2026高考物理大一轮复习-第五章 第二十三课时 万有引力定律及应用-专项训练【含答案】

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第23课时 万有引力定律及应用
目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一 开普勒定律
开普勒三大定律
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
(1)v1与v2大小什么关系？
(2)试证明v1v2＝r2r1。
2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。( )
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( )
3.不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。( )
例1 (2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
考点二 万有引力定律
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与 成正比、与它们之间 成反比。即F＝Gm1m2r2，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于 间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是 间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝GMmR2，得g＝GMR2。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r＝R+h处由mg'＝GMm(R+h)2，得g'＝GM(R+h)2。
1.地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。( )
2.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。( )
3.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( )
例2 (2025·江苏高邮市调研)火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5
例3 (2024·江苏徐州市联考)某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.4π2g1T2B.4π2g2T2
C.(g2-g1)T24π2D.(g1+g2)T24π2
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：
GMmR2＝mg1+mω2R。
(2)在两极上：GMmR2＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg。
例4 已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为( )
A.R-dR+hB.(R-dR+h)2
C.R3(R+h)2(R-d)D.(R-d)(R+h)R2
万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝GM'mr2。
考点三 天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由GMmR2＝mg，得天体质量M＝gR2G。
(2)天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由GMmr2＝m4π2T2r，得M＝4π2r3GT2。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例5 (2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
倍B.0.1倍
C.10倍D.1 000倍
针对训练 (2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A.4×104MB.4×106M
C.4×108MD.4×1010M
例6 (2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。ρ1ρ2的值为( )
A.2nB.n2C.2nD.12n
答案精析
考点一
椭圆 椭圆 面积 三次方 二次方
讨论交流
1.(1)v1>v2
(2)证明：由开普勒第二定律可得
12Δl1·r1＝12Δl2·r2，
则有12v1Δt·r1＝12v2Δt·r2，
可得v1v2＝r2r1。
2.由GMmr2＝m4π2T2r得：r3T2＝GM4π2，即k＝GM4π2。
判断正误
1.√ 2.× 3.×
例1 B [根据开普勒第三定律有T12a13＝T22a23，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期T2＝T1a23a13≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；
从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；
鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。]
考点二
1.(1)物体的质量m1和m2的乘积 距离r的二次方 (2)①质点 ②两球心
判断正误
1.× 2.√ 3.×
例2 B [万有引力定律表达式为F＝Gm1m2r2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为F火引F地引＝M火r地2M地r火2＝0.4，选项B正确。 ]
例3 C [在“极点”处：mg2＝GMmR2；在其表面“赤道”处：GMmR2－mg1＝m(2πT)2R，
联立解得：R＝(g2-g1)T24π2，故选C。]
例4 C [设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有GMmR2＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρ·43πR3，联立解得g＝43πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1＝43πGρ(R－d)，联立可得g1＝R-dRg，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2＝GMm(R+h)2，解得加速度g2＝GM(R+h)2＝R2(R+h)2g，所以g2g1＝R3(R+h)2(R-d)，故C正确。]
例5 B [设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有
GM1m1r12＝m14π2T12r1
GM2m2r22＝m24π2T22r2
联立得M1M2＝(r1r2)3·(T2T1)2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得M1M2≈0.1，故选B。]
针对训练 B [由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1 000R
地球绕太阳做圆周运动所需的向心力由太阳对地球的万有引力提供，由向心力公式可知
GMmR2＝mRω02＝mR2πT02
解得太阳的质量为M＝4π2R3GT02
同理S2绕黑洞做圆周运动所需的向心力由黑洞对它的万有引力提供，可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由向心力公式可知GMxm'r2＝m'rω2＝m'r2πT2
解得黑洞的质量为Mx＝4π2r3GT2
综上可得Mx≈4×106M
故选B。]
例6 C [设地球表面的重力加速度为g，该球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A＝mg，k·A＝mg'，可得g＝2kAm，g'＝kAm，可得gg'＝2，设该球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有Gρ1·43π(nR)3·m(nR)2＝mg，Gρ2·43πR3·mR2＝mg'，联立可得ρ1ρ2＝2n，故选C。]考
情
分
析
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在 的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的 跟它的公转周期的 的比都相等
a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量