（通用）2026高考数学重难点讲练－等差数列+巩固练习（附解析）

这是一份（通用）2026高考数学重难点讲练－等差数列+巩固练习（附解析），共8页。
1．理解等差数列概念.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等差数列与一次函数的关系.
4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.
5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；
6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
【知识网络】
等差数列
等差中项
等差数列的通项公式及应用
等差数列定义
【考点梳理】
考点一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
要点诠释：
(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为
(3)证数列{}是等差数列的方法：
① (n≥2) （ d为常数）；
② 为和的等差中项。
考点二、通项公式
(归纳法和迭加法)
要点诠释：
①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)
= 2 \* GB3 ②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
= 3 \* GB3 ③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。
④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，
当k=d>0时，{}为递增数列；
当k=d0,得d=2
所以.
【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三：
【变式】若数列为等差数列，, ,且公差 求；
【解析】∵为等差数列 ∴
又∵
∴、是方程的根
∴或（舍去）
令数列的首项为，公差为d，则
即
解之有：，
∴.
类型二：等差数列的判断与证明
例4．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．
【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。
证明：由得，所以
整理得，又得
相减并整理得:
所以数列是个等差数列
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;
(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.
举一反三：
【变式】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；
【答案】an+1 = Sn+1–Sn,
∴8an+1 =,
∴,
∴，
∵an∈N*，∴，
∴，即，
∴数列{an}是等差数列.
例5．设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.
【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。
证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),
当n≥2时，
=-
=
= =
= (常数)
∴{bn}是等差数列.
证法二:等差数列{an}的前n项和,
∴bn=
∴{bn}是等差数列.
【巩固练习】
1.等差数列{an}前n项和为Sn，且﹣=3，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知等差数列的前3项依次为，，，则通项公式（ ）.
A. B. C. D.
3．已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）
A． B． C． D．
4．设是等差数列的前n项和，若（ ）
A． B． C． D．
5.如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，，，（）.若
A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列
6.已知等差数列{an}满足：a3a7=-12，a4+a6=-4，则通项公式an=________.
7.已知等差数列中，，，且，则__________.
8.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为 ．
9.等差数列中，，，则_________.
10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________.
11．等差数列中, 则_________。
12．等差数列中,若则=_______。
13．已知数列是等差数列，若,且,则_________。
14. 已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
15.等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【参考答案与解析】
1.【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
∵﹣=3，∴﹣=3，
化简可得2d﹣d=3，解得d=2故选：B．
2.B 3.B
4.A
5.【答案】A
【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
6．an=2n-12或an=-2n+8； 7.0；
8.【答案】9
【解析】由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，
设m3的“分裂”数中第一个数为am，
则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，
a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，
…am﹣am﹣1=2（m﹣1），
以上m﹣2个式子相加可得am﹣a2==（m+1）（m﹣2），
∴am=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，
∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个
9．27； 10.
11.
12． 该二次函数经过，即
13．

14.【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d．
∵a4﹣a3=2，所以d=2
∵a1+a2=10，所以2a1+d=10
∴a1=4，
∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）
（II）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2=a3=8，b3=a7=16，
∴
∴q=2，b1=4
∴=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{an}中的第63项相等
15.【解析】(Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
当1,2,3时，；
当4,5时，；
当6,7,8时，；
当9,10时，，
所以数列的前10项和为.