高考物理【一轮复习】讲义练习第五章　第23课时　万有引力定律及应用

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第23课时 万有引力定律及应用
目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一 开普勒定律
开普勒三大定律
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。
(1)v1与v2大小什么关系？
(2)试证明v1v2＝r2r1。
答案 (1)v1>v2
(2)证明：由开普勒第二定律可得12Δl1·r1＝12Δl2·r2，则有12v1Δt·r1＝12v2Δt·r2，
可得v1v2＝r2r1。
2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
答案 由GMmr2＝m4π2T2r得：r3T2＝GM4π2，即k＝GM4π2。
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。( √ )
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( × )
3.不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。( × )
例1 (2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
答案 B
解析 根据开普勒第三定律有T12a13＝T22a23，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期T2＝T1a23a13≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；
从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；
鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
考点二 万有引力定律
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝Gm1m2r2，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝GMmR2，得g＝GMR2。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝GMm(R＋h)2，得g'＝GM(R＋h)2。
1.地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。( × )
2.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。( √ )
3.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( × )
例2 火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5
答案 B
解析 万有引力定律表达式为F＝Gm1m2r2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为F火引F地引＝M火r地2M地r火2＝0.4，选项B正确。
例3 (2024·山东泰安市模拟)某探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为T1；当探测器停在月球的南极时，测得重力加速度的大小为g0。已知月球自转的周期为T2，月球视为均匀球体，月球赤道处的重力加速度为( )
A.(8T22-T12)g08T22B.(T22-T12)g08T22
C.(T22-T12)g0T22D.g0
答案 A
解析 设月球的半径为R，月球的质量为M，探测器的质量为m，由题意得GMm(2R)2=m4π2T12×2R，GMmR2=mg0，GMmR2=m4π2T22R+mg，综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度g=(8T22-T12)g08T22，故选A。
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：
GMmR2＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：GMmR2＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg。
例4 已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为( )
A.R-dR＋hB.(R-dR＋h)2
C.R3(R＋h)2(R-d)D.(R-d)(R＋h)R2
答案 C
解析 设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有GMmR2＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρ·43πR3，联立解得g＝43πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1＝43πGρ(R－d)，联立可得g1＝R-dRg，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即mg2＝GMm(R＋h)2，解得加速度g2＝GM(R＋h)2＝R2(R＋h)2g，所以g2g1＝R3(R＋h)2(R-d)，故C正确。
万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝GM'mr2。
考点三 天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由GMmR2＝mg，得天体质量M＝gR2G。
(2)天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由GMmr2＝m4π2T2r，得M＝4π2r3GT2。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例5 (2024·新课标卷·16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
倍B.0.1倍
C.10倍D.1 000倍
答案 B
解析 设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，行星绕红矮星运行周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，地球到太阳距离为r2，地球公转周期为T2；根据万有引力提供向心力有
GM1m1r12＝m14π2T12r1
GM2m2r22＝m24π2T22r2
联立得M1M2＝(r1r2)3·(T2T1)2
由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，得M1M2≈0.1，故选B。
针对训练 (2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A.4×104MB.4×106M
C.4×108MD.4×1010M
答案 B
解析 由题图可知，S2绕黑洞的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r＝1 000R
地球绕太阳做圆周运动所需的向心力由太阳对地球的万有引力提供，由向心力公式可知GMmR2＝mRω02＝mR2πT02
解得太阳的质量为M＝4π2R3GT02
同理S2绕黑洞做圆周运动所需的向心力由黑洞对它的万有引力提供，可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由向心力公式可知GMxm'r2＝m'rω2＝m'r2πT2
解得黑洞的质量为Mx＝4π2r3GT2
综上可得Mx≈4×106M
故选B。
例6 (2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。ρ1ρ2的值为( )
A.2nB.n2C.2nD.12n
答案 C
解析 设地球表面的重力加速度为g，该球状天体表面的重力加速度为g'，弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，根据简谐运动的平衡位置合力为零有k·2A＝mg，k·A＝mg'，可得g＝2kAm，g'＝kAm，可得gg'＝2，设该球状天体的半径为R，在地球和天体表面，分别有Gρ1·43π(nR)3·m(nR)2＝mg，Gρ2·43πR3·mR2＝mg'，联立可得ρ1ρ2＝2n，故选C。
课时精练
(分值：60分)
1~7题每小题4分，共28分
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
2.(2024·广西卷·1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A.a处最大B.b处最大
C.c处最大D.a、c处相等，b处最小
答案 A
解析 根据万有引力公式F＝GMmr2，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。
3.(2022·全国乙卷·14)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
答案 C
解析 航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，A、B错误；根据F＝GMmr2可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
4.(2024·山东烟台市三模)北京时间2024年1月5日19时20分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座15-18星(以下简称天目星)发射升空，天目星顺利进入预定轨道。天目星的发射变轨过程可简化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为h1的圆形轨道Ⅰ上，在天目星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将天目星送入距地面高度为h2的圆形轨道Ⅲ上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为( )
A.π2R(h1+h2+R)32gB.π2R(h1+h2+2R)32g
C.πR(h1+h2+2R)32gD.πR(h1+h2+2R)3g
答案 B
解析 根据万有引力与重力的关系GMmR2=mg，在圆形轨道Ⅰ上，根据万有引力提供向心力GMm(R+h1)2=m4π2T12(R+h1)，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a=2R+h1+h22，根据开普勒第三定律(R+h1)3T12=a3T22，解得天目星沿椭圆轨道Ⅱ的周期为T2=πR(h1+h2+2R)32g，天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为t=12T2=π2R(h1+h2+2R)32g，故选B。
5.(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A.9∶1B.9∶2C.36∶1D.72∶1
答案 B
解析 悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝GmMR2，可得F祝融F玉兔＝GM火m祝融R火2∶GM月m玉兔R月2＝922×2＝92，故选B。
6.(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A.3π(1＋k)3GT2k3B.3πGT2
C.π(1＋k)3GT2kD.3πGT2(1＋k)3
答案 D
解析 设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
GMm[(k＋1)R]2＝m4π2T2·(k＋1)R
月球的体积V＝43πR3
月球的平均密度ρ＝MV
联立可得ρ＝3πGT2(1＋k)3，故选D。
7.(多选)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列说法正确的是( )
A.月球表面的自由落体加速度g月＝2ht2
B.月球的质量M＝2hR2Gt2
C.月球的密度ρ＝3h2πRGt
D.月球的密度ρ＝3h2πRGt2
答案 ABD
解析 月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12g月t2，则月球表面的自由落体加速度g月＝2ht2，故A正确；不考虑月球自转的影响，有GMmR2＝mg月，得月球的质量M＝2hR2Gt2，故B正确；月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt24π3R3＝3h2πRGt2，故C错误，D正确。
8~11题每小题6分，12题8分，共32分
8.(2024·山东卷·5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A.r3a3B.a3r3C.r3a3D.a3r3
答案 D
解析 由GMmr2＝m4π2T2r得：r3T2＝GM4π2
根据开普勒第三定律r3T2＝k，则k＝GM4π2
可见，开普勒第三定律中的k值与中心天体质量有关，地球质量M地＝4π2r3GT2，同理，对“鹊桥二号”中继星，可得月球质量M月＝4π2a3GT月2，
因“鹊桥二号”与地球同步卫星周期相同，
所以M月M地＝a3r3，故选D。
9.如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星( )
A.做圆周运动的周期之比为21sin3θ
B.做圆周运动的周期之比为1sin3θ
C.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为1sinθ
D.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为1sinθ
答案 C
解析 夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB＝rAsin θ，由开普勒第三定律可得TA2TB2＝rA3rB3，则TATB＝1sin3θ，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝tT·πr2，则SASB＝TBTA·rA2rB2＝1sinθ，C正确，D错误。
10.(2024·山东省联考)2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课。若梦天实验舱做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，梦天实验舱与地球中心的连线在时间t内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G，则( )
A.梦天实验舱的运行周期为πR2S0t
B.地球的质量为3S02GkRt2
C.梦天实验舱处的重力加速度大小为4πS02k3R3t2
D.地球的密度为3S02πkGR4t2
答案 D
解析 梦天实验舱绕地球运行一周，其与地心连线扫过的面积为S=π(kR)2，则梦天实验舱的运行周期T=SS0t=πk2R2S0t，A错误；根据万有引力提供向心力有GMm(kR)2=m4π2T2kR，可得地球的质量M=4S02GkRt2，B错误；由ρ=MV、V=43πR3，可得地球的密度ρ=3S02πkGR4t2，D正确；根据万有引力等于重力有GMm(kR)2=mg，梦天实验舱处的重力加速度大小g=4S02k3R3t2，C错误。
11.(2024·山东济宁市育才中学月考)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A.g0小于g
B.地球的质量为gR2G
C.地球自转的角速度为ω＝g0-gR
D.地球的平均密度为3g4πGR
答案 C
解析 设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有GMmR2－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即GMmR2＝mg0，所以g0>g，故A错误；在两极有mg0＝GMmR2，解得M＝g0R2G，故B错误；由GMmR2－mg＝mω2R，mg0＝GMmR2，解得ω＝g0-gR，故C正确；地球的平均密度ρ＝MV＝g0R2G43πR3＝3g04πGR，故D错误。
12.已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是( )
答案 A
解析 设星球的半径为R，地球的密度为ρ，当x≤R，距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为G43πρx3mx2＝mg，可得g＝4πGρx3，当x>R，距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为G43πρR3mx2＝mg，可得g＝4πGρR33x2，故选A。考
情
分
析
试
题
情
境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量