河北省石家庄市赵县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析）

这是一份河北省石家庄市赵县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若a−5在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞5C．a≥5D．a≤5
解：∵a−5在实数范围内有意义，
∴a﹣5≥0，
解得a≥5．
故选：C．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8B．3a3bC．x2D．a2+4
解：A、8=22，不是最简二次根式，不符合题意；
B、3a3b=|a|3ab，不是最简二次根式，不符合题意；
C、x2=2x2，不是最简二次根式，不符合题意；
D、a2+4是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
3．（3分）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（ ）
A．B．
C．D．
解：根据三角形的面积公式，四个选项中阴影部分三角形的高是相等的，若底相等，则面积相等，
∴B，C，D三个选项中阴影部分的面积是相等的，
故选：A．
4．（3分）如图是一个底面半径为5cm，高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（ ）
A．24cmB．26cmC．28cmD．30cm
解：如图所示：AC为圆柱形花器底面圆的直径，BC为圆柱形花器高，

∴线段AB的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度，
在Rt△ABC中，AC＝5×2＝10cm，BC＝24cm，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=26（cm）．
答：需预留花茎最长为26cm．
故选：B．
5．（3分）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（ ）
A．始终不变B．不断变小
C．不断变大D．先变小后变大
解：由题知，
∵BC⊥AC，且点P为AB的中点，
∴CP为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CP=12AB．
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
6．（3分）设2=a，3=b，则用含a，b的式子表示150，可得（ ）
A．25abB．5abC．5abD．25ab
解：∵2=a，3=b，
∴2×3=ab，
即6=ab，
∴150=25×6=56=5ab，
故选：C．
7．（3分）如图，在5×5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．无数
解：如图，
在5×5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形，ru有：
以BC为对角可画平行四边形ACD1B，以AC为对角线可画平行四边形ABCD2，共两个，
故选：B．
8．（3分）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A．2，3，5B．3，4，5C．6，8，13D．5，12，14
解：图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，中间的三角形为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴以AC为边长的正方形面积+以BC为边长的正方形面积＝以AB为边长的正方形的面积，
∵2+3＝5，3+4≠5，6+8≠13，5+12≠14，
∴三个正方形纸片的面积可以是2，3，5，
故选：A．
9．（3分）小迅家有一个长6dm，宽3dm，高4dm的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点B处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点A处出发，想吃到鱼缸顶部B处的馒头屑，它爬行的最短路程是（ ）
A．97dmB．(213+3)dm
C．13dmD．9dm
解：如图，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段AB=92+42=97（dm）；
故选：A．
10．（3分）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A．①②B．①④C．①②④D．①③④
解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形，
故①正确；
②B、D两点之间的距离不断变化，
故②错误；
③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化，
故③错误；
④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，
故④正确．
所以正确的说法有①④．
故选：B．
11．（3分）正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CE=12AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以上结论正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
解：∵∠APF＝90°，
∴∠APB+∠FPE＝90°，
而∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠FPE，
在△ABP和△PEF中
∠BAP=∠EPF∠B=∠EAP=PF，
∴△ABP≌△PEF，
∴BP＝EF，
∵四边形CEFG都是正方形，
∴CE＝EF，
∴BP＝CE，所以①正确；
∵∠BAP≠∠DAH，
∴不能判断△ABP≌△ADH，
∴不能确定AP＝AH，所以②错误；
∵四边形CEFG都是正方形
∴GF∥CE，
∴∠EPF＝∠GFP，
而∠BAP＝∠EPF，
∴∠BAP＝∠GFP，所以③正确；
∵∠APF＝90°，AP＝PF，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF=2AP，
∴AP2=12AF2，
∵AP2＝AB2+BP2，
而AB＝BC，BP＝CE，
∴BC2+CE2=12AF2，所以④错误；
∵S正方形ABCD+S正方形CEFG＝AB2+CE2＝AP2，
S△APF=12AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF，所以⑤正确．
故选：C．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（ ）
A．1.5B．2C．2.4D．2.5
解：连接AP，
由题意可得：
AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA＝∠PFA＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵点M是EF的中点，
∴点M是EF与AP的交点，
∴AM=MP=12AP，
取AB的中点为M′，AC的中点为M″，连接MM′，M′M″，
由题意可得：MM′是△ABP的中位线，
∴MM′∥BP，
∴∠AM′M＝∠B，
∵∠B是定值，
∴∠AM′M也是定值，
∵A，M′是定点，
∴M在MM′所在的直线上运动，
∵M′M″是△ABC的中位线，
∴M'M″=12BC=2×5=2.5，M'M″∥BC，
∴∠AM′M″＝∠B＝∠AM′M，
∴M′，M、M″三点共线，
∵AM=12AP，
∴当P与B点重台时，M与M′重合，当P与C点重合时，M与M″重合，
∴M的运动路径长为M′M″的长度，即M运动的路径长为2.5，
故选：D．
一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）
13．（3分）比较大小：37 ＜ 46 （填“＞”“＜“或“＝”）．
解：∵（37）2＝63，（46）2＝96，
∴63＜96，
∴37＜46，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键．
14．（3分）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 17 米长．
解：根据勾股定理，楼梯水平长度为132−52=12米，则红地毯至少要12+5＝17米长．
15．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝ 2cm ．
解：在▱ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝DAE，
∴∠BAE＝BAE，
∴BE＝AB＝3cm，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2cm．
16．（3分）如图：点A在线段BC上，AB＝4，AC＝6，△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点P是BE上一个动点，连接PA，PC则PA+PC的最小值为 229 ．
解：作A点关于BE的对称点A′，连接A′B与BE交点为P，
∴PA＝PA′
∴PA+PC＝PA′+PC≥CA′，
∵△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，
∴BD＝AD＝DE，∠BDE＝∠BDC+∠ADE＝150°，∠DBC＝60°，
∴∠EBD＝15°，
∴∠EBC＝45°，
由轴对称的性质可得∠A′BE＝∠EBC＝45°，
∴∠A′BC＝90°，
∴AB＝A′B＝4，
在Rt△A′BC中，BC＝AB+AC＝4+6＝10，A′B＝4，
∴A'C=A'B2+BC2=102+42=229，
∴PA+PC的最小值为229，
故答案为：229．
三、解答题（本大题共8道小题，共72分）
17．（7分）计算：
（1）212+27−348；
（2）(18−213)÷2+(2+1)(2−1)．
解：（1）212+27−348
=43+33−123
=−53；
（2）(18−213)÷2+(2+1)(2−1)
=(32−233)÷2+(2−1)
=3−63+1
=4−63．
18．（8分）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成以下问题．（方格纸中每个小方格的边长为1）
（1）如图1，线段AB的长为3，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为5，则第三边的长为 25 ；
（2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形．
解：（1）如图1，三角形ABC即为所求．
由勾股定理得，BC=42+22=25，
∴第三边的长为25．
故答案为：25．
（2）由图2可知，剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的面积为1×5＝5，
∴剪拼成的无重叠无缝隙的正方形的边长为5．
如图2、图3所示．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG．
（1）求证：四边形DFBG是平行四边形．
（2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数．
证明：（1）∵▱ABCD，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
又AF＝CG，
∴△ADF≌△CBG（SAS）
∴DF＝BG，
（2）∵△ADF≌△CBG，
∴∠AFD＝∠BGC＝∠DGE＝105°
20．（8分）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： a2+b2＝c2 ，利用此数量关系解决以下问题；
（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索AB的长为x尺，根据题意，可列方程为 （x﹣3）2+82＝x2 ；
（3）如图2，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）设绳索AC的长为x尺，则AB的长为（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
∴（x﹣3）2+82＝x2，
故答案为：（x﹣3）2+82＝x2；
（3）把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，设BE＝x，则EC＝8﹣x，
∴AE＝EC＝8﹣x，
由矩形的性质可得∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得，x＝3，
则BE的长为3．
21．（9分）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，这些四边形中是“宁美四边形”的有 ④ （填序号）；
（2）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG．求证：四边形ABEG是“宁美四边形”．
（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，
∴①②③选项中的图形不是“宁美四边形”；
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴④选项中的正方形是“宁美四边形”，
故答案为：④；
（2）证明：在正方形ABCD中，BG⊥AE于点H，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
∠BAE=∠CBGAB=BC∠ABE=∠BCG，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴AE＝BG，
又∵BG⊥AE，
∴四边形ABEG是“宁美四边形”．
22．（9分）请阅读下列材料：
问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明根据二次根式的性质：(a)2=a．
联想到了以下的解题方法：
由x=5+2得x−2=5，则（x﹣2）2＝5，
即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1，
把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．
请回答下列问题：
（1）已知x=3−3，求代数式x2+6x+8的值．
（2）已知x=2−12，求代数式x3+54x2的值．
解：（1）由x=3−3，x+3=3，
则（x+3）2＝x2+6x+9＝3，
∴x2+6x＝﹣6，
∴x2+6x+8＝2；
（2）由x=2−12得2x+1=2，则（2x+1）2＝4x2+4x+1＝2，
∴x2+x=14，
∴x3+54x2
=14x（4x2+4x+x）
=14x[4（x2+x）+x]
=14x（4×14+x）
=14x（x+1）
=14×（x2+x）
=14×14
=116．
23．（11分）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB＝1，BC=5，AC=6，则△ABC是 直角 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”）
【问题探究】
（2）如图②，∠AOB＝45°，点C为射线OA上一点，且OC＝2，点D为射线OB上的动点，当△OCD为等腰三角形时，求OD的长；（结果保留根号）
【问题解决】
（3）如图③，△ABC为某植物园的一片绿化区域，且AB＝10米，BC＝50米，AC=1026米，已知在BA的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿CD修一条小路，并在CD上找一点E，在△ADE中种植栀子花，请你计算种植栀子花的区域△ADE为等腰三角形时，CE的长．（结果保留根号）
解：（1）在△ABC中，AB＝a﹣b，BC＝2ab，AC＝a+b，
∴AB2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，AC2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，BC2=(2ab)2=4ab，
∴AB2+BC2＝a2+2ab+b2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）①如图②﹣1，当OC＝CD＝2时，则∠CDO＝∠COD＝45°，
∴∠OCD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在直角三角形OCD中，由勾股定理得：OD=OC2+CD2=22；
②如图②﹣2，当OD＝CD时，则∠OCD＝∠COD＝45°，
∴∠ODC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在直角三角形OCD中，由勾股定理得：OC=OD2+OC2=2OD，
∴OD=22OC=2；
③当满足OD＝OC＝2时，△OCD也满足是等腰三角形；
综上所述，当△OCD为等腰三角形时，OD＝22或2或2；
（3）∵AB＝10米，BC＝50米，AC=1026米，
∴AB2+BC2＝102+502＝2600，AC2=(1026)2=2600，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
又∵AD＝40米，且点D在BA延长线上，
∴BD＝AB+BD＝10+40＝50米，
∴BC＝BD＝50米，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴∠D＝45°，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：CD=BD2+BC2=502米，
①当DE＝AE时，如图③﹣1，则∠D＝∠DAE＝45°，
﹣﹣
∴∠AED＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AD=AE2+DE2=2DE，
∵AD＝40米，
∴DE=202米，
∴CE＝CD﹣DE＝502−202=302米，
②当AD＝AE时，如图③﹣2，则∠D＝∠AED＝45°，
∴∠DAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：DE=AD2+AE2=402米，
∴CE＝CD﹣DE＝502−402=102米，
③当AD＝DE＝40米时，如图③﹣3，
则CE＝CD﹣DE＝（502−40）米，
综上所述，△ADE为等腰三角形时，CE的长为302米或102米或(502−40)米．
24．（12分）综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务．操作判断：
将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形，如图①．
（1）在上述操作中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是 ①③④ （填序号）．
①四条边都相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
迁移探究：
（2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC（∠BAC＝45°）和圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离．
解：（1）如图①，连接AD，
由题意得：AC＝CD＝AD，
∴三角形ACD为等边三角形．
∴∠CAD＝60°，
∵∠ACB＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠EAD＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，
∴四边形ACDE是菱形（四边都相等的四边形是菱形）；
也可以由③④推出菱形，
故答案为：①③④；
（2）四边形AOCD是菱形；理由如下：
如图②，连接BC、OD，
由题意可得：MN为OB的中垂线，
∴BC＝OC，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OD＝CD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO＝AD＝OD＝CO＝CD，
∴四边形AOCD为菱形；
（3）P点直线MN的距离为62+6−63或62+6−23．理由如下：
①如图③，当点P在线段BM上时，连接AP、过点P作PQ⊥MN于点Q，
∵∠PAB＝15°，∠BAC＝45°，
∴∠CAP＝60°，
∵AB＝12，
∴AC=BC=62，
∴PC=3AC=3×62=66，
在菱形ABMN中，MB＝AB＝12，MN∥AB，
∴MP=MB+BC−PC=12+62−66，∠M＝∠ABC＝45°，
∴PQ=22MP=62+6−63，
即P到MN的距离为62+6−63；
②当点P在线段BC上时，连接AP、过点P作PE⊥MN于点E，
∵∠PAB＝15°，∠BAC＝45°，
∴∠CAP＝30°，
∵AB＝12，
∴AC=BC=62，
∴PC=33AC=26，
在菱形ABMN中，MB＝AB＝12，MN∥AB，
∴MP=MB+BC−PC=12+62−26，∠M＝∠ABC＝45°，
∴PE=22MP=62+6−23，
即P到MN的距离为62+6−23，
综上所述，P点直线MN的距离为62+6−63或62+6−23．