山西省阳泉市平定县2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山西省阳泉市平定县2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．B．2C．D．1
2．餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
3．我国是世界上最大的茶叶种植国，茶园面积最大、增速最快，同时也是世界上茶叶消费量最大的国家．2024年我国茶叶产量为374万吨，比上年增产5.5%，强势卫冕世界第一、则数据374万吨可用科学记数法表示为（ ）
A．吨B．吨C．吨D．吨
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了解该图案的面积是多少，小丽采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
7．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是B．平均数是C．方差是D．中位数是
8．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，，点，，是边上的点，以点为圆心，长为直径的半圆与相切于点，与相切于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题
11．分解因式：
12．如图，已知是的内接三角形，若，则 度．
13．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度= ．（结果保留根号）
14．如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为 ．
15．如图，在中，，，D，E分别为线段，上的动点，且，连接，交于点F，若点F为的中点，则线段的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）化简：．
17．如图，已知矩形及对角线．
(1)过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整．
证明：四边形是矩形，
___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）．
（③___________）．（填写推理的依据）
，
．
．
（④___________）．（填写推理的依据）
18．正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_____，圆心角的度数为_____度；
(2)补全条形统计图；
(3)已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
(4)若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率．
19．炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元．
(1)该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？
(2)为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？
20．如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图④是小桌板展开后的侧面示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度，求点到的距离.（结果精确到，参考数据：）
21．阅读与理解
阅读下列材料，并完成相应任务．
任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________：
任务二：请完成猜想2的证明；
任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长．
22．综合与实践
项目主题：爱心发卡 温暖传递
项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习．
驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案．
收集信息：
（1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只，
（2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下：
款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元；
款：每只获利元．
解决问题：
(1)设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______；
(2)设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式；
(3)通过计算说明使日销售利润最大的加工方案．
23．综合与探究
【问题情境】
在中，，数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转到，连接，过点作于点．
【特例分析】
（1）如图1，若点与点A重合，判断线段和的数量关系，并说明理由；
【探究发现】
（2）如图2，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段．
《2025年山西省阳泉市平定县中考一模数学试卷》参考答案
1．A
解：，
故选：A．
2．D
解：最上方的圆形桌面在俯视图中体现为一个大圆，因从上往下看时可见，所以用实线表示；
下方的圆形面及四个圆柱形桌腿在俯视图中体现为一个较大的圆和四个小圆，因从上往下看时不可见，所以用虚线表示；
观察四个选项可知，只有D选项符合题意．
故选D．
3．C
解：数据374万吨可用科学记数法表示为吨；
故选C
4．B
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．B
解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得：，
所以估计不规则图案的面积大约为．
故选：B．
6．D
解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
7．D
将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15，
A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意；
B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意；
C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意，
故选：D．
8．C
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
根据折叠可知，，
∴，
，
∴，故C正确．
故选：C．
9．B
解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，
，
，，
，
的两个锐角对应的外角角平分线相交于点，
，，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
把代入，
得．
故选：B．
10．D
解：连接，设半圆的半径为r，
∵是半圆的切线，切点为N，M，
∴，，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
∴
．
故选：D．
11．
解：
故答案为：．
12．38
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
13．
∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，
故答案为：．
14．
解：∵将沿方向平移，得到，
∴，，
∵为的中点，，
∴，
∴是的中点，即，
∴，
即是的中点，，
如图，连接，∵，，
则中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：如下图所示，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，点N为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴，，
∵，，
∴
∵，
∴，
化解方程得，
∴，或，
∵，故舍去，
∴，
故答案为：．
16．（1）39；（2）
解：（1）解：
．
（2）解：
．
17．(1)图见详解
(2)过程见详解
（1）解：所作图形如图所示：
（2）证明：四边形是矩形，
，（矩形的对边平行，每个角都是直角）．
（两直线平行，内错角相等）．
，
．
．
（有两组角对应相等的两个三角形相似）．
18．(1)50；144
(2)图见详解
(3)800名
(4)
（1）解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
（2）解：成绩达到优秀等级的人数为，
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
（4）解：由题意可列表如下：
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
19．(1)购进A款小电扇65台，款小电扇35台．
(2)80
（1）解：设购进A款小电扇台，则款小电扇台，
解得：
答：购进A款小电扇65台，款小电扇35台．
（2）解：设购进款小电扇台，则购进款小电扇台．
购进款小电扇至少80台．
20．点到的距离约为.
解：如解图，延长交于点，由题可知，
设，则，
在中，
，
，
在中，
，
，
解得，
，
答：点到的距离约为.
21．[任务一]函数思想；[任务二] 证明见解析；[任务三]
】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想；
故答案为：函数思想；
[任务二]设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点，
当时，，
∵点为上的点，
∴，
∴，
∴点在函数上，
∴平移后的表达式为：；
[任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，
解得：，
∴点，
∵平移后的函数与直线交于点，
∴，
解得：，
∴点，
∴．
22．(1)
(2)
(3)每日加工款只，款只可使日销售利润最大
（1）解：设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为，
故答案为：；
（2）解：，
，
；
（3）解：方法一：，
当时，有最大值，
当时，，
每日加工款只，款只可使日销售利润最大；
方法二：，
，
当时，有最大值，
当时，，
每日加工款只，款只可使日销售利润最大．
23．（1），理由见详解；（2），理由见详解；（3）
解：（1），理由如下：
∵，点与点A重合，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点A作，垂足为E，如图所示：
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：（负根舍去），
∴．函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征．
一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为．
猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：．
证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上．
结论1：猜想正确．
二次函数图象的平移：
猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为：
证明2：．．．
反比例函数图象的平移：
．．．
A
B
C
D
A
/
√
√
√
B
√
/
√
√
C
√
√
/
√
D
√
√
√
/