2024-2025学年重庆一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z满足2−iz=i2，则z=( )
A. −1+2iB. −1−2iC. 2−iD. −2+i
2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,=π3,a⊥(a+λb)，则实数λ=( )
A. −1B. 1C. 12D. −12
3.已知直线l1：(a−1)x+y−1=0，l2：(3a−5)x+(a−1)y−2=0，则l1//l2的充要条件的是( )
A. a=2B. a=3C. a=2或3D. a=4
4.若方程C：x2+y2−2ax+2y+2a2−1=0表示圆，且圆心位于第四象限，则实数a的取值范围是( )
A. [− 2, 2]B. ( 2,+∞)C. (0, 2)D. (0, 2]
5.印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异.自秦汉玺印至明清篆刻，方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝.如图是一个金属印章，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，均为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为2 55，则该几何体的体积是( )
A. 32B. 643C. 64D. 1283
6.若圆C：(x−1)2+(y−3)2=13上有两点关于直线l：mx+ny=1对称，则m2+2n的最小值为( )
A. 23B. 59C. 1D. 54
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a(csB−csC)=(b+c)csA，若sinB=13，则ba=( )
A. 38 2B. 43 2C. 23D. 12
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为P.过点F1的直线l与椭圆C的交点为A，与y轴的交点为B.若F2B=12(F2F1+F2A)，且|AF1|−|AF2|=|OP|−|F1F2|，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 3−12C. 32D. 2−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：y=kx+2k−3，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(−2,−3)
B. 若直线l在x轴上的截距为1，则k=1
C. 若直线l与直线2x+y−1=0垂直，则k=−12
D. 若k≥ 3，则直线l的倾斜角α的取值范围为[π3,π)
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G，H分别为棱A1B1，BC，CD，B1C1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线EF与A1C1所成角的正弦值为 63
B. EF//平面AA1C1C
C. 直线AE与CH是异面直线
D. 过A，E，G三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面形状为菱形
11.已知直线l：(x+1)csθ+(y−2)sinθ=2，其中θ∈[0,π]，点P(a,b)是直线l上的一个动点.圆C：x2+y2+2λx−4λy+λ2=0，其中λ∈R，点Q(m,n)是圆C上的一个动点.则下列说法中正确的是( )
A. 当csθ=35,λ=−1时，圆心C到直线l的距离为4
B. 当csθ=35,λ=−1时，O是坐标原点，则|OP|+|QP|的最小值为2 5−2
C. 当λ=2时，不存在θ∈[0,π]，使圆C与直线l相离
D. 存在λ∈R，使对任意的θ∈[0,π]，圆C与直线l均相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1,b=2 2,c= 13，则∠C= ______．
13.已知椭圆x2a2+y2a2−1=1的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，经过点A，F的圆C与y轴相切于点P(0, 3)，则|BF|=______．
14.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，SAB为圆锥SO的轴截面，AB为底面圆O的直径，SA=AB=2，C为底面圆周上一点，且AC=BC，D为SA的中点．
(1)求证：BS//平面OCD；
(2)求直线BC与平面SAC所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=12，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且△F2AB的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在△F1F2A中，求cs∠F1AF2的最小值．
17.(本小题15分)
已知梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，AB=AD=12DC=2，如图1.将△ABD沿BD折起到△PBD，得到三棱锥P−BCD，如图2，E、F分别为棱BD、CD的中点．
(1)若BC⊥PD，求证：平面PBC⊥平面PBD；
(2)若∠PEF=90°，求二面角D−PF−E的正弦值；
(3)是否存在点P，使得点B到平面PCD的距离为 2？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=max{|x1−x2|，|y1−y2|}为两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的“棋盘距离”(源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”).直线l：y=kx+1．
(1)已知圆C：x2+(y−a)2=4(a≤1)，圆C1：x2+y2−2x−4y+4=0的圆心分别为C，C1，且d(C,C1)=2，判断圆C与圆C1的位置关系；
(2)若直线l与(1)问结论中的圆C自上而下交于A，B两点，直线l与y轴、x轴分别交于P、Q两点：若(1)问结论中的圆C与y轴自上而下交于G，H两点．
①设QA=mPA,QB=nPB，求m+n的值；
②求证：直线AH、BG交点R在定直线上．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)若△ABC的面积为1，
①BA⋅CA=1，求tanA的值；
②求a2sinA+11−csA的最小值．
(2)若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径R=6，是否存在实数λ，使得abc≤λ(a2+b2+3c2)恒成立，若存在，求出λ的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.C
5.D
6.B
7.A
8.B
9.AB
10.ABD
11.ACD
12.3π4
13.3
14.(48−32 2)π
15.(1)证明：因为O为AB的中点，D为SA的中点，所以OD//BS，
因为OD⊂平面OCD，BS⊄平面OCD，
所以BS//平面OCD；
(2)AO⊥平面ABC，因为SA=SB=AB=2，
所以SO= 3，又AC=BC，AB=2，则OC⊥AB，
故S△ABC=12AB×OC=1，
所以VS−ABC=13S△ABC×SO=13×1× 3= 33，
又SA=SC=2，AC= 2，
则在△SAC中，AC边上的高为 22−( 22)2= 142,S△SAC=12× 2× 142= 72，
设点B与平面SAC的距离为ℎ，
因为VS−ABC=VB−SAC，所以 33=13× 72×ℎ，所以ℎ=2 217，
设直线BC与平面SAC所成角为θ，则sinθ=ℎBC=2 217 2= 427，
即直线BC与平面SAC所成角的正弦值为 427．
16.(1)因为△F2AB的周长为8，
所以4a=8，
解得a=2，
因为椭圆C的离心率e=12，
所以 a2−b2a=12，
解得b= 3，
则椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)由(1)知，椭圆C的半焦距c=1，|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，
所以cs∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2−|F1F2|2−2|AF1||AF2|2|AF1||AF2|
=6|AF1||AF2|−1≥6(|AF1|+|AF2|2)2−1=12，
当且仅当|AF1|=|AF2|=2时，等号成立．
则cs∠F1AF2的最小值为12．
17.(1)证明：梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥AD，AB=AD=12DC=2，
所以BD=2 2，BC= 22+(4−2)2=2 2，
所以BD2+BC2=CD2，所以BC⊥BD，
又BC⊥PD，BD，PD⊂平面PBD，且BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD，
又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．
(2)解：因为E、F分别为棱BD、CD的中点，所以EF/​/BC，
所以EF⊥BD，又PE⊥BD，所以∠PEF为二面角P−BD−C的平面角，
因为∠PEF=90°，所以平面PBD⊥平面BDC，
所以PE⊥平面BDC，DE，EF⊂平面BDC，
所以PE⊥ED，PE⊥EF，又EF⊥BD，
建立空间直角坐标系E−xyz，如图所示：
则E(0,0,0)，D( 2,0,0)，B(− 2,0,0)，C(− 2,2 2,0)，F(0, 2,0)，E(0,0, 2)，
易知平面PEF的一个法向量为m=(1,0,0)，
设平面PDF的一个法向量为n=(x,y,z)，DF=(− 2, 2,0)，DP=(− 2,0, 2)，
则DF⋅n=0DP⋅n=0，即− 2x+ 2y=0− 2x+ 2z=0，取x=1，则n=(1,1,1)，
所以cs=m⋅n|m||n|=1 3，
所以二面角D−PF−E的正弦值为 1−(cs)2= 63．
(3)由(2)可知DE⊥平面PEF，故分别以ED，EF为x，y轴的正方向，z轴在平面PEF内且以向上的方向为正方向，
建立空间直角坐标系E−xyz，如图所示：
则E(0,0,0)，D( 2,0,0)，B(− 2,0,0)，C(− 2,2 2,0)，F(0, 2,0)，
设P(0,y0,z0)，因为PE= 2，所以x02+y02=1，又DB=(−2 2,0,0)，DC=(−2 2,2 2,0)，
设平面PCD的一个法向量为μ=(a,b,c)，则μ⋅DC=0μ⋅DP=0，
即−2 2a+2 2b=0− 2a+y0b+z0c=0，取c= 2−y0，则μ=(z0,z0, 2−y0)，
则点B到平面PCD的距离为d=|μ⋅DB||μ|=|−2 2z0| z02+z02+( 2−y0)2= 2，所以2z02=( 2−y0)2，
因为y02+z02=2，所以4−2y02=( 2−y0)2，即3y02−2 2y0−2=0，
所以y0=− 23或y0= 2，因为y02+z02=2，所以z0=±43或z0=0，
因为z0>0，所以z0=43，y0=− 23，所以P(0,− 23,43)，
所以存在点P(0,− 23,43)，使得点B到平面PCD的距离为 2．
18.(1)圆C1：x2+y2−2x−4y+4=0，
转化为标准方程为：(x−1)2+(y−2)2=1，
∵C(0,a)，C1(1,2)，d(C,C1)=max{1，|a−2|}=2，
∴|a−2|=2⇒a=4或0，∵a≤1，∴a=0，∴C(0,0)，C1(1,2)，
⊙C：x2+y2=4，⊙C1：(x−1)2+(y−2)2=1，
∴r=2，r1=1，∴|r−r1|=1