内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知向量和满足与的夹角为，则， 已知锐角满足，则的值为， 阅读材料， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，向量对应的复数是，则的值为（ ）
A. 6B. C. 13D.
【答案】C
【解析】由题意，向量对应的复数是，
则.
故选：C.
2. 已知集合，其中表示不超过的最大整数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，，，则.
故选：D.
3. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由题意，.
故选：D.
4. 已知锐角满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，①，
则，又，
所以，
所以，
因为为锐角，所以，所以②，
由①和②联立可解得，
所以.
故选：B.
5. 在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则点、，
设点，由可得，
整理可得，化为标准方程得，如下图所示：
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因此，点轨迹的长度为.
故选：A.
6. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件，
第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件，
则，，
则根据全概率公式，.
故选：C.
7. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设圆的半径为，椭圆方程为，
由题意，截面椭圆的半短轴长等于圆柱的底面半径，即，
因为，，所以，
在中，，，所以，
所以椭圆的半长轴长等于，即，
所以，
因此椭圆的离心率.
故选：D.
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由阅读材料可知：平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
故选：B
二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和为，且，若，则（ ）
A. B. 是公差为2的等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以数列为等差数列，且，则，又，则.故A选项正确；
，则，即为公差的等差数列，故B选项错误；
由，故C选项正确；
，则，故D正确.
故选ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是周期为的函数
B. 与函数是同一函数
C. 是的一条对称轴
D. 在区间上的取值范围是
【答案】AD
【解析】由题意，，故A正确；
，
故B错误；
因为，
所以不是的一条对称轴，故C错误；
当时，，则，
则，
即在区间上的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ）
A. 周长大于25
B. 共有4条对称轴
C. 围成的封闭图形面积小于14
D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
【答案】ABC
【解析】对A：由题意，在第一象限曲线的方程为，
即，
当时，曲线在圆的下方，理由如下：
因为，可设，，
则
而
（只有当或时取“”）.
所以（只有和时取“”）.
故时，曲线在圆的下方.
即第一象限曲线的长度大于圆周长的，
即曲线的周长大于圆的周长，而，则A选项正确；
对B：由曲线的方程为可知，
因为，，，代入方程，方程都不变，
所以曲线关于轴，轴，直线和对称，共有4条对称轴，则选项B正确；
对C：由A选项的推证可知：曲线围成的封闭图形的面积，
则选项C正确；
对D：第一象限曲线的方程为，
所以，，（都是当且仅当时取“”）.
所以曲线上距离原点的最短距离为，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为的圆，
则选项D错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 展开式的常数项为______.
【答案】60
【解析】的常数项为,
故答案为：
13. 锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由已知得，所以，
解得，
由正弦定理得，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以锐角周长的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______.
【答案】1
【解析】，
所以为奇函数，且在上的最大值比最小值大，
所以在上最大值比最小值大.
由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递增.
则，
解得.
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增.
，
因为，所以，
所以，
解得（舍去）或9（舍去）.
综上，
故答案为：1
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？
（3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望.
附：，
解：（1）由图，低于学生有人，则不低于170cm的学生有人.
从而，；
（2）零假设为：性别与身高没有关联，
计算可得
根据的独立性检验，推断不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关联；
（3）样本中抽中不低于175cm的频数为人
样本中抽中不低于175cm的频率为
将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人，
其中不低于175cm的人数记为，则
.
16. 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求取值范围.
解：（1）函数的定义域为，，
故，，
所以，在点处切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，且，
有两个极值点等价于有两个不等正根，
即有两个不等正根，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
如下图所示：
当时，直线与函数的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为、，
由图可知，当或时，，则，
当时，，则，
所以，函数的增区间为、，减区间为，
此时，函数的极大值点为，极小值点为，
故当时，有两个极值点，
综上，的取值范围为.
17 已知数列中，.
（1）若依次成等差数列，求；
（2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和.
（1）解：，
又依次成等差数列，所以，
即，解得.
（2）证明：因为，
且，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
可得，则，
.
18. 如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足.
（1）当时，求证：；
（2）若平面与平面所成角的正切值为，求的值.
（1）证明：方法一：由可得，，
即，即.
如图：
当时，在中，，，，因为，所以，又，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又平面，所以.
又在平行四边形中，，，为中点，所以，
，平面，
所以平面.
又平面，所以.
方法二：（向量方法）
因为平面平面，平面平面，所以过作于，则平面；
连接，因为，所以.
在中，，，.
所以，则，
.
，
当时，.
.
所以.
（2）解：如图，由（1）得：两两垂直，故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.
平面中，，.
，
设平面的法向量为：，
则,
令，则；
平面中，由（1）可知，，
设，因为，，
所以.
，
设平面的法向量为，
则,
令，则；
由题意，设平面与平面所成角为，且，则.，解得.
即平面与平面所成角的正切值为时，的值为.
19. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点.
（i）证明：点为线段的中点；
（ii）求的取值范围.
解：（1）为的垂直平分线上一点，则.
.
点的轨迹为以为焦点的双曲线，且
故点的轨迹方程为.
（2）（i）设，
双曲线渐近线方程为①，②
当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，
与双曲线联立
由，且，故可得.
由；
.
.
点为线段的中点.
当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知，
此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点.
综上，点为线段的中点.
（ii）由（i）知，.
.
当且仅当，即时取等号.
又，
的取值范围为.
性别
身高
合计
低于
不低于
女
20
男
50
合计
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828