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90∘,AB=10,BC=6，∴ CP=EP
在Rt△ACP和Rt△AEP中，AP=APCP=EP，∴ △ACP≅△AEPHL
∴ AC=8cm=AE,BE=2
设CP=x，则BP=6−x,PE=x，∴ Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2
即22+x2=6−x2，解得x=83，∴ CP=83
∴ CA+CP=8+83=323,∴ t=323÷4=83s
即Ⅰ的值为83s时，点P恰好在∠BAC的角平分线上．
24.
【答案】
2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2
2由图可知，a+b2=4×12ab+c2，
∴ a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴ a2+b2=c2.
3∵ a2−b2=28，
∴ a−ba+b=28.
∵a−b=2，
∴a+b=14，
∴ a+b2=142，
∴ a2+2ab+b2=196．
∵ a2+b2=c2，
∴ c2+2ab=196①．
∵ a−b=2，a−b2=4，
∴ a2−2ab+b2=4，
∴ c2−2ab=4②，
①+②得，2c2=200，
∴ c2=100.
∵ c>0，
∴ c=10．
【考点】
列代数式
勾股定理的证明
完全平方公式的几何背景
勾股定理
列代数式求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1根据题意可得，2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2．
故答案为：2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2.
2由图可知，a+b2=4×12ab+c2，
∴ a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴ a2+b2=c2.
3∵ a2−b2=28，
∴ a−ba+b=28.
∵a−b=2，
∴a+b=14，
∴ a+b2=142，
∴ a2+2ab+b2=196．
∵ a2+b2=c2，
∴ c2+2ab=196①．
∵ a−b=2，a−b2=4，
∴ a2−2ab+b2=4，
∴ c2−2ab=4②，
①+②得，2c2=200，
∴ c2=100.
∵ c>0，
∴ c=10．