【八下BS数学】安徽省宿城第一初级中学2024-2025学年下学期八年级期末测试数学试卷

这是一份【八下BS数学】安徽省宿城第一初级中学2024-2025学年下学期八年级期末测试数学试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是符合题目要求的。
1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．下列各式中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于非零实数a，b，规定，若，则x的值为 （ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．

8．若分式方程＝无解，则m的值为（ ）
A．0B．6C．0或－6D． 0或6
9．如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ）
A．增大B．减少C．增大D．减少
10．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）

A．8B．C．D．6
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．若分式有意义，则x应满足的条件是 ．
12．分解因式： ．
13．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ．
14．如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ．
三、解答题（共90分）
15．解方程：
16．解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
17．先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值．
18．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
19．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)平移，使点移动到点位置，画出平移后的；
(2)画出关于点对称的；
(3)若有一格点，使得，则网格中满足条件的点共有 个．
20．如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
21．如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求的长．
22．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克，
①求m的取值范围．
②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．

(1)求的长；
(2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当 时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由．
安徽省宿城第一初级中学2024-2025学年下学期八年级期末测试
数学试卷
时间：120分钟 满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是符合题目要求的。
1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】由题意根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形也是轴对称图形，错误，
B、该图形是中心对称图形不是轴对称图形，正确；
C、该图形既不是中心对称图形是轴对称图形，错误；
D、该图形既不是中心对称图形是轴对称图形，错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形与轴对称的定义，熟练掌握并根据定义进行判断是解决问题的关键．
2．下列各式中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据分式的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、满足分式的定义，是分式，故符合题意；
B、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意；
C、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意；
D、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意；
故选：A．
3．对于非零实数a，b，规定，若，则x的值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，定义新运算，
根据新定义可得，再解分式方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
故选：A．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
【详解】A、∵AB∥CD，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°，而，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数和的图象相交于点，求出点的坐标，再根据当时， 的图象在的图象的下方，得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵函数和的图象相交于点，
∴，
解得：，
∴点，
∵当时， 的图象在的图象的下方，
∴不等式的解集为：，
故选：A．
6．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断能否用公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
D、，符合完全平方公式，故此选项正确；
故选：D．
7．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．

【答案】B.
【知识点】角平分线性质的实际应用、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】根据题意可证△ADE≌△ACD，可得AE=AC=6，CD=DE，根据勾股定理可得DE，CD的长，再根据勾股定理可得FC的长，即可求△FCD的面积．
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，∠C=90°
∴CD=DE
∵CD=DE，AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△ADE
∴AE=AC
∵在Rt△ABC中，AC=＝6
∴AE=6
∴BE=AB-AE=4
∵在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2．
∴DE2+16=（8-DE）2
∴DE=3 即BD=5，CD=3
∵BD=DF
∴DF=5
在Rt△DCF中，FC==4
∴△FCD的面积为=×FC×CD=6
故答案为B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题．
8．若分式方程＝无解，则m的值为（ ）
A．0B．6C．0或－6D． 0或6
【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．
【详解】解＝，
mx=6x+18
（m-6）x-18=0
①m-6=0时，解得m=6，此时方程无解，
②当m-6≠0时，有题意可知，x==-3，解得m=0，
故m的值为0或6
故选D．
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是先把分式方程化为整式方程．
9．如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ）
A．增大B．减少C．增大D．减少
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形的内角问题、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了多边形内角和外角，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握多边形内角和定理是解题的关键．
连接，得到四边形是平行四边形，是等边三角形，则，，由正多边形的内角和定理得到正五边形中，由此即可求解．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵正五边形每个内角都相等，
∴，
∴，
∴的度数增大了，
故选：C．
10．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）

A．8B．C．D．6
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴当时，取得最大值，即的最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．若分式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
13．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可．
【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示：
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，H为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴
故答案为：．
14．如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；由全等三角形可得，则可对②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由，可知：当最小时，周长最小，此时，由勾股定理得：，求出即可求得四边形周长的最小值为9，可对④进行判断．
【详解】解：连接、，过点作，如图，
为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，且，，
，
，，所以①正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
在绕点旋转的过程中，也在变化，
不成立，所以②错误；
在绕点旋转的过程中，始终有 ，
，，
，
∴当最小时，最小，周长最小，此时，
，
，即，
由勾股定理得：，
，∴
周长的最小值，
故④正确，∴正确有①③④
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质及旋转性质等相关知识．
三、解答题（共90分）
15．解方程：
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
所以是分式方程的根．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
【答案】，见解析．
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】先求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为：，
在数轴上表示解集为：
，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
17．先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值．
【答案】，
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解等知识．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解是解题的关键．
先通分计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，根据分式有意义的条件可得，最后代值求解即可．
【详解】解：
，
由题意知，，，
解得，，
将代入得，原式．
18．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大2，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边是两个分母倒数差的2倍，据此写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
∴第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：猜想：；
证明如下：
等式左边
，
等式右边，
等式左边=等式右边，
猜想成立．
19．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点、也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)平移，使点移动到点位置，画出平移后的；
(2)画出关于点对称的；
(3)若有一格点，使得，则网格中满足条件的点共有 个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形、格点作图题
【分析】本题考查了平移作图，轴中心对称图形，网格作图，数形结合是解题的关键；
（1）根据平移的性质画出，即可求解；
（2）根据中心对称的性质，找出关于点对称的对应点，顺次连接，即可求解．
（3）根据网格得出是等腰直角三角形，进而作等腰直角，找到格点，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：根据网格可得是等腰直角三角形，
∴
作等腰直角，如图所示，网格中满足条件的点共有个
故答案为：．
20．如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)，见解析
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由题意知，，则，由是的垂直平分线，可得，由，可得，则，然后作答即可；
（2）如图，连接，设，则，由，可得，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下；
由题意知，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
21．如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，.
【详解】（1）证明: ∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
22．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克，
①求m的取值范围．
②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)①；②节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用480元购进A粽子的数是节后用200元购进的数量的2倍，列出方程，解方程即可；
（2）①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可；
②设获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，根据m的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合实际，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得：
，
解得：；
②获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
23．如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．

(1)求的长；
(2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当 时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由．
【答案】(1)
(2)或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；
(3)1
【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）知，，
∵， ∴，
由运动知，，，
∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，
只要， 当点N在边上时，，
∴，
∴，
当点N在边的延长线上时，，
∴， ∴，
∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）如图， 连接交于O，

∵线段将平行四边形面积二等分，
∴必过的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
由运动知，，，
∴，，
∴， ∴，
∴时，线段将平行四边形面积二等分．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出．