初中数学冀教版（2024）八年级下册正方形评课ppt课件

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级下册正方形评课ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了如何定义正方形，邻边相等，正方形，一个角是直角，正方形定义，对角线相等，对角线互相平分，有一个角为直角，有一组邻边相等，对角线互相垂直等内容，欢迎下载使用。
1..探索并证明正方形的性质和判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别。
2.探索并证明正方形的性质和判定.
3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算.
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
活动一 　探究正方形的概念
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
活动二 　探究正方形的性质
1.正方形是不是轴对称图形?如果是轴对称图形，那么它有几条对称轴，都是哪些直线?
2.正方形都具有哪些性质?
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
例1已知：如图22-6-2,在正方形ABCD中，点E在对角线AC上.求证：BE=DE.
证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB,AC平分∠DAB在△AED和△AEB中，∵AD=AB,AE=AE,∠DAC=∠BAC=45°,∴△AED≌△AEB,∴BE=DE.
活动三 　典例精析：正方形性质的应用
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
活动四 　探究正方形的判定
思考:正方形的判定方法有哪些？你能证明下面结论吗？
证明:对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形.
证明:对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.
正方形判定的几条途径：
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
2.已知：如图，四边形ABCD和BGFE都是正方形.求证：AE=CG
证明:∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形,∴AB=BC,BE=BG,∠ABC=∠EBG=90°,∴∠ABC-∠EBC=∠EBG-∠EBC,即∠ABE=∠CBG,∴△ABE≌△CBG(SAS).∴AE=CG.
3.已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O,点M,N分别在OA,OD上，且MN//AD.请探究线段DM和CN之间的数量关系，写出结论并给出证明.
解:DM=CN.证明如下:在正方形ABCD中,AD=DC,OA=OD,∠DAM=∠CDN=∠ODA=45°,∵MN∥AD,∴∠OMN=∠OAD,∠ONM=∠ODA,∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OD,∴AM=DN.在△ADM和△DCN中,
∴△ADM≌△DCN(SAS).∴DM=CN.
1.如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，且CE=BD,AE交DC于点F.求∠AFC的度数.
解:如图所示,连接AC.在正方形ABCD中,AC=BD,∵CE=BD,∴AC=CE,∴∠CAE=∠E.由题意知∠ACE=90°+45°=135°,∴∠E=(180°-135°)=22.5°.∴∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22.5°=112.5°.
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
活动五 　探究中点四边形
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角2.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④=中,错误的有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E为OC上一点，AM⊥BE,垂足为M,AM与DB相交于点F.求证：OE=OF.
证明:在正方形ABCD中,OB=OA,∠BOE=∠AOF=90°.∵AM⊥BE,∴∠BEO+∠EAM=90°.由题意知AC⊥BD,∴∠BEO+∠EBO=90°,∴∠EAM=∠EBO.在△OBE和△OAF中,∴△OBE≌△OAF(ASA).∴OE=OF.