第01讲 集合的概念—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

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模块二：考点讲解举一反三
考点1：集合的概念
考点2：元素与集合的关系
考点3：集合的表示方法
考点4：元素的个数
考点5：已知元素的特征求参数
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】集合的含义
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
3．对集合概念的理解：
（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．
（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．
【知识点2】元素与集合
1．元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A．
【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
2．集合中元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【知识点3】集合的表示方法与分类
1．常用数集及表示符号
2．集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合．N+
（2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．
模块二 考点讲解举一反三
考点1：集合的概念
【例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．学校篮球水平较高的学生B．校园中长的高大的树木
C．2007年所有的欧盟国家D．中国经济较发达的地区
【变式1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（ ）.
A．最大的正实数B．最小的整数
C．平方等于1的实数D．最接近1的实数
【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（ ）
A．南充高中高2024级个子较高的学生B．高中数学人教A版必修第一册中的难题
C．关于的方程的所有实根D．无限接近于的所有实数
【变式3】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ）
A．②③B．①③C．②④D．①②④

考点2：元素与集合的关系
【例2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25高一上·福建宁德·期中）用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， .
【变式3】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．2C．3D．5

考点3：集合的表示方法
【例3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： .
【例4】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）集合，用描述法可表示为 ．
【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ．
【变式3】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ．

考点4：元素的个数
【例5】（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（ ）
A．2B．3C．5D．7
【变式1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（ ）个元素
A．15B．16C．17D．18
【变式3】（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 .

考点5：已知元素的特征求参数
【例6】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【例7】已知集合，则实数a的值为 ．
【变式1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．
【变式2】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【变式3】（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素．
（1）证明：；
（2）若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值．
模块三 知识检测
考点1：集合的概念
1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
2．（多选）下列集合是有限集的是（ ）
A．不超过π的正整数构成的集合
B．平方后等于自身的数构成的集合
C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合
D．所有小于2的整数构成的集合
考点2：元素与集合的关系
3．（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N.
5．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习） ； ; .
考点3：集合的表示方法
6．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ．
9．（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ．
考点4：元素的个数
10．设集合，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知集合，，则集合等于（ ）
A． B．
C．D．
12．若集合，，则中所含元素的个数为（ ）
A．B．6C．D．10
考点5：已知元素的特征求参数
13．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（ ）
A．－3或－1B．-3C．1D．3
14．（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．D．
15．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 .
1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ）
①，②， ③，④ ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（ ）
A．B．
C．D．
8．集合的另一种表示法是（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．集合中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（24-25高一上·甘肃武威·期中）（多选）一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）.
A．B．C．D．
14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 .
15．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合.
(1)若，求的值；
(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.
16．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，；
(1)求实数应该满足哪些条件？
(2)若，求的取值．
18．（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值．
19．已知含有两个元素的集合，其中．
(1)实数m不能取哪些数？
(2)若，求实数m的值．
20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合．
21．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义．
(1)若，求；
(2)若，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
或