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2022-2023学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1-10小题每题3分，11-16小题每题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
4．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．
B．
C．
D．S1+S2的大小与P点位置有关
6．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
7．如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
9．若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
11．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
12．如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
13．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为（ ）
A． B． C． D．
14．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
15．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18、19小题第一空2分，第二空1分）
17．若＝2﹣a，则a的取值范围是 ．
18．观察下列各式：
；
；
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想：＝ ；
（2）利用上述规律计算：＝ ．（直接写出答案）
19．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝ °；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算
（1）2﹣+2；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE＝4，求四边形ABCE的面积．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．
（1）试证明△ACF是等腰三角形；
（2）求CF的长．
24．（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．
求证：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
25．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设＝（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】．
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ （直接写出结果）．
26．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE＝BF，DE与AF交于点O．
（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG．
①依题意将图2补全；
②请你通过实验和观察，试猜想在点E运动的过程中线段DG，AD，AE的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1-10小题每题3分，11-16小题每题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质，逐项判断即可求解．
解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
【分析】注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
解：平行四边形的判定条件：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；即选项A；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即选项D；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；即选项B
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
4．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．
解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分，
∵正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．
5．如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．
B．
C．
D．S1+S2的大小与P点位置有关
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC•EF，，，
∵EF＝PE+PF，AD＝BC，
∴S1+S2＝，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．故选B．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
7．如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形．
解：如图所示：
故选C．
【点评】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形．
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【分析】先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
解：∵1＜＜2，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键．
9．若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
解：∵a＜b（a，b为非零实数），有意义，
∴﹣a3b＞0，
∴ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴＝﹣a．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．
10．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7，
所以h的取值范围是7≤h≤16．
故选：D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
11．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴CD＝CE+DE＝2+3＝5，
∴AB＝5．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝，先证四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形，得AB＝BC，然后由锐角三角函数定义求出AB＝2，即可解决问题．
解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则AE＝AF＝，∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF＝60°，S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵sin∠ABE＝＝sin60°＝，
∴AB＝＝＝2，
∴BC＝2，
∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2＝1．
△BCE的面积是：×1×1＝．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣＝．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝．
设AC边上的高线长是x．则•AC•x＝x＝，
解得：x＝．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割补法”求面积是解决本题的关键．
14．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．
解：依题意，AC＝24，BC＝7cm，
在Rt△ABC中，cm，
∵AB＝AD＝25，DE＝20，
在Rt△ADE中，cm，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
【分析】运用勾股定理将符合条件的三种情形列举出来，分别计算直角三角形的面积，比较大小即可．
解：当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，8，10时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是，
∵，
因为当选取2，4，8；2，4，10；4，6，8；6，8，10；四种情况时，都不能构成直角三角形，
∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是4，6，10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数的大小比较，以及三角形的面积，运用分类思想是解题的关键．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD＝AE＝AB，求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOE中，AO＞OE，即可得到AO＞DE；由三角形的中位线定理可得出OE∥AD，则可得出EO⊥BD，则可得出结论．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S▱ABCD＝AD•BD，
故①不符合题意；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，
故②符合题意；
∵Rt△AOE中，AO＞OE，
故③不符合题意；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴EO⊥DB，
∴OE垂直平分BD，
故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18、19小题第一空2分，第二空1分）
17．若＝2﹣a，则a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数．
解：∵＝2﹣a，
∴a﹣2≤0．
即a≤2．
【点评】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当a≥0时，＝a，当a≤0时，＝﹣a．
18．观察下列各式：
；
；
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想：＝ 1 ；
（2）利用上述规律计算：＝ 1 ．（直接写出答案）
【分析】（1）按照所给等式猜想可得答案；
（2）先将所求式子变形为：，符合规律，根据规律可得答案．
解：（1）猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1；
（2）
＝
＝1+﹣
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，找规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
19．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝ 15 °；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 ．
【分析】（1）由已知可得△ADE是等腰三角形，所以∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°；
（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，则PB+PC＝BC'，由（1）可得∠GAC＝45°，再由AG⊥CG，则∠DCA＝45°，可求CC'＝2，过C'作C'H⊥AC则△C'CH为等腰直角三角形，可知H与A重合，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，求得BC'＝即为所求．
解：（1）∵△DAC是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，∠EDC＝90°，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为15°；
（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，
∴PB+PC＝BC'，
∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，
∴∠GAC＝45°，
∵AG⊥CG，
∴∠DCA＝45°，
∵AC＝2，
∴GC＝，
∴CC'＝2，
过C'作C'H⊥AC，则△C'CH为等腰直角三角形，
∴C'H＝2，
∴H与A重合，
∴C'A⊥AC，
在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，
∴BC'＝，
∴PB+PC的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，作出C关于AE的对称点C'，证明C'A⊥AC是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算
（1）2﹣+2；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
解：（1）原式＝4﹣+
＝；
（2）原式＝2+2+3﹣（2﹣3）
＝2+2+3+1
＝6+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出区域的面积，即可求出答案．
解：连接AC，如图所示：
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，
由勾股定理得：AC＝＝5（m），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴铺满草坪的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝24（m2）．
答：这块空地铺满草坪的面积是24m2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE＝4，求四边形ABCE的面积．
【分析】（1）先证四边形DBCE是平行四边形，得CE＝BD，再证四边形ADCE平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得S菱形ADCE＝2S△ACD＝AC•DE＝4，则S△BCD＝S△ACD＝2，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE＝BD，
∵CD是边AB上的中线，
∴BD＝AD，
∴CE＝AD，
又∵CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝AD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵CD是边AB上的中线，
∴S△ACD＝S△BCD，
∵AC＝2DE＝4，
∴DE＝2，
∵四边形ADCE是菱形，
∴S菱形ADCE＝2S△ACD＝AC•DE＝×4×2＝4，
∴S△BCD＝S△ACD＝2，
∴S四边形ABCE＝S菱形ADCE+S△BCD＝4+2＝6．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解此题的关键．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．
（1）试证明△ACF是等腰三角形；
（2）求CF的长．
【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF＝CF，进而得出△ACF是等腰三角形；
（2）设CF＝x，则AF＝x，DF＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．
【解答】（1）证明：由折叠可得，∠BAC＝∠EAC，
由AB∥CD可得，∠BAC＝∠DCA，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AF＝CF，
∴△ACF是等腰三角形，
（2）解：设CF＝x，则AF＝x，DF＝4﹣x，
∵∠D＝90°，
∴Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴CF＝．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
24．（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了 C
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．
求证：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；
（2）利用△ABC≌△CDE，得出∠BAC＝∠DCE，进而得出∠DCE+∠ACB＝90°，即可得出答案；
（3）利用图形面积即可证出勾股定理．
解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；C；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE．
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
即∠ACE＝90°．
（3）∵S梯形ABDE＝S△ABC+S△ACE+S△CDE，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴（a+b）2＝2×ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
即a2+b2＝c2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合得出是解题关键．
25．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设＝（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】．
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ （直接写出结果）．
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，
故答案为：+．
【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质＝|a|和完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．
26．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE＝BF，DE与AF交于点O．
（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是 DE＝AF ，位置关系是 DE⊥AF ．
（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG．
①依题意将图2补全；
②请你通过实验和观察，试猜想在点E运动的过程中线段DG，AD，AE的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，因为AE＝BF，所以△DAE≌△ABF，得DE＝AF，∠ADE＝∠BAF，再推导出∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°，即可证明DE⊥AF；
（2）①过点F作FG∥AE，使FG＝AE，连接DG，即可将图形补全；
②连接EG，先证明四边形AEGF是平行四边形，则AF＝GE，AF∥EG，所以∠GEH＝∠FAB，再证明△AED≌△BFA，得∠DEA＝∠AFB，DE＝AF，所以DE＝GE，由∠GEH+∠DEA＝∠FAB+AFB＝90°，证得∠DEG＝90°，则DG2＝DE2+GE2＝2DE2，而DE2＝AD2+AE2，于是可求得线段DG，AD，AE的数量关系为DG2＝2AD2+2AE2．
【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE＝AF，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AF，
故答案为：DE＝AF，DE⊥AF．
（2）①补全图形如图2．
②DG2＝2AD2+2AE2，
证明：连接EG，
由平移得FG∥AE，FG＝AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF＝GE，AF∥EG，
∴∠GEH＝∠FAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵AE＝BF，
∴△AED≌△BFA（SAS），
∴∠DEA＝∠AFB，DE＝AF，
∴DE＝GE，
∵∠GEH+∠DEA＝∠FAB+AFB＝90°，
∴∠DEG＝90°，
∴DG2＝DE2+GE2＝2DE2，
∵DE2＝AD2+AE2，
∴DG2＝2AD2+2AE2．
【点评】此题考查正方形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线并证明△AED≌△BFA是解题的关键．
2022-2023学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1-10小题每题3分，11-16小题每题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
4．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．
B．
C．
D．S1+S2的大小与P点位置有关
6．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
7．如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
9．若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
11．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
12．如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
13．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为（ ）
A． B． C． D．
14．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
15．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18、19小题第一空2分，第二空1分）
17．若＝2﹣a，则a的取值范围是 ．
18．观察下列各式：
；
；
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想：＝ ；
（2）利用上述规律计算：＝ ．（直接写出答案）
19．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝ °；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算
（1）2﹣+2；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE＝4，求四边形ABCE的面积．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．
（1）试证明△ACF是等腰三角形；
（2）求CF的长．
24．（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．
求证：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
25．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设＝（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】．
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ （直接写出结果）．
26．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE＝BF，DE与AF交于点O．
（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG．
①依题意将图2补全；
②请你通过实验和观察，试猜想在点E运动的过程中线段DG，AD，AE的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1-10小题每题3分，11-16小题每题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质，逐项判断即可求解．
解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
【分析】注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
解：平行四边形的判定条件：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；即选项A；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即选项D；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；即选项B
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
4．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．
解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分，
∵正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．
5．如图，P是面积为S的平行四边形ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．
B．
C．
D．S1+S2的大小与P点位置有关
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC•EF，，，
∵EF＝PE+PF，AD＝BC，
∴S1+S2＝，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．故选B．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
7．如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形．
解：如图所示：
故选C．
【点评】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形．
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【分析】先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
解：∵1＜＜2，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键．
9．若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
解：∵a＜b（a，b为非零实数），有意义，
∴﹣a3b＞0，
∴ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴＝﹣a．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．
10．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7，
所以h的取值范围是7≤h≤16．
故选：D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
11．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴CD＝CE+DE＝2+3＝5，
∴AB＝5．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝，先证四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形，得AB＝BC，然后由锐角三角函数定义求出AB＝2，即可解决问题．
解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则AE＝AF＝，∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF＝60°，S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵sin∠ABE＝＝sin60°＝，
∴AB＝＝＝2，
∴BC＝2，
∴S菱形ABCD＝BC•AE＝2×＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
解：四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2＝1．
△BCE的面积是：×1×1＝．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣＝．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝．
设AC边上的高线长是x．则•AC•x＝x＝，
解得：x＝．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割补法”求面积是解决本题的关键．
14．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．
解：依题意，AC＝24，BC＝7cm，
在Rt△ABC中，cm，
∵AB＝AD＝25，DE＝20，
在Rt△ADE中，cm，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
15．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
【分析】运用勾股定理将符合条件的三种情形列举出来，分别计算直角三角形的面积，比较大小即可．
解：当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，8，10时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是，
∵，
因为当选取2，4，8；2，4，10；4，6，8；6，8，10；四种情况时，都不能构成直角三角形，
∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是4，6，10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数的大小比较，以及三角形的面积，运用分类思想是解题的关键．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD＝AE＝AB，求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOE中，AO＞OE，即可得到AO＞DE；由三角形的中位线定理可得出OE∥AD，则可得出EO⊥BD，则可得出结论．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S▱ABCD＝AD•BD，
故①不符合题意；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，
故②符合题意；
∵Rt△AOE中，AO＞OE，
故③不符合题意；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴EO⊥DB，
∴OE垂直平分BD，
故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18、19小题第一空2分，第二空1分）
17．若＝2﹣a，则a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数．
解：∵＝2﹣a，
∴a﹣2≤0．
即a≤2．
【点评】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当a≥0时，＝a，当a≤0时，＝﹣a．
18．观察下列各式：
；
；
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想：＝ 1 ；
（2）利用上述规律计算：＝ 1 ．（直接写出答案）
【分析】（1）按照所给等式猜想可得答案；
（2）先将所求式子变形为：，符合规律，根据规律可得答案．
解：（1）猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1；
（2）
＝
＝1+﹣
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，找规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
19．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝ 15 °；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为 ．
【分析】（1）由已知可得△ADE是等腰三角形，所以∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°；
（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，则PB+PC＝BC'，由（1）可得∠GAC＝45°，再由AG⊥CG，则∠DCA＝45°，可求CC'＝2，过C'作C'H⊥AC则△C'CH为等腰直角三角形，可知H与A重合，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，求得BC'＝即为所求．
解：（1）∵△DAC是等边三角形，
∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝DE，∠EDC＝90°，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为15°；
（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，
∴PB+PC＝BC'，
∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，
∴∠GAC＝45°，
∵AG⊥CG，
∴∠DCA＝45°，
∵AC＝2，
∴GC＝，
∴CC'＝2，
过C'作C'H⊥AC，则△C'CH为等腰直角三角形，
∴C'H＝2，
∴H与A重合，
∴C'A⊥AC，
在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，
∴BC'＝，
∴PB+PC的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，作出C关于AE的对称点C'，证明C'A⊥AC是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算
（1）2﹣+2；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
解：（1）原式＝4﹣+
＝；
（2）原式＝2+2+3﹣（2﹣3）
＝2+2+3+1
＝6+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出区域的面积，即可求出答案．
解：连接AC，如图所示：
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，
由勾股定理得：AC＝＝5（m），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴铺满草坪的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝24（m2）．
答：这块空地铺满草坪的面积是24m2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE＝4，求四边形ABCE的面积．
【分析】（1）先证四边形DBCE是平行四边形，得CE＝BD，再证四边形ADCE平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得S菱形ADCE＝2S△ACD＝AC•DE＝4，则S△BCD＝S△ACD＝2，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE＝BD，
∵CD是边AB上的中线，
∴BD＝AD，
∴CE＝AD，
又∵CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝AD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵CD是边AB上的中线，
∴S△ACD＝S△BCD，
∵AC＝2DE＝4，
∴DE＝2，
∵四边形ADCE是菱形，
∴S菱形ADCE＝2S△ACD＝AC•DE＝×4×2＝4，
∴S△BCD＝S△ACD＝2，
∴S四边形ABCE＝S菱形ADCE+S△BCD＝4+2＝6．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解此题的关键．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．
（1）试证明△ACF是等腰三角形；
（2）求CF的长．
【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF＝CF，进而得出△ACF是等腰三角形；
（2）设CF＝x，则AF＝x，DF＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．
【解答】（1）证明：由折叠可得，∠BAC＝∠EAC，
由AB∥CD可得，∠BAC＝∠DCA，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AF＝CF，
∴△ACF是等腰三角形，
（2）解：设CF＝x，则AF＝x，DF＝4﹣x，
∵∠D＝90°，
∴Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴CF＝．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
24．（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了 C
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．
求证：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；
（2）利用△ABC≌△CDE，得出∠BAC＝∠DCE，进而得出∠DCE+∠ACB＝90°，即可得出答案；
（3）利用图形面积即可证出勾股定理．
解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；C；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE．
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
即∠ACE＝90°．
（3）∵S梯形ABDE＝S△ABC+S△ACE+S△CDE，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴（a+b）2＝2×ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
即a2+b2＝c2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合得出是解题关键．
25．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设＝（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】．
（1）若，当a、b、m、n均为整数时，则a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ （直接写出结果）．
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2；2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，
故答案为：+．
【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质＝|a|和完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．
26．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE＝BF，DE与AF交于点O．
（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是 DE＝AF ，位置关系是 DE⊥AF ．
（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG．
①依题意将图2补全；
②请你通过实验和观察，试猜想在点E运动的过程中线段DG，AD，AE的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，因为AE＝BF，所以△DAE≌△ABF，得DE＝AF，∠ADE＝∠BAF，再推导出∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°，即可证明DE⊥AF；
（2）①过点F作FG∥AE，使FG＝AE，连接DG，即可将图形补全；
②连接EG，先证明四边形AEGF是平行四边形，则AF＝GE，AF∥EG，所以∠GEH＝∠FAB，再证明△AED≌△BFA，得∠DEA＝∠AFB，DE＝AF，所以DE＝GE，由∠GEH+∠DEA＝∠FAB+AFB＝90°，证得∠DEG＝90°，则DG2＝DE2+GE2＝2DE2，而DE2＝AD2+AE2，于是可求得线段DG，AD，AE的数量关系为DG2＝2AD2+2AE2．
【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE＝AF，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AF，
故答案为：DE＝AF，DE⊥AF．
（2）①补全图形如图2．
②DG2＝2AD2+2AE2，
证明：连接EG，
由平移得FG∥AE，FG＝AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF＝GE，AF∥EG，
∴∠GEH＝∠FAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵AE＝BF，
∴△AED≌△BFA（SAS），
∴∠DEA＝∠AFB，DE＝AF，
∴DE＝GE，
∵∠GEH+∠DEA＝∠FAB+AFB＝90°，
∴∠DEG＝90°，
∴DG2＝DE2+GE2＝2DE2，
∵DE2＝AD2+AE2，
∴DG2＝2AD2+2AE2．
【点评】此题考查正方形的性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线并证明△AED≌△BFA是解题的关键．
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