2023高三讲义--圆锥曲线解析几何（弦长面积问题）专题 - 二轮复习

这是一份2023高三讲义--圆锥曲线解析几何（弦长面积问题）专题 - 二轮复习，共23页。学案主要包含了教学目标，知识框架，知识要点，典型例题，小试牛刀，巩固练习——基础篇，巩固练习——提高篇等内容，欢迎下载使用。

【课前测】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知椭圆： 的长轴长为，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.
【教学目标】
掌握利用直线和圆锥曲线联立的方法求出韦达定理;
理解弦长公式,并深刻理解中点弦问题的垂直角度问题转化的实质;
能够熟练对这两种方法进行计算.
【知识框架】
【知识要点】
考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数,并以椭圆、抛物线为载体较多;通过借助解析几何的元素来考察函数方程、数形结合的思想、等价转化思想;考察分析处理问题的能力、计算能力,考察锲而不舍的精神.
一:曲线的交点与方程组
曲线的交点即为两曲线的公共点,此点的坐标既要满足的方程,又要满足的方程（因为它既在的图像上,又在的图像上）,所以可以通过解方程组来求解此点的坐标.
二:韦达定理
对于二次方程有如下的定理,称之为“韦达定理”（Viete therem）,是韦达（Viete）发现的.
二次方程的两个根和系数由如下关系:;.这就是韦达定理.
韦达定理往往使问题能计算量大大减少.
解直线与圆锥曲线相交问题的经典套路:设线、设点, 联立、消元, 韦达、代入、化简.
第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为;设直线与圆锥曲线的两个交点为,
第二步:联立方程组,消去y 得关于x的一元二次方程;
第三步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件,
第四步:把所要解决的问题转化为; ,然后代入、化简.
三:弦中点问题的特殊解法-----点差法:
当已知曲线方程,直线l与曲线相交于A,B两点,且弦AB中点坐标（x0,y0）已知,可以利用点差法求直线方程.
设直线l与椭圆相交于两点A（x1,y2）,B（x2,y2）,带入曲线方程,做差以后可以得到形如y12-y22x12-x22=p（其中p为常数）.即y1-y2x1-x2•y1+y2x1+x1=-b2a2 …..①
由两点斜率公式可知:k=y1-y2x1-x2 ;……②
由中点坐标公式可知:&2x0=x1+x2&2y0=y1+y2 ……③
将②③带入①可得:k=-b2a2x0y0 ,由点斜式可得直线方程:
y-y0=-b2a2x0y0（x-x0） .
四:圆锥曲线中的弦长求法:
（1）设直线方程为:y=kx+b型.
①考虑斜率不存在时,例如x=a直接带入曲线方程解得相应坐标,利用两点之间坐标公式求解即可;
当斜率存在时,设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立直线与曲线方程,可以得到关于x 的一元二次方程.
则|AB|＝|x1－x2|＝·=1+k2Δa
（2）设直线为:x=my+n 型.
①考虑直线平行于x轴时,此时m不存在.例如y=c直接带入曲线方程,解出相应的坐标,利用两点之间坐标公式求解即可;
②当m存在时,设出直线l的方程,与圆锥曲线C 相较于A,B 两点,A（x1,y2）,B（x2,y2）,联立直线与曲线方程,可以得到关于y 的一元二次方程.
则|AB|＝1+m2y1-y2=1+m2（y1+y2）2-4y1y2=1+m2Δa
【典型例题】
【例1】已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
练1：已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，，为坐标原点.
（Ⅰ）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；
练2：已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为为．点在椭圆上，且的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值
例2: 已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点 的对称点分别为 ,求四边形 的面积的最大值.
练1:已知点其中是曲线上的两点， 两点在轴上的射影分别为点,且.
（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的斜率；
（Ⅱ）记的面积为，梯形的面积为，求证：.
练2:已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
( = 1 \* ROMAN I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.
【小试牛刀】
1．已知椭圆:的离心率为,且过点.直线
交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
2.已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.
3．已知直线与抛物线相切于点．
（Ⅰ）求直线的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设在抛物线上，为的中点．过作轴的垂线，分别交抛物线和直线于，．记△的面积为，△的面积为，证明：．
4.已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
5.已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点．
（I）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（II）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值.
6.已知抛物线
（Ⅰ）写出抛物线的准线方程,并求抛物线的焦点到准线的距离;
（Ⅱ）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点且点关于轴的对称点为,直线与轴交于点.
（i）求点的坐标;
(ii)求与面积之和的最小值.
【巩固练习——基础篇】
1. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点为 F1，F2，A 点在椭圆上，离心率是 22，AF2 与 x 轴垂直，且 ∣AF2∣=2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点 A 在第一象限，过点 A 做直线 l，与椭圆交于另一点 B，求 △AOB 面积的最大值．
2.已知椭圆的离心率为,,的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设是椭圆上一点,且不与顶点重合,若直线与直线交于点,直线与直线交于点.求证:△BPQ为等腰三角形.
3.已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于 两点,直线分别交 轴于点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：SΔBOM.SΔBCN。
【巩固练习——提高篇】
1. 已知椭圆的左焦点为，且经过点，分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程
2.已知椭圆C:0)的两个焦点是在椭圆C上,且O为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)求证:|OD+OE|为定值.
3.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率