内蒙古自治区赤峰市多校联考2025届高三下学期三模数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集.
【详解】将代入，得，解得或0，
所以.则中元素的个数为3个.
故选：C
2. 若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程可得，再由离心率公式求出，最后根据焦距的定义求解.
【详解】由题意，,，得，故该双曲线的焦距为.
故选：D.
3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定的
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，利用余弦定理得到，再结合判断.
【详解】由余弦定理可得，
则.
因为，所以，所以是等腰三角形.
故选：A
4. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. 250D. 1250
【答案】A
【解析】
【分析】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以常数项为.
故选：.
5. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对函数求导得出切线斜率，再得到切线方程，然后求出与坐标轴交点，最后计算面积.
【详解】设函数，则，则，
所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为.
故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选 ：A
6. 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值茫围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为图象的交点问题，即可求解.
【详解】当时，，，
作出的大致图象，如图所示，
由，得，
若函数恰有3个零点，
则函数的图象与函数的图象有个不同的交点，
则.
故选：.
7. 在体积为9的三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】主要利用向量关系得出点到平面的距离比例关系以及三角形面积的比例关系，再结合三棱锥体积公式来求解体积.
【详解】设点到平面的距离为.
因为，所以，所以点到平面的距离为.
因为，所以，所以，则，
故.
故选：C
8. 出租车几何，又称曼哈顿距离（Manhattan Distance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则A，B两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点P满足，Q是直线：上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据新定义画出点的运动轨迹，然后由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可知，的轨迹关于x轴对称，也关于y轴对称.
当，时，，
即
画出此函数的图象，并结合对称性可得点P的轨迹是如图所示的六边形.
由图可知，的最小值为图中点到直线的距离.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线：的焦点为F，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. 点F的坐标为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据条件求出等差数列的首项和公差，根据抛物线的标准方程求出焦点坐标，从而判断选项A,C，对于选项B，可先将的表达式列出来，进而判断其是否是等差数列，对于选项D，可根据等差数列的前50项和公式求出.
【详解】因为等差数列，
所以公差，所以，A正确.
因为抛物线的焦点为，所以点的坐标为，C错误.
因为的横坐标为递增的大于0的，所以设
所以，因为是等差数列，
所以数列是等差数列，首项为2，公差为2.
所以，所以B，D正确.
故选：ABD.
10. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. 为偶函数B. 最小正周期为
C. 的图象关于点对称D. 在上的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】求出变换之后的解析式，依次判断选项可得结果.
【详解】由
则，
所以，
，
所以函数定义域为，
令，则，
所以为奇函数，故A错误.
的最小正周期为，B正确.
由，
得的图象关于点对称，C正确.
令，
由，得，
又在单调递增，
所以 时，取得最大值，
则在上的最大值为，D错误
故选：BC
11. 定义对于集合中的任意两个元素m，n，定义，.若，则称具有对称性.下列判断正确的是（ ）
A
B. 若，则不具有对称性
C. 对于任意且，恒成立
D. 集合中不存在三个互不相等的元素a，b，c，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先求得，再根据的定义验算即可；对于B，由条件得即可判断；对于C，首先得，然后验算即可；对于D，首先得，然后分和两种情况讨论即可求解.
【详解】对于A，因为，，所以，A正确.
对于B，因为，所以，B错误.
对于C，由题意，当且时，，
同理得，，
所以，
且，，，
所以恒成立，C正确.
对于D，设a，b，c是集合中三个互不相等的元素，不妨假设.
因为，，，所以，
当时，，，，则，，.
当时，，，，，
所以集合中不存在三个互不相等的元素a，b，c，使得，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数的实部为，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用复数乘法化简复数，再由题意列式得，即可求解的最大值.
【详解】，
因为的实部为，所以，故的最大值为.
故答案为：
13. 若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由球的表面积得球的半径，进而得正方体的棱长，即可求得正方体的体积.
【详解】设这个正方体的内切球的半径为，由，得，
则这个正方体的棱长为，故这个正方体的体积为.
故答案为：.
14. 小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6.若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先把数据排序，再分删除的数不同分别求出中位数即可.
【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3，
若删除的数字是4或5或6，所得新数据的中位数也是3，
若删除的数字是1或2或3，所得新数据的中位数是3.5，
故所求概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，均为等比数列，且，.
（1）证明：为定值.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求公比，进而得通项公式，计算即可得证；
（2）由，利用分组求和即可求解.
【小问1详解】
证明：设数列的公比为，数列的公比为
依题意可得的公比为，的公比为，
所以，，
则，故为定值.
【小问2详解】
由，
故
.
16. 甲、乙、丙三人各自计划去呼和浩特市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达呼和浩特市，他们在哪一天到达呼和浩特市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达呼和浩特市的概率如下表所示（，，）：
（1）若甲、乙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，乙、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为，甲、丙两人在同一天到达呼和浩特市的概率为.比较，，的大小；
（2）设甲、乙、丙三人中在5月14日当天到达呼和浩特市的人数为X，求X的分布列与期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，1.3
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式计算、、并比较大小；
（2）确定离散型随机变量的所有可能取值，通过相互独立事件的概率乘法公式计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的定义计算.
【小问1详解】
根据全概率公式可得，
，
，
.
因为，所以，故.
【小问2详解】
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则的分布列为
故.
17. 如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，．

（1）求该五棱柱的体积．
（2）证明：平面平面．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）10 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直棱柱体积计算公式计算即可；
（2）根据面面垂直的判定定理证明即可；
（3）建立空间直角坐标系，运用空间向量法计算求解即可.
【小问1详解】
因为为等腰直角三角形，，所以，且，
因为四边形为正方形，所以
在直五棱柱中，底面，
所以该五棱柱的体积；
【小问2详解】
在直五棱柱中，底面，
因为底面，则，
因，所以，
因为且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面
【小问3详解】
由题意可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面法向量为，则，
即 ，取，则
，
故直线与平面所成角的正弦值为.

18. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间.
（2）已知集合，且.若不等式对恒成立，证明：.
（3）证明：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间；
（2）分离参数，然后构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可证明；
（3）根据题意，将不等式变形，构造函数，然后求导结合其单调性，即可证明.
【小问1详解】
当时，，则.
当时，，当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
证明：若不等式对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立.
设，则.
因为，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
故，即.
【小问3详解】
证明：要证，
只需证，
即证.
由（1）知在上单调递增，且当时，，，
所以只需证.
设，则，为增函数，
所以，则得证，
从而得证.
19. 已知椭圆：的右焦点为，且过点.
（1）求的方程.
（2）过点的直线（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.
（i）证明：直线过定点.
（ii）记直线过的定点为Q，过点N作直线的垂线，垂足为H，试问是否存在最小值?若存在，求最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求曲线方程：根据已知条件列出关于、的方程组，解方程组得出、的值，进而得到曲线方程.
（2）（i）证明直线PM过定点：先设直线方程，与曲线方程联立，用韦达定理得到和的值.再写出直线PM方程，化简后求出的值为，从而得出直线PM过定点.
（ii）求情况：利用向量关系转化，结合韦达定理化简式子，得到，分析时情况，发现此时直线斜率不存在，所以无最小值.
【小问1详解】
依题意可得
解得，，
故C的方程为.
【小问2详解】
（i）如图：
依题意可设直线的方程为，，，.
联立得，
由韦达定理得，，
则直线的方程为，
即，
.
则直线的方程为，故直线过定点.
（ii）.
因为，所以，
所以
，
当时，取得最小值，但此时的斜率不存在，故不存在最小值.
到达日期
5月13日
5月14日
5月15日
0.4
0.4
0.2
0.3
0.2
0.5
0.7
0
1
2
3
0.144
0.468
0.332
0.056