山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023~2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷[附解析]

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高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4． 考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案．
【详解】∵，
∴，则
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
2.已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A B.C.D.
【答案】B
【解析】
【详解】由已知得，，
又，所以，即，
所以，解得.
故选：B
3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
5.在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【详解】因为，
由正弦定理，
因为，
展开化简，
又.
故选:B.
6.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
7.如图所示，在中，，则（ ）

A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
8.如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A.5B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】将与同时展平形成一个四边形，对角线即为所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案.
【详解】连接，
将与同时展平形成一个四边形，如图，
则此时对角线达到最小，
在等腰直角三角形中，，，
在直角中，，
在中，，，，
所以，即，
对于展开形成的四边形，在中，，，，
由余弦定理有．
故选：A．
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】运用线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.
【详解】对于A,若，，则或者，故A错误；
对于B,可以用法向量来思考.，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正确;
对于C,若，，，则或者相交，故C错误；
对于D，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故D正确．
故选：BD.
10.某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A.的值为0.035
B.估计这组数据的众数为90
C.估计这组数据的第70百分位数为89
D.估计成绩低于80分的有350人
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用频率分布直方图频率之和为1，求解众数、百分位数问题.
【详解】易知，解得，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为.
故第70百分位数落在区间，设第70百分位数为，
则，解得，所以正确；
成绩低于80分的频率为，所以估计成绩低于80分的有人.故D错误.
故选：ABD.
11.在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A.若，则为锐角三角形
B.内一点满足，则是的重心
C.若，则的形状为等腰三角形
D.若，则必为垂心
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由可得角为锐角，对于B，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于C，对转化为，再两边同平方即可判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】对A，由可得，所以，由此仅可得为锐角，但可能为钝角三角形，A错；
对B，设的中点为，由可得，
所以，所以G是的重心,B对；
对C，由可得，
两边同平方化简得，由此可得的形状为直角三角形，C错；
对D，由可得，即，故，所以，
所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，D对.
故选：BD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
13.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.
【答案】
【解析】
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
14.某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为______.
【答案】10.65
【解析】
【分析】利用由部分方差求总体方差的公式求解.
【详解】由题意得，该单位全体职工的平均年龄为岁，
则该单位全体职工的方差
.
故答案为：10.65
四、解答题（本大题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知复数.
（1）若m= 0，求|z|；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据时，可求出复数，再根据复数模的概念求模；
（2）根据纯虚数的概念，可求出m 的值；
（2）实部大于零且虚部小于零得出m的范围.
【小问1详解】
因为，所以；则；
小问2详解】
若是纯虚数，则，解得或且且，即；
【小问3详解】
若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得，
所以m的取值范围是.
16.在中，角的对边分别为，满足．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，，且
由余弦定理知，即，
解得，所以面积为．
17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
连接交于点，连接，
由四边形为正方形，
可知为中点，为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.为形成节能减排的社会共识，促进资源节约型．环境友好型社会的建设，某市计划实行阶梯电价．调查发现确定阶梯电价的临界点是市民关注的热点问题．现从关注此问题的市民中随机选出200人，将这200人按年龄分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．作出频率分布直方图，如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估计全市关注此问题的市民年龄的平均数；
（3）现在要从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第二组中恰好抽到2人的概率．
【答案】（1）0.035
（2）41.5岁 （3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图即可求出a的值
（2）由图得出同组中的每个数据所在组区间的中点值，即可求出全市关注此问题的市民年龄的平均数.
（3）求出第一组和第二组分层抽样的人数，再列出从这5人中随机抽取2人进行问卷调查的所有可能方法，得出第二组中恰好抽到2人的方法总数，即可求出从第二组中恰好抽到2人的概率.
【小问1详解】
由题意及图得，组距=10，
，
解得：.
【小问2详解】
由题意，（1）及图得，组距=10，
平均数为：，
∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁.
【小问3详解】
由题意，（1）（2）及图得，组距=10，，
第一组人数：，
第二组人数：，
从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，
∴第一组抽取：，
第二组抽取：，
从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，
设这五人分别为：，
则共有下列10种抽取方法：
，
其中从第二组中恰好抽到2人的为3种，，
∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：，
∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：.
19.如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
（1）求证：平面PBD；
（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
（3）求D到平面APM的距离.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
【小问2详解】
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
【小问3详解】
由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为