专题11 曲线系讲义 2025届高三数学二轮复习 有答案

这是一份专题11 曲线系讲义 2025届高三数学二轮复习 有答案，文件包含专题11曲线系教师版docx、专题11曲线系学生版答案解析docx、专题11曲线系学生版docx等3份学案配套教学资源，其中学案共23页， 欢迎下载使用。
在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时末知数较多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，可以用曲线系的方法解答，这样省去了解联立方程组、求交点等麻烦，而直接设出适合条件的曲线系。然后根据题中的另外条件，确定曲线系方程里的参数应取的值，简化了计算。利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想。

题型一：直线系
我们把具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程称直线系方程。
一般的有以下几种常见的直线系方程：
过两直线交点的直线系
若点Px0,y0是两直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点，则过P的直线系方程为:A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0 (λ2为参数)，这里不包括l2这条直线。如果要表示这条直线,则可将直线系方程设为λ1A1x+B1y+C1+λ2A2x+B2y+C2=0λ1,λ2为参数。
过定点直线系
过点Px0,y0的直线方程在斜率存在的情况下可设为y−y0=kx−x0，称为过定点P的直线系方程,为了避免对斜率是否存在进行讨论,也可用两个参数的形式：Ax−x0+By−y0=0(A,B为参数).
平行直线系
当直线l的斜率k存在时,方程y=kx+b表示斜率为k的平行直线系；
另外与已知直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0 (λ为参数)，注意因为当λ=C时,所设直线与已知直线l重合,如果仅仅是平行直线，则λ≠C.
垂直直线系
与已知直线l:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx−Ay+λ=0 (λ为参数).

例1经过两条直线2x+y−3=0和x−y=0的交点，且平行于直线l1:
4x−2y−7=0的直线方程为__________；经过两条直线2x+y−3=0和x−y=0的交点，且垂直于直线l2:3x−2y+4=0的直线方程为__________.
【思路点拨】
本题考查两直线的交点，两直线平行、垂直的应用.联立直线2x+y−3=0和x−y=0，求解得交点坐标，由两直线平行斜率相等设与直线l1:4x−2y−7=0平行的直线方程为4x−2y+m=0，代入点
1,1得m的值，即可得到直线方程；由两直线垂直斜率之积为−1，设垂直于直线l2:3x−2y+4=0的直线方程为2x+y+n=0，代入点1,1得n值，得直线方程.
例2设直线系M:xcsθ+(y−2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的序号)．
【思路点拨】
本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+y−22=1的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性.本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径．
练1已知定点P(−2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A. 23B. 10C. 14D. 215
【思路点拨】
本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力．直线化为
x+y−2+λ(3x+2y−5)=0，令x+y−2=03x+2y−5=0，可得直线l经过定点Q(1,1)，可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|．
题型二：圆系

我们把具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.常见的圆系方程有如下几种：
(1)以a,b为圆心的同心圆系方程为:x−a2+y−b2=λ2λ>0.
与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+λ=0.
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为：
x2+y2+Dx+Ey+F+λAx+By+C=0.
(3)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的
圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λx2+y2+D2x+E2y+F2=0
(λ≠−1,此圆系不含C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0).
特别地,当λ=−1时,上述方程为根轴方程.即两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λD1−D2x+E1−E2y+F1−F2=0.
例3在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C：(x−2m−1)2+(y−m−1)2=4m2(m≠0)，则下列说法中正确的有( )
A. 存在圆C经过原点B. 存在圆C，其所有点均在第一象限
C. 动圆C的圆心在一条定直线上D. 所有动圆C仅存在唯一一条公切线
【思路点拨】
本题考查圆系方程的应用，考查直线与圆相切.对于A，将(0,0)代入圆方程得到的一元二次方程有解可判断A正确；对于B，要使得圆上所有点均在第一象限，则圆心坐标在第一象限且圆心到两坐标轴距离都大于半径即可；对于C，根据圆的标准方程写出圆心坐标，消去参数即可证明；对于D，分斜率存在与不存在进行讨论，利用直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径长求解即可．
练2在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=3x上在第三象限内的点，B−10,0，以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一点D，且AB⊥CD，则圆C的标准方程为 ．
【思路点拨】
本题考查圆的方程的求法,考查向量垂直的判断与证明,直线与圆的位置关系，考查分析与计算能力．
设A(a,3a)，a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，
(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．
【思路点拨】
本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；
(1)求出各点坐标，表示出向量；(2)求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．
练4设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e=32，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线AD与直线BP交于点M,直线DP与x轴交于点N,求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
【思路点拨】
本题主要考查求椭圆方程，以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查了圆锥曲线中的定点问题.
(1)根据已知求得椭圆方程中的a，b，即可得出结论；
(2)设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立进行求解即可．

1.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y−4=0的交点的直线方程是( )
A. x+y+2=0B. x+y−2=0
C. 5x+3y−2=0D. 不存在

2.已知直线l1:3x+4y−10=0,l2:4x−6y+7=0,直线l3过l1与l2的交点且过点A4,−7,则l3的方程是 .
3.直线l:3x−2y+5=0,直线l1过点P3,−2,且l1//l,则直线l1的方程是 .
4.求过圆C1:x2+y2−4x+2y=0和圆C2:x2+y2−2y−4=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y=1上的圆的方程是 .
5.方程x2+y2−2x−4y+m=0表示圆,直线x+2y−4=0与圆相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),则以MN为直径的圆方程是
6.已知椭圆C:x24+y2=1上一点P0,1,过点M0,−35的直线与椭圆C交于A、B两点(异于点P)，求证：直线PA与PB的斜率积为定值.
7.已知圆C1:x2+y2+2x+2y−8=0与圆C2:x2+y2−2x+10y−24=0相交于A､B两点．
(1)求公共弦AB的长；
(2)求圆心在直线y=−x上，且过A､B两点的圆的方程；
(3)求经过A､B两点且面积最小的圆的方程．
8.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.已知抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)．
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；
(Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．