专题9 导数与三角函数交汇问题讲义——2025届高三数学二轮复习 含答案

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例1【解析】（1）由a=14，得f(x)=x−sinx+12xcsx，x∈(0,π)，
f'(x)=1−12csx−12xsinx.令T(x)=1−12csx−12xsinx，T'(x)=−12xcsx.
当x∈0,π2时，T'(x)0，
所以f(x)在(0,π)上单调递增，所以f(x)0, 函数f'x单调递增，
又f'π2=−10,
所以存在唯一的x0∈π,3π2,使得fx0=0,
当x∈π2,x0时，f'x0，ℎx单调递增，
又由ℎ1=0，ℎe2=32e4+12>0，ℎe=3−e22e20，即f'x>0，fx单调递增；
当x∈1,x0时，ℎx0，fx单调递增，
所以fx存在唯一极小值点x0.
因为x0∈e,e2，所以fx00,所以g(x)即f'x单调递增．
当x∈0,π2时，设φ(x)=g'(x)=ex+a(xsinx−2csx)，
φ'x＝ex+a(3sinx+xcsx)．
因为ex>0,a(3sinx+xcsx)≥0，所以φ'x＞0,
所以φ(x)即g'x单调递增．又g'0=1−2a0，ℎx单调递增，
在t,+∞上，ℎ'x1，
令ℎt=t−1t−lntt>1
由ℎ't=t−122tt>0t>1，ℎt在1,+∞上为增函数，
∴ℎt>ℎ1=0，∴x2−x1lnx2−lnx1>x1x2成立，所以由③知，x1x20x1+x2>0x1⋅x2>0即：−4a+1>0−2a−1a>0解得：a1)，
当x>1时，φ'x>0，∴φ(x)在1，+∞单调递增，∴φ(x)>φ(1)=e−2>0，
即：ex>x+1，(x>1)，当x>1时，00；当x∈α,π2时，g'(x)0．
从而f(x)在0,π2上没有零点．
（iii）当x∈[π2,π]时，f'(x)0，f(π)1，所以f(x) 0，所以f(x)=x22−x+asinx≥x22−x+sinx.
记g(x)=x22−x+sinx，则g′(x)=x−1+csx，令ℎx=g′x，
ℎ′x=1−sinx.
因为当x∈(0,π)时，ℎ′x≥0，所以g′(x)在区间(0,π)上单调递增，
所以，g′(x)>g′(0)=0，
所以，g(x)在区间(0,π)上单调递增，
所以，g(x)>g(0)=0，所以f(x)>0．
②当a0，
所以f′(x)在区间(0,π)上单调递增．
因为f′(0)=a−10，
所以，存在x0∈(0,π2)，使得f′(x0)=0，
所以，当x∈(0,x0)时，f′(x)0，
当x∈0,+∞时，所以φ'x=x+3ex+csx≥3ex−1>0，所以φx在−1,+∞上单调递增．
ℎ'0=2>0，ℎ'−1=1e−sin1，又esin1>esinπ4=22e>2，
所以ℎ'−10．
所以gx在−1,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，得gxmin=g0=0，
所以xex−sinx≥0，从而原命题得证．
3. 【解析】（1）a=2时，fx=ex−2x−csx，f'x=ex−2+sinx,
当x≤0时,f'xπ2时，f'x>e32−2−1>0，
∴fx在−∞,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，
∵f0=0，fx00，
∴fx有两个零点．
（2）gx=ex−ax−csx+lnx+1，g'x=ex−a+sinx+1x+1，
显然x=0是gx的极小值点的必要条件为g'0=2−a=0，即a=2,
此时g'x=ex+1x+1+sinx−2，令ℎx=g'x=ex+1x+1+sinx−2，
则ℎ'x=ex+csx−1x+12,
又ℎ'x在−1,0上单调递增，且ℎ'−12=e−12+cs212−40，
当x>π2时,ex>2,−10，所以函数ℎx在0,+∞上递增，
所以ex−a=x，则有x−a=lnx，
即a=x−lnx,x>0,因为关于x的方程xex−a=fx−a2x2+ax−1有两个不同的实数解，
则方程a=x−lnx,x>0有两个不同的实数解，令φx=x−lnx，则φ'x=1−1x=x−1x，
当00，
所以函数φx=x−lnx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以φxmin=φ1=1，
当x→0时，φx→+∞，当x→+∞时，φx→+∞，所以aa>1．
5.【解析】解：(1)当 a=0 时， f(x)=xsinx ， f′(x)=sinx+xcsx ．
当 x∈0,π2 时， sinx>0 ， csx>0 ， f′(x)=sinx+xcsx>0 ，
所以 f(x) 在 0,π2 上单调递增．
又f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x) ，
所以 f(x) 为偶函数，所以 f(x) 在 −π2,0 上单调递减．
综上， f(x) 在 −π2,0 上单调递减，在 0,π2 上单调递增．
(2)①由题意可得 f′(x)=sinx+xcsx−acsx=sinx+(x−a)csx ，不妨设 0