湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2023~2024学年高一下学期5月数学试卷[附解析]

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一、单选题
1. 已知复数 z 满足 ， 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ， ．若 与 垂直，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
3. 下列说法正确 是（ ）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球 直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
4. 如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ．已知 ， ，则下列说
法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形 的周长为
D. 四边形 的面积为
5. 已知角 满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 八卦是中国文化 基本学概念，图 1 是八卦模型图，其平面图形为图 2 所示的正八边形 ，
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其中 给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A. 与 的夹角为 B.
C. D. 在 上的投影向量为 （其中 为与
同向的单位向量）
7. 如图，一个矩形边长为 1 和 4，绕它的长为 的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封）， 是
中点，现有一只蚂蚁位于外壁 处，内壁 处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点 处取
得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，则 是
（ ）
A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
二、多选题
9. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 是一个复数 B. 形如 的数一定是虚数
C. 两个复数一定不能比较大小 D. 若 ，则
10. 将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再将所得图象向右平移
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是个单位长度后得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数 B. 函数 的一个对称中心是
C. 若 ，则 D. 函数 的一个对称中心是
11. 已知 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 一定是锐角三角形
B. 若 ，则 一定是等边三角形
C. 若 ，则 一定是等腰三角形
D. 若 ，则 一定是等腰三角形
12. 假设 ，且 ．当 时，定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标
系中，任意一点 P 的斜坐标这样定义： 分别为 x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若 ，
则记为 ，那么下列说法中正确的是（ ）
A. 设 ，则
B. 设 ，若 // ，则
C. 设 ，若 ，则
D. 设 ，若 与 的夹角为 ，则
三、填空题
13. 已知弧长为 的弧所对圆周角为 ，则这条弧所在圆的半径为____________ ．
14. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 ．若侧面 水平放置时，液面恰好过
的中点．当底面 水平放置时，液面高为__________．
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15. 在 中， ，O 为三角形 的外心，则 为______．
16. 若 为一个三角形的三边长，则称函数 在区间 A 上为“三角形函数”．
已知函数 在区间 上是“三角形函数”，请解决以下问题：
（1） 在区间 上的值域为________；
（2）实数 m 的取值范围为_____________．
四、解答题
17. 已知复数 ，其中 为虚数单位．
（1）若 是纯虚数，求实数 的值；
（2）若 ，设 ，试求 的值．
18. 已知 ， 为锐角， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19. 已知 ， ， .
（1）求向量 ， 的夹角 ；
（2）求 .
20. 如图，已知在直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ，若将该图形中阴影部分
绕 AB 所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.
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21. 已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 解析式，并求函数 在 上的值域；
（2）求方程 在区间 内 所有实数根之和．
22. 已知 的内角，A，B，C 的对边为 a，b，c，且 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 为内角 A 的角平分线，交 边于点 D，求线段 长的最大值．
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