福建省厦门市2024-2025高一下学期期末数学试卷及答案

这是一份福建省厦门市2024-2025高一下学期期末数学试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为的样本，样本中甲型号产品有10件，则的值为（ ）
A. 20B. 30C. 50D. 100
2. 平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是关于的方程一个根，则（ ）
A -2B. 3C. 6D. 7
6. ，，为两两不重合的平面，，为不重合的直线，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7. 三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A. B. C. D.
8. 已知向量，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项.符合题目要求，全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现对1200名学生某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则（ ）
A. 众数的估计值为75B.
C. 成绩在的学生人数为300D. 成绩的中位数小于70
10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数，则________.
13. 若事件和相互独立，，，则________.
14. 已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：
甲 47 51 49 50 53
乙 44 51 60 58 52
（1）利用均值和极差对甲、乙产量进行评价；
（2）产量变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广?
16. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若为的中点，，，求.
17. 如图，四棱锥中，底面是菱形，平面，，为的中点，直线与平面交于点.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积.
18 某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖.
（1）已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率；
（2）为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由.
19. 如图，四棱锥中，平面平面，，.
（1）求；
（2）若直线与所成角的余弦值为.
（i）求二面角的正切值；
（ii）是的外接圆上的动点，三棱锥内有一圆柱，圆柱的底面在内，求该圆柱侧面积的最大值.
厦门市2024—2025学年第二学期高一年级质量检测
数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题
1. C
2. A
3. B
4. B
5. B
6. D
7. C
8. D
二、多选题
9. AB
10. ACD
11. ACD
三、填空题
12.
13.
14.
四、解答题
15. （1）
甲品种产量样本的平均值，极差为；
乙品种产量样本的平均值，极差为.
所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大.
（2）
甲品种的样本方差，
所以甲品种产量的变异系数；
乙品种的样本方差
，
所以乙品种产量的变异系数.
因为，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广.
16. （1）
由正弦定理得，
即
所以，
所以.
又，得，因为，所以
（2）
解法1：因为，所以.
在中，由正弦定理得，即，得.
因为为中点，所以.
.
在中，由余弦定理得
，
所以.
解法2：因为，所以.
在中，由正弦定理得，即，得.
因为为中点，所以.
，
在中，由正弦定理得，即，得.
在中，
由余弦定理得，
所以.
17. （1）
因为四边形是菱形，所以.
又平面，平面，所以平面.
因为平面，平面平面，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）
解法1：因为，，所以.
因为为的中点，所以为的中点.
因为，，所以，所以.
又为的中点，所以.
因为平面，所以.
因为四边形是菱形，，所以，所以.
因为为的中点，，所以，
所以.
解法2：连接，则.
设，的中点分别为，，连接，.
因为四边形是菱形，，所以，所以，.
因为平面，平面，所以平面平面.
又平面平面，平面，，所以平面.
同理平面.
所以.
因为和都是等边三角形，所以，
且，.
所以.
解法3：.
因为为的中点，所以，
所以.
因为为的中点，所以.
因为，所以，
所以，即.
因为平面，所以.
因为，，
所以.
18. （1）
记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为，
则6个球中一次摸出两球的样本空间为：
，
则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.
记事件“甲获得一等奖”，则，，
所以，所以甲获得一等奖的概率为.
（2）
记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”，
事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2.
由（1）知；
，；
，；
，.
则，，与相互独立.
所以.
因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立，
所以
.
因为，且，互斥，两次抽奖相互独立，
所以.
所以，所以事件与事件不相互独立.
19. （1）
如图1，取的中点，连接，，由知.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以，所以，进而，
所以点在以为直径的圆上，所以.
所以.
（2）
（i）设，分别为棱，的中点，连接，.
设，分别为，的中点，则，.
所以是直线与所成角或其补角.
又，，，，，
所以.
设，连接，则.
由，平面，得平面，又，平面，
所以，.
所以，.
在中，由，解得，
所以.
由平面，平面，得.
又，，，平面，所以平面.
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
，即二面角的正切值为.
（ii）由的外接圆直径及正弦定理知.
①如图2，当在内时，，
设圆柱上底面所在平面与三棱锥的截面为.
当圆柱上底面是的内切圆时，其半径取得最大值.
记，因为，，.
设，，则，，
所以，得.
中，由余弦定理得，.
一方面，；
另一方面，，
即，当且仅当时等号成立.
所以.
设圆柱的高为，则，即，得，
所以圆柱的侧面积
，
当且仅当且时等号成立.
②如图3，当点在外（包含边界）时，为钝角.
若圆柱的高为，过作底面的垂面，与截面的交线为，
则圆柱上底面在内部.记内切圆半径，
此时，，.
综上，圆柱侧面积的最大值为.