湖南省长沙市实验中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市实验中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}
2．（5分）cs（﹣150°）＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
3．（5分）下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是（ ）
A．y＝tan2xB．
C．y＝|sinx|D．
4．（5分）设x+3y＝2，则函数z＝3x+27y的最小值是（ ）
A．12B．27C．6D．30
5．（5分）已知函数．则能够使得y＝2sinx变成函数f（x）的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
6．（5分）sigmid函数是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmid函数模型，当f（t*）＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为（ ）（ln9≈2.2）
A．90B．83C．74D．63
7．（5分）函数f（x）＝xsinx的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）若a＝lg54，b＝lg43，c＝，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.）
（多选）9．（5分）下面命题正确的是（ ）
A．“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件
B．命题“任意x∈R，则x2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R，则x2+x+1≥0”
C．“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
（多选）10．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，下列叙述正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在区间（，π）单调递增
C．f（x）的最大值为2
D．f（x）在[﹣π，π]有4个零点
（多选）11．（5分）已知函数，方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数f（x）的零点的个数为2
B．实数m的取值范围为（﹣∞，]
C．函数f（x）无最值
D．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
12．（5分）已知幂函数y＝mxn（m，n∈R）的图象经过点（2，8），则m﹣n＝ ．
13．（5分）若，则tan2α＝ ．
14．（5分）古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图，O为线段AB中点，C为AB上异于O的一点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．设AC＝a，CB＝b，则图中线段OD＝＝x，线段CD＝＝y，线段 ＝＝z；由该图形可以得出x，y，z的大小关系为 ．
四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象的一部分如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程．
16．设全集U＝R，设函数y＝lg（ax2﹣1）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（1）当a＝1时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
17．已知角α满足．
（1）求tanα的值；
（2）若角α是第三象限角，，求f（α）的值．
18．目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
19．在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面．晓颖准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行．平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米．直线EF分别交直线AC，BC于M，N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题：
（1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长AB表示为θ的函数f（θ）；
（2）证明：当0＜θ＜时，1＜sinθ+csθ≤；
（3）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？
2024-2025学年湖南省长沙实验中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}
解：集合A＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，
则A∩B＝{1，3}，
故选：D．
2．（5分）cs（﹣150°）＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
解：cs（﹣150°）＝cs150°＝cs（180°﹣30°）＝﹣cs30°＝﹣．
故选：C．
3．（5分）下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是（ ）
A．y＝tan2xB．
C．y＝|sinx|D．
解：由于y＝tan2x为奇函数，周期为，故排除A；
由于＝cs2x，是偶函数，故排除B；
由于y＝|sinx|是偶函数，所以排除C；
由于＝﹣sin2x是奇函数，周期为π，故D正确，
故选：D．
4．（5分）设x+3y＝2，则函数z＝3x+27y的最小值是（ ）
A．12B．27C．6D．30
解：∵x+3y＝2，
∴函数z＝3x+27y＝≥2＝＝6，
当且仅当x＝3y＝1时取等号．
∴函数z＝3x+27y的最小值是6．
故选：C．
5．（5分）已知函数．则能够使得y＝2sinx变成函数f（x）的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
解：根据题意，函数＝2sin2（x+），则能够使得y＝2sinx变成函数f（x）的变换，
可以先向左平移，再横坐标变为原来的倍，
也可以横坐标变为原来的倍，再向左平移，
故选：C．
6．（5分）sigmid函数是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmid函数模型，当f（t*）＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为（ ）（ln9≈2.2）
A．90B．83C．74D．63
解：由，得，
故，即﹣0.2（t*﹣63）＝﹣ln9≈﹣2.2，所以t*＝74，
故选：C．
7．（5分）函数f（x）＝xsinx的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
解：根据题意，函数f（x）＝xsinx，其定义域为R，
有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）为偶函数，排除A，
又由f（0）＝0，排除B，
在区间（0，）上，sinx＞0，有f（x）＞0，排除C，
故选：D．
8．（5分）若a＝lg54，b＝lg43，c＝，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a
解：＝＜lg5＝a＝lg54＜lg55＝1，
＝＜＝b＝lg43＜lg44＝1，c＝，
lgn（n+1）＝1+lgn＞1+lgn+1＞1+lgn+1＝lg（n+1）（n+2），（n∈N*，n≥2），
故lgn（n+1）＞lg（n+1）（n+2），（n∈N*，n≥2），
∴lgn+1n＜lg（n+2）（n+1），（n∈N*，n≥2），
∴a＝lg54＞b＝lg43，
∴a＞b＞c．
故选：C．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.）
（多选）9．（5分）下面命题正确的是（ ）
A．“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件
B．命题“任意x∈R，则x2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R，则x2+x+1≥0”
C．“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解：A：解不等式＜1可得：a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条
件，故A不正确，
B：因为命题“任意x∈R，则x2+x+1＜0”为全称命题，所以其否定为特称命题，
即为“存在x∈R，则x2+x+1≥0”，故B正确，
C：2x≥32⇔x≥5，所以“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要条件，故C错误，
D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，故充分性不成立，
当ab≠0，则a≠0且b≠0，必要性成立，则D正确，
故选：BD．
（多选）10．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，下列叙述正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在区间（，π）单调递增
C．f（x）的最大值为2
D．f（x）在[﹣π，π]有4个零点
解：∵f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），且f（x）的定义域为R，
∴f（x）是偶函数，故A选项正确，
当x∈（）时，f（x）＝sinx+sinx＝2sinx，f（x）在区间 上单调递减，故B选项错误，
∵函数f（x）是偶函数，
∴考虑x≥0的情况，即可求解，
当x≥0时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+|sinx|＝ k∈Z，
∴f（x）的最大值为2，故C选项正确．
∵函数f（x）是偶函数，
∴只需考虑[0，π]上的零点个数，
当x∈[0，π]时，
f（x）＝sinx+sinx＝2sinx，故在[0，π]上有2个零点，分别为x＝0，x＝π，
∴f（x）在[﹣π，π]有三个零点，分别为x＝0，x＝π，x＝﹣π，故D选项错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知函数，方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数f（x）的零点的个数为2
B．实数m的取值范围为（﹣∞，]
C．函数f（x）无最值
D．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
解：函数，作出f（x）的图象如图所示，
由图象可知，f（x）＝0有x＝﹣2和x＝1两个零点，故选项A正确；
方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4个不同的实数根，
令f（x）＝a，f（x）＝b，a≠b，
则或或，
因为方程x2﹣mx﹣1＝0必有一正一负两个根，所以，
且ab＝﹣1，所以a＝﹣≤﹣，
所以f（x）≤﹣或0＜f（x）≤2，
则，
令t＝f（x），则m＝t﹣，t∈（﹣∞，﹣]∪（0，2]，
因为函数m＝t﹣在（﹣∞，﹣]和（0，2]上单调递增，
当t＝﹣时，m＝，当t＝2时，m＝，
所以m≤，故选项B正确；
f（x）无最值，故选项C正确；
f（x）在（0，+∞）上不单调，故选项D错误．
故选：ABC．
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
12．（5分）已知幂函数y＝mxn（m，n∈R）的图象经过点（2，8），则m﹣n＝ ﹣2 ．
解：由函数y＝mxn（m，n∈R）为幂函数，
则m＝1，故y＝xn，
由函数图象经过点（2，8），
所以2n＝8，即n＝3，
故m﹣n＝1﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（5分）若，则tan2α＝ ．
解：∵，
∴2（sinα+csα）＝sinα﹣csα
∴sinα＝﹣3csα
∴tanα＝﹣3
∴tan2α＝＝＝
故答案为：
14．（5分）古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图，O为线段AB中点，C为AB上异于O的一点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．设AC＝a，CB＝b，则图中线段OD＝＝x，线段CD＝＝y，线段 ED ＝＝z；由该图形可以得出x，y，z的大小关系为 z≤y≤x ．
解：由题意得：OD＝，CD＝，
由于CD⊥OC，CE⊥OD，
∴△OCD∽△OEC，则，故＝，
解得ED＝，
利用直角三角形的边的关系，得OD＞CD＞DE．
当O和C重合时，OD＝CD＝DE，
∴≤≤，即z≤y≤x．
故答案为：ED；z≤y≤x．
四、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象的一部分如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程．
解：（1）由题图知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，
∴ω＝．
又图象经过点（1，2），
∴2sin（+φ）＝2．
∵|φ|＜，
∴φ＝，
∴f（x）＝2sin（x+）．
（2）令x+＝kπ+，k∈Z．
∴x＝4k+1（k∈Z）．
故f（x）图象的对称轴x＝4k+1（k∈Z）．
16.设全集U＝R，设函数y＝lg（ax2﹣1）的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（1）当a＝1时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，由对数函数的定义域可得x2﹣1＞0，
解得x＞1或x＜﹣1，
故．
（2）由对勾函数的值域可得B＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），
又因为，
所以，即当x∈（﹣2，2）时，ax2﹣1≤0恒成立，
①当x＝0时，﹣1≤0恒成立，符合题意，
②当x≠0时，ax2﹣1≤0即，
因为，所以；
综上所述，实数a的取值范围为．
17.已知角α满足．
（1）求tanα的值；
（2）若角α是第三象限角，，求
f（α）的值．
解：（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去sinα得，解得或，
当角α是第一象限角时，，
因为角α是第三象限角，．
（2）由题意可得，
因为角α是第三象限角，
所以，所以．
18.目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．
（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
解：（Ⅰ）依题意，当0≤t≤0.2时，可设y＝kt，
因为y＝kt，过点（0.2，1），所以1＝0.2k，解得k＝5，
又由，解得a＝0.2，
所以；
（Ⅱ）令，即，
则5t﹣1≥3，解得t≥0.8，
即至少需要经过0.8小时后，学生才能回到教室．
19.在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面．晓颖准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行．平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米．直线EF分别交直线AC，BC于M，N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题：
（1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长AB表示为θ的函数f（θ）；
（2）证明：当0＜θ＜时，1＜sinθ+csθ≤；
（3）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？
解：（1）由图可知，|MF|＝，|NE|＝tanθ，|MD|＝，|ND|＝，
|AB|＝|EF|＝|MD|+|ND|﹣|MF|﹣|NE|＝
＝＝，θ∈（0，）；
即f（θ）＝，θ∈（0，）；
证明：（2）∵0＜θ＜，∴sinθ＞0，csθ＞0，
∴sinθ+csθ＝＝＞1，
又（sinθ﹣csθ）2≥0，即sin2θ≤sin2θ+cs2θ≤1，
∴sinθ+csθ＝＝．
∴1＜sinθ+csθ≤；
解：（3）平板车要想顺利通过直角走廊，则平板车长度≤f（θ）min，
由f（θ）＝，θ∈（0，），令sinθ+csθ＝t，则t∈（1，]．
sinθcsθ＝，
∴原函数化为g（t）＝（1＜t≤），
即4t﹣2＝m，2＜m＝4t﹣2≤，则t＝，
函数化为h（m）＝，
在（2，]上单调递减，则当m＝﹣2时，h（m）取得最小值为．