浙江省绍兴市新昌县五校联盟2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷

这是一份浙江省绍兴市新昌县五校联盟2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列交通标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．当a=6时，二次根式a−2的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=110°，则∠C的度数是（ ）
A．35° B．50° C．55° D．60°
4．为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为2，3，2，4，3，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知点P（m，2）与点Q（﹣3，n）关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
6．下列选项中，计算正确的是（ ）
A．(−2)2=−2B．(−5)2=−5C．8÷2=4D．5×2=10
7．某班有45名学生，其中25名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班45名学生的平均身高为（ ）厘米．
A．m+n2B．m+n45C．25m+20n45D．25m+20nm+n
8．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”其意思是：现有一竖立着的木桩，在木桩上端系有绳索，绳索从木桩上端顺木桩下垂后，堆在地面的部分还有3尺，牵着绳索退行，在离木桩底部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？设绳索长为x尺，则（ ）
A．(x−3)2+82=x2B．(x−3)2+x2=82
C．x2+82=(x+3)2D．x2+(x+3)2=82
9．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE=4，AF=6，且ABCD的周长为40，则ABCD的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．48
10．关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列四种不同解法中，完全正确的是（ ）
①两边同时除以(x−1)得x=3.②化简整理得x2−4x=−3，∵a=1，b=−4，c=−3，b2−4ac=28，∴x=4±282=2±7.③整理得x2−4x=−3，配方得x2+4x+2=−1，∴(x−2)2=−1，∴x−2=±1，∴x1=1，x2=3.④移项得：(x−3)(x−1)=0，∴x−3=0或x−1=0，∴x1=1，x2=3．
A．①B．②C．④D．③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.）
11．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击平均成绩均为9环，方差分别为：S甲2=2环2，S乙2=1.5环2，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
12．若二次根式x−2有意义，则字母x的取值范围为 .
13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是 .
14．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分率相同，那么平均每月增长的百分率为 .
15．把一元二次方程x2−6x+1=0化为(x+a)2=b（a，b为常数）后，则a+b= .
16．四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BCD的平分线交边AD于点F，EF=15AD，则平行四边形ABCD的边AB与BC之比为 .
三、解答题（本大题有8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）
17．计算：
（1）(2+3)×6.
（2）(5−1)+20．
18．解方程：
（1）2(x+1)2=18.
（2）2x2−5x+2=0．
19．如图是由6×7的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中△ABC的三个顶点都是格点，E是BC上任意一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）边AC的长= .
（2）在图中画格点D，使四边形ACBD是平行四边形；再在线段AD上画点F，使AF=BE．
20．某工艺品厂草编车间共有20名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
（1）求这20名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数．
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．若要使占80％的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、众数、中位数）作为日生产件数的定额？
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形.
（2）若AB=BD=4，求AC的长．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0．
（1）若该方程有一个根是﹣3，求k的值．
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
23．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE．
（1）求证：AE=CF．
（2）若BE=CE，AE=4，DE=8，求CD的长．
24．为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当a=6时，a−2=6−2=4=2
故答案为：B．
【分析】将a=6代入二次根式，计算求解即可．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C
∵ ∠A+∠C=110°
∴ ∠C = 110° ÷ 2 = 55°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形对角相等”即可解答.
4．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 数字2出现3次， 数字3出现2次，数字4出现1次， 数字5出现1次
数字2出现次数最多.
故答案为：A.
【分析】 根据众数的定义，统计每个数值出现的频次，找出出现次数最多的数值即可解答.
5．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 根据题意得，m+−3=02+n=0
解得m=3n=−2
∴m+n=1
故答案为：C.
【分析】根据中心对称的性质，关于原点对称的两点坐标互为相反数，列出方程即可解答.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A.(−2)2=2，故原式计算错误；
B.(−5)2=5，故原式计算错误；
C.8÷2=4=2 ，故原式计算错误；
D.5×2=10 ，故原式计算正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则， 逐一分析四个选项的计算是否正确， 即可解答.
7．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，全班45名学生的身高总和为25m+20n
所以全班的平均身高为25m+20n45 .
故答案为：C.
【分析】 计算平均身高需要先求总身高，再除以总人数即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图，标出直角三角形三边长
根据勾股定理即可得(x−3)2+82=x2
故答案为：A.
【分析】 设绳索长为 ? 尺，当绳索被拉直时，形成直角三角形，其中木桩的高度为绳索长度减去垂落地面的部分，水平距离已知为8尺。根据勾股定理，可得方程。
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BC=x，则CD=20-x
S▱ABCD=BC×AE=CD×AF
得：4x=6(20−x)
解得：x=12
S▱ABCD=12×4=48
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质及周长公式，得出邻边和为20，设BC=x，则CD=20-x，由平行四边形的面积列出方程即可求解.
10．【答案】C
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解： 解法①两边同时除以 ( ? − 1 ) 的解法错误，漏掉x−1=0；
解法②没有将原方程化为一般式，导致公式法中c值错误；
解法③配方法中两边应加上一次项系数一半的平方，两边加2错误；
解法④正确.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的解法，正确运用因式分解、配方、求根公式等解方程，即可对四个选项做出判断.
11．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： 已知甲的射击成绩的方差为2环2，乙的射击成绩的方差为1.5环2。
根据方差的意义，方差越小，数据越稳定。
因此，乙的射击成绩更稳定。
故答案为：乙.
【分析】 根据方差的含义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，即可判断.
12．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x−2≥0
解得：x≥2
故答案为：x≥2.
【分析】 二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”，根据这个条件列出不等式，然后解这个不等式，得到x的取值范围.
13．【答案】6
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： 设这个多边形是n边形 ，则
180n−2=360×2
解得：n=6
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和公式“n−2×180°”和多边形的外角和为360°，列出关于边数的方程，即可解答.
14．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设平均每月的增长率为x，则根据题意
2001+x2=288
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍）
所以，平均每月的增长率为20%.
故答案为：20%.
【分析】 设平均每月的增长率为x ，根据“ 一月份的营业额乘以（1+月增长率）的平方等于三月份的营业额 ”列出方程，即可解答.
15．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项：x2−6x=−1
两边同时加9，得：x2−6x+9=8
即：x−32=8
所以，a=−3，b=8
a+b=−3+8=5
故答案为：5.
【分析】将一元二次方程的一般式配方后，对比确定a、b的值，在代入求值即可解答.
16．【答案】25或35
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD
∴∠CBE=∠AEB，∠BCF=∠DFC
∵ ∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BCD的平分线交边AD于点F，
∴∠CBE=∠ABE，∠BCF=∠DCF
∴∠AEB=∠ABE，∠DFC=∠DCF
∴AB=AE=CD=DF
①当E在F的右侧时，如图所示，∵EF=15AD
AF=DE=12AD−EF=2EF
∴AB=AE=3EF
∴ABBC=3EF5EF=35
②当E在F的左侧时，如图所示，∵EF=15AD
AF=DE=12AD+EF=3EF
∴AB=AE=2EF
∴ABBC=2EF5EF=25
故答案为：25或35.
【分析】根据题意，分两周情况画出图形：①当E在F的右侧时，②当E在F的左侧时，再结合平行四边形的性质即可解答.
17．【答案】（1）解：原式=12+18
=23+32
（2）解：原式=5−1+25=35−1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式的混合计算，运用乘法分配律即可计算；
（2）化简二次根式，合并同类二次根式即可计算.
18．【答案】（1）解：(x+1)2=9
x+1=±3
x1=2，x2=−4
（2）解：a=2，b=−5，c=2，
b2−4ac=(−5)2−4×2×2=9
x=5±94=5±34
x1=2，x2=12​​​​​​​
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）公式法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）17
（2）（2）解：如图所示，即为所求；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）解：根据勾股定理可得：AC=12+42=17，
故答案为：17．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）先根据平行四边形的对边平行且相等的性质，确定点D，连接CD，再连接点E和平行 对角线交点并延长，交AD于点F．
20．【答案】（1）解：由题意得：
平均数x=12010+11×3+12×5+13×4+14×4+15×3=12.8（件）
12出现的次数最多，故众数：12件；
20名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为13、13，故中位数：13件．
答：平均数：12.8件；众数：12件；中位数：13件．
（2）解：如果以平均数“12.8”作为定额，那么将有9名工人可能完不成任务．如果以中位数“13”作为定额，那么将有9名工人可能完不成任务．
如果以众数“12”作为定额，那么可能有4名工人完不成任务，16名工人能完成任务，即1620=80％的工人都能完成任务．
因此，选众数12作为日生产件数的定额
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可得出答案；
（2）分别从平均数、众数、中位数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．
（1）解：由题意得：
平均数x=12010+11×3+12×5+13×4+14×4+15×3=12.8（件）
12出现的次数最多，故众数：12件；
20名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为13、13，故中位数：13件．
（2）解：如果以平均数“12.8”作为定额，那么将有9名工人可能完不成任务．
如果以中位数“13”作为定额，那么将有9名工人可能完不成任务．
如果以众数“12”作为定额，那么可能有4名工人完不成任务，16名工人能完成任务，即1620=80％的工人都能完成任务．
因此，选众数12作为日生产件数的定额．
21．【答案】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴AB∥CD
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=12BD=2
∵AB⊥BD
∴AO=AB2+BO2=42+22=25
∴AC=2AO=45
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明；
（2）根据平行四边形的性质对角线互相平分，得BO=2，再根据勾股定理即可求解.
22．【答案】（1）解：把x=−3代入方程，得9−6+k−1=0
解得k=−2
（2）解：由题意，得b2−4ac=4−4×1×(k−1)=8−4k＞0
∴k＜2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解参数k；
（2）一元二次方程根的判别式与根的情况“一元二次方程有两个不相等的实数根则判别式大于0”，解不等式即可.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD
∴∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
（2）解：由（1）得△ABE≌△CDF
∴CF=AE=4，DF=BE
设BE=x，则CE=DF=x，
∴EF=8−x，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴DF=5，
∴CD=42+52=41
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及题中条件，由“角角边”证明出△ABE≌△CDF，即可证明结论；
（2）由全等的性质得CF=AE=4，DF=BE，根据勾股定理即可求解.
24．【答案】解：问题1：30000−(5−2)×500=28500（元）
问题2：30000−500(x−2)=31000−500x
问题3：设团购数量为x台，由题意得
(31000−500x−20000)⋅x=58500
解得x1=9，x2=13
∵团购数量不超过11台，
∴x=13不合题意，舍去
∴当团购数量为9台时，销售部的利润为58500元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题1，根据团购方案即可列式解答；
问题2，根据团购方案即可列出代数式；
问题3，根据“（团购价-进价）×团购数量=利润”，列出关于数量的一元二次方程，解方程即可.日均生产能力（件）
10
11
12
13
14
15
人数
1
3
5
4
4
3
素材1
某款中央空调每台进价为20000元．
素材2
团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，在此基础上，若团购数量每增加1台，则每台再降500元．
规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决
问题1：当团购5台时，求出每台空调的团购价．
问题2：设团购数量为x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价．
问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．