数学八年级上册勾股定理单元测试课时训练

这是一份数学八年级上册勾股定理单元测试课时训练，共22页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的是，6，0，下列几组数中，为勾股数的是，如图，透明的圆柱形容器等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.5，6，7B.3，4，5C.1，2，5D.0.6，0.8，1

2.下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A.35，45，1B.3，4，6C.5，12，13D.0.9，1.2，1.5

3.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为( )
A.13或119B.13或19C.13或15D.15

4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90∘，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（ ）
A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米

5.如图，三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（ ）

A.35B.20C.15D.55

6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A′BC，△AB′C，△ABC′，若△A′BC，△AB′C的面积分别是8和3，则△ABC′的面积是( )
A.33B.43C.53D.5

7.如图，在△ABC中AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，DE⊥AC，则DE的长为（ ）

A.65B.95C.125D.165

8.如图，数轴上点A对应的数是0，点C对应的数是−4，BC⊥AC，垂足为C．且BC=1．以点A为圆心．AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A.−4.2B.−4.5C.−17D.17

9.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A.13cmB.361cmC.61cmD.261cm

10.在Rt△ABC中， ∠CBA=60∘，斜边AB=10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形， S1,S2,S3,S4,S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5=（ ）
A.50B.503C.100D.1003
二. 填空题

11.如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边x>y，下列四个说法：①x2+y2=49②x−y=2③x+y=94④2xy+4=49；其中说法正确的有 个．

12.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ．

13.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板—尺离地送行二步与人齐．五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图．有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C=10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直．则绳索OA长为________尺．

14.如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为________​∘.

15.如图1，在 Rt△ACB中，∠ACB=90∘，分别以AC，BC，AB为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为 S1,S2,S3，请解答以下问题：
（1）S1,S2,S3满足的数量关系是________;
（2）现将△ABF向上翻折，如图2，若阴影部分的面积S甲=6,S乙=5,S丙=4，则S△ACB=________.
三. 解答题

16.如图，现有一块△ABC花坛， ∠ABC=90∘ ,AC=13m,BC=12m将其内部△ABD设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知AD=3m,BD=4m，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用．

17.如图，在△ABC中，AD⊥BC.
（1）求证：AB2−AC2=BD2−CD2；
（2）当AB=8,BC=6,AC=213时，求AD的值．

18.某农场主承包一片土地，形状如图所示，经测得∠BAD=90∘，AB=160m，AD=120m，DC=210m，BC=290m．
（1）为方便种植，农场主打算修建一条小路BD，连接BD，求BD的长；
（2）求该四边形土地的面积．

19.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90∘，AB=8m，BC=6m，CD=24m，AD=26m．求这块草坪的面积．

20.如图，已知等腰△ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长

21.如图所示，我校现有一块空地ABCD，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90∘，AB=3m，BC=4m，AD=13m，CD=12m ．
1求证：∠ACD=90∘；
2若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，它们的坐标分别为A−2,3,B−3,2,C−1,1．

（1）请在坐标系中画出点A，B，C关于y轴对称的A1，B1，C1，并顺次连接，得到△A1B1C1；
（2）△A1B1C1面积是______，C1到线段A1B1的距离是______；
（3）在x轴上存在点D2,0，点P是x轴上一点，若△APD是等腰三角形，P点坐标是______．

23.小明同学在学习了教材第88页的“阅读”之“勾股定理的证明”后，再次结合“阅读”中的原有图形，对勾股定理展开新的证明方法的探究．如图1，四边形ABFE、AJKC、BCLH分别是以Rt△ABC 的三边为一边的正方形，其中∠BCA=90∘ ．在图1的基础上用“补”的原理将其补成如图2所示的长方形LMNP．线段AB所在的直线与LP、MN分别相交于点D、G．
1小明通过“第三章勾股定理”的学习，结合“弦图”的相关知识，他已经知道△AQE≅△ENF≅△FOB≅△BCA．请在此基础上，求证： △AQG≅△BHD.
2小明认为，在图2中，沿着DG将图形剪开，如图3，则两部分的面积是相等的，请在小明提示下，证明： a2+b2=c2.
参考答案与试题解析
2025届初中数学苏科版八年级上《第3章 勾股定理》单元测试卷
一. 选择题
1.
【答案】
B
【考点】
勾股数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解：A、 52+62≠72，不是勾股数，不符合题意；B、 32+42=55，是勾股数，符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2.
【答案】
C
【考点】
勾股数
【解析】
判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：A、352+452=12，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、32+42≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、52+122=132，是勾股数，故本选项符合题意．
D、0.92+1.22=1.52，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
3.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
A
4.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的逆定理
勾股定理
【解析】
连接AC，利用勾股定理可以得出△ACD和△ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】
解：如图，连接AC．
由勾股定理可知，
AC=AD2+CD2=42+32=5，
又∵ AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴ △ABC是直角三角形，
故所求面积=△ABC的面积−△ACD的面积=12×5×12−12×3×4=24m2．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
以直角三角形三边为边长的图形面积
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．
【解答】
解：如图，
在Rt△DEF中，由勾股定理得，DE2=DF2+EF2，
即DE2=35+20=55，
∴正方形A的面积为55，
故选：D．
6.
【答案】
D
【考点】
三角形的面积
勾股定理
【解析】
设AB=c，AC=b，BC=a，用a、b、c分别表示△A′BC，△AB′C，△ABC′的面积，再利用Rt△ABC得b2+c2=a2，求得c值代入即可求得的面积△ABC的面积．
【解答】
D
7.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和等面积法求线段长度，连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AD的长度，结合S△ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE即可求出DE的长．
【解答】
连接AD，
∵ AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=3，
在Rt△ACD中，AD=AC2−CD2=52−32=4，
∵S△ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴DE=AD⋅CDAC=4×35=125，
故选：C．
8.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
在数轴上表示实数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
9.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的应用
平面展开-最短路径问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解：如图，将容器的侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
由题意知A′D=5cm,A′E=AE=3cm,BD=12−3+A′E=12cm
∴ 由勾股定理得，A′B=A′D2+BD2=52+122=13cm
10.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形的面积
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA=60∘，斜边AB=10
∴ BC=12AB=5， AC=AB2−BC2=53
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
在△ACB和△BND中，
∠ACB=∠BND=90∘∠CAB=∠NBDAD=BD
∴ △ACB≅△BNDAAS
同理，Rt△MND≅Rt△OCB
∴ MD=OB， ∠DMN=∠BOC
∴ EM=DO，∴ DN=BC=CI
DN//CI，∴ 四边形DNCI是平行四边形，
∵ ∠NCI=90∘
∴ 四边形DNCI是矩形，∴ ∠DIC=90∘
∴ D、I、H三点共线，
∵ ∠F=∠DIO=90∘， ∠EMF=∠DMN=∠BOC=∠DOF
∴ △FME≅△DOIAAS
∵ 图中S2=SRt△DOF,S△BOC=S△MND
∴ S2+S4=SRt△ABC ，S3=S△ABC
在Rt△AGE和Rt△ABC中，AE=ABAG=AC,
∴ Rt△AGE≅Rt△ACBHL
同理，Rt△DNB≅Rt△BHD
∴ S1+S2+S3+S4+S5=S1+S2+S2+S4+S5
=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
=Rt△ABC的面积×4=5×53÷2×4=503
故选B．
二. 填空题
11.
【答案】
4
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
根据图形的特点，以及两个正方形的面积，逐一进行判断即可．
【解答】
解：因为大正方形的面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，
∴由勾股定理得：x2+y2=72=49，故①正确；
∵四个直角三角形全等，由图形可知：x−y=2，故②正确；
由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积可得：
12xy×4+4=2xy+4=49，故④正确；
∵2xy+4=49，
∴2xy=49−4=45，
∴x+y2=x2+y2+2xy=49+45=94，
∵x>0,y>0，
∴x+y=x+y2=94，故③正确；
综上，①②③④都正确，
故答案为：4．
12.
【答案】
21
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【解答】
由题意作出如下图，阴影部分由四个与△ABD全等的三角形和一个边长为BD的正方形组成
由题意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC−CD=3
∴S△ABD=12AB⋅BD=12×3×2=3，
S小正方形=BD2=32=9
∴S=4S△ABD+S小正方形=4×3+9=21
故答案为： 21 ．
13.
【答案】
14.5
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
14.5
14.
【答案】
135
【考点】
线段垂直平分线的性质
勾股定理的逆定理
【解析】
连接DA、EA，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据勾股定理的逆定理得到∠DAE=90∘，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：如图，连接DA，EA.
∵ AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴ AD=BD，CE=AE，
∴ ∠DAB=∠B，∠EAC=∠C.
∵ BD2+CE2=DE2，
∴ AD2+AE2=DE2，
∴ ∠DAE=90∘，
∴ 2∠B+2∠C+90∘=180∘，
∴ ∠B+∠C=45∘，
∴ ∠DAB+∠EAC=45∘，
∴ ∠BAC=∠DAB+∠DAE+∠EAC=135∘．
故答案为：135.
15.
【答案】
（1）S1+S2=S3；（2）7
【考点】
等边三角形的性质
勾股定理
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：（1）在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，则AB2=AC2+BC2
如图1，在等边△ACE中，AC边上的高EH=32AC
∴ S1=12AC⋅EH=12AC⋅32AC=34AC2，同理：S2=34BC2,S3=34AB2
∴ S1+S2=S3
（2）设△ACB面积为S，图2中两个白色图形的面积分别为a，b；
∵ S1+S2=S3，∴ S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，∴ S甲+S乙=S丙+S
∴ S=6+5−4=7
三. 解答题
16.
【答案】
解:在Rt△ABC中
AB2+BC2=AC2
∴ AB=5
在△ABD中
AB2=25
AD2+BD2=32+42
=25
∴ AD2+BD2=AB2
∴ △ABD为Rt△，∠BDA=90∘ ，
S阴=S△ABC−S△ABD
=30−6=24
24×20=480
∴ 种植花卉所需的面积费用为480元
【考点】
勾股定理
勾股定理的逆定理
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:在Rt△ABC中
AB2+BC2=AC2
∴ AB=5
在△ABD中
AB2=25
AD2+BD2=32+42
=25
∴ AD2+BD2=AB2
∴ △ABD为Rt△，∠BDA=90∘ ，
S阴=S△ABC−S△ABD
=30−6=24
24×20=480
∴ 种植花卉所需的面积费用为480元
17.
【答案】
解：（1）∵ AD⊥BC
∴ 由勾股定理得：AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2
∴ AB2−AC2=BD2−CD2
（2）当AB=8,BC=6,AC=213时，由（1）知 82−2132=BD2−6−BD2
∴ BD=4，∴ AD=AB2−BD2=82−42=43.
【考点】
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ AD⊥BC
∴ 由勾股定理得：AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2
∴ AB2−AC2=BD2−CD2
（2）当AB=8,BC=6,AC=213时，由（1）知 82−2132=BD2−6−BD2
∴ BD=4，∴ AD=AB2−BD2=82−42=43.
18.
【答案】
解：（1）∵ ∠BAD=90∘,AB=160m,AD=120m,
∴在直角△BAD中，BD=AB2+AD2=1602+1202=200m
答：小路BD的长为200m；
（2）由（1）可得BD=200m，CD=210m,BC=290m
∴ BD2+DC2=2002+2102=84100=2902=BC2
∴ △BDC是直角三角形，∠BDC=90∘，
∴ S△DAB=12AD⋅AB=12×120×160=9600m2，
S△BDC=12BD⋅DC=12×200×210=21000m2，
∴ S四边形ABCD=9600+21000=30600m2，
答：该四边形土地的面积是30600m2
【考点】
勾股定理
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ ∠BAD=90∘,AB=160m,AD=120m,
∴在直角△BAD中，BD=AB2+AD2=1602+1202=200m
答：小路BD的长为200m；
（2）由（1）可得BD=200m，CD=210m,BC=290m
∴ BD2+DC2=2002+2102=84100=2902=BC2
∴ △BDC是直角三角形，∠BDC=90∘，
∴ S△DAB=12AD⋅AB=12×120×160=9600m2，
S△BDC=12BD⋅DC=12×200×210=21000m2，
∴ S四边形ABCD=9600+21000=30600m2，
答：该四边形土地的面积是30600m2
19.
【答案】
解：连接AC，
因为∠B=90∘，所以直角△ABC中，由勾股定理得，
AC2=AB2+BC2，
AC2=82+62，AC=10，
又CD=24，AD=26，AC2+CD2=AD2
所以△ACD是直角三角形，
S四边形 ABCD=12AC⋅CD−12AB⋅BC=12×10×24−12×8×6
=120−24
=96m2
答：该草坪的面积为96m2．
【考点】
勾股定理的应用
勾股定理的逆定理
【解析】
连接AC，则△ABC为直角三角形，AC为斜边，解直角△ABC求AC，根据AC，AD，CD判定△ACD为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【解答】
解：连接AC，
因为∠B=90∘，所以直角△ABC中，由勾股定理得，
AC2=AB2+BC2，
AC2=82+62，AC=10，
又CD=24，AD=26，AC2+CD2=AD2
所以△ACD是直角三角形，
S四边形 ABCD=12AC⋅CD−12AB⋅BC=12×10×24−12×8×6
=120−24
=96m2
答：该草坪的面积为96m2．
20.
【答案】
（1）证明：∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BC2=BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=x，
∵AC2=AD2+CD2
x2=x−52+122，
解得：x=16910，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2×16910+13=2345 cm．
【考点】
勾股定理的逆定理
勾股定理
等腰三角形的性质
【解析】
（1）由BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
（2）由（1）可求出AC的长，周长即可求出．
【解答】
（1）证明：∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BC2=BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=x，
∵AC2=AD2+CD2
x2=x−52+122，
解得：x=16910，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2×16910+13=2345 cm．
21.
【答案】
（1）证明：在Rt△ABC中， AC2=AB2+BC2=32+42=52，
∴ AC=5m
在△DAC中， CD2=122,AD2=132
∵122+52=132
∴ AC2+AD2=CD2
∴ △DAC是直角三角形， ∠ACD=90∘
（2）解： S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC
=12BC⋅AB+12DC⋅AC
=12×4×3+12×12×5=36m2
∵ 每种植1平方米草皮需要300元，
∴ 需费用为： 36×200=7200 （元），
答：总共需投入7200元．
【考点】
勾股定理的逆定理
三角形的面积
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：在Rt△ABC中， AC2=AB2+BC2=32+42=52，
∴ AC=5m
在△DAC中， CD2=122,AD2=132
∵122+52=132
∴ AC2+AD2=CD2
∴ △DAC是直角三角形， ∠ACD=90∘
（2）解： S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC
=12BC⋅AB+12DC⋅AC
=12×4×3+12×12×5=36m2
∵ 每种植1平方米草皮需要300元，
∴ 需费用为： 36×200=7200 （元），
答：总共需投入7200元．
22.
【答案】
（1）见解析
32，322
7,0或−3,0或−6,0或−98,0
【考点】
求坐标系中两点间的距离
作图-轴对称变换
等腰三角形的定义
三角形的面积
【解析】
（1）在网格中找出点A，B，C关于y轴对称的点A1，B1，C1，并顺次连接，得到△A1B1C1即可；
（2）由割补法求出S△A1B1C1=32，设C1到线段A1B1的距离是h，再由面积法求出h的长即可；
（3）由勾股定理得AD=5，分三种情况，①当DP=DA=5时，②当AP=AD=5时，③当PA=PD时，分别求出P点的坐标即可．
【解答】
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所作；
（2）S△A1B1C1=2×2−12×1×1−12×2×1−12×2×1=32，
设C1到线段A1B1的距离是h，
∵AB=12+12=2，
∴S△A1B1C1=12AB⋅h=12×2h=32，
∴h=332，即C1到线段A1B1的距离是332．
故答案为：32，332；
（3）解：∵点A−2,3，点D2,0，
∴AD=−2−22+3−02=5．
分三种情况：①当DP=DA=5时，
∴P点坐标为2+5,0或2−5,0，即7,0或−3,0；
②当AP=AD=5时，
∴P点坐标为−2−4,0，即P−6,0；
③当PA=PD时，作AD的垂直平分线交x轴于点P，如图，
设PE=x，则PA=PD=4−x，
在Rt△APE中，由勾股定理得：32+x2=4−x2，
解得：x=78，
∴OP=xA−PE=2−78=98，
∴P点坐标为−98,0．
综上所述，若△APD是等腰三角形，P点坐标是7,0或−3,0或−6,0或−98,0．
故答案为：7,0或−3,0或−6,0或−98,0．
23.
【答案】
（1）∵ △AQE≅△BCA，
∴ AQ=BC ，
∵ MN//PL，∴ ∠AGQ=∠BDH，
在△AQG和△BHD中， ∠AGQ=∠BDH∠AQG=∠BHD=90∘AQ=BC ，
∴ △AQG≅△BHDAAS；
（2）由图2知①+⑥=⑤+⑨，且由（1）知⑤=⑥，
∴ ⑨=①，DP=GM ，
∵ 图2中梯形DPNQ的面积等于
12×DP+NG×PN=12×GM+NG×PN=12×MN×PN,
∴ 梯形DPNQ的面积等于长方形LMNP的一半．
所以图3中的两个部分面积是相等的．
又∵ 由题意得②=③=④=⑦=⑧=⑩，
∴ ⑫+⑬=⑪，即a2+b2=c2．
【考点】
全等三角形的性质与判定
勾股定理的证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）∵ △AQE≅△BCA，
∴ AQ=BC ，
∵ MN//PL，∴ ∠AGQ=∠BDH，
在△AQG和△BHD中， ∠AGQ=∠BDH∠AQG=∠BHD=90∘AQ=BC ，
∴ △AQG≅△BHDAAS；
（2）由图2知①+⑥=⑤+⑨，且由（1）知⑤=⑥，
∴ ⑨=①，DP=GM ，
∵ 图2中梯形DPNQ的面积等于
12×DP+NG×PN=12×GM+NG×PN=12×MN×PN,
∴ 梯形DPNQ的面积等于长方形LMNP的一半．
所以图3中的两个部分面积是相等的．
又∵ 由题意得②=③=④=⑦=⑧=⑩，
∴ ⑫+⑬=⑪，即a2+b2=c2．