山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，在中，，则（ ）

A．B．
C．D．
8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．的值为0.035
B．估计这组数据的众数为90
C．估计这组数据的第70百分位数为89
D．估计成绩低于80分的有350人
11．在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．内一点满足，则是的重心
C．若，则的形状为等腰三角形
D．若，则必为的垂心
三、填空题（本大题共3小题）
12．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
13．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高 .
14．某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数.
(1)若m = 0，求|z|；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围.
16．在中，角的对边分别为，满足．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．为形成节能减排的社会共识，促进资源节约型．环境友好型社会的建设，某市计划实行阶梯电价．调查发现确定阶梯电价的临界点是市民关注的热点问题．现从关注此问题的市民中随机选出200人，将这200人按年龄分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．作出频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估计全市关注此问题的市民年龄的平均数；
(3)现在要从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第二组中恰好抽到2人的概率．
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案．
【详解】∵，
∴，则
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选D．
2．【答案】B
【详解】由已知得，，
又，所以，即，
所以，解得.
故选B.
3．【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选B.
4．【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选D.
5．【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【详解】因为，
由正弦定理，
因为，
展开化简，
又.
故选B.
6．【答案】C
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选C.
【方法总结】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：
（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
7．【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选A.
8．【答案】A
【分析】将与同时展平形成一个四边形，对角线即为所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案.
【详解】连接，
将与同时展平形成一个四边形，如图，
则此时对角线达到最小，
在中，，，
在中，，
在中，，，，
所以，即，
对于展开形成的四边形，在中，，，，
由余弦定理有．
故选A．
9．【答案】BD
【分析】运用线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.
【详解】对于A, 若，，则或者，故A错误；
对于B,可以用法向量来思考. ，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正确;
对于C, 若，，，则或者相交，故C错误；
对于D，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故D正确．
故选BD.
10．【答案】ABD
【分析】利用频率分布直方图频率之和为1，求解众数、百分位数问题.
【详解】易知，解得，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为.
故第70百分位数落在区间，设第70百分位数为，
则，解得，所以正确；
成绩低于80分的频率为，所以估计成绩低于80分的有人.故D错误.
故选ABD.
11．【答案】BD
【分析】对于A，由可得角为锐角，对于B，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于C，对转化为，再两边同平方即可判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】对A，由可得，所以，由此仅可得为锐角，但可能为钝角三角形，A错误；
对B，设的中点为，由可得，
所以，所以G是的重心,B正确；
对C，由可得，
两边同平方化简得，由此可得的形状为直角三角形，C错误；
对D，由可得，即，故，所以，
所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，D正确.
故选BD.
12．【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
13．【答案】
【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【详解】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
14．【答案】10.65
【分析】利用由部分方差求总体方差的公式求解.
【详解】由题意得，该单位全体职工的平均年龄为岁，
则该单位全体职工的方差
.
故答案为：10.65.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据时，可求出复数，再根据复数模的概念求模；
（2）根据纯虚数的概念，可求出m 的值；
（2）实部大于零且虚部小于零得出m的范围.
【详解】（1）因为，所以；则；
（2）若是纯虚数，则，解得或且且，即；
（3）若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得，
所以m的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）因为，，且,
由余弦定理知，即，
解得，所以的面积为．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
由四边形为正方形，
可知为中点，为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18．【答案】(1)0.035
(2)41.5岁
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图即可求出a的值
（2）由图得出同组中的每个数据所在组区间的中点值，即可求出全市关注此问题的市民年龄的平均数.
（3）求出第一组和第二组分层抽样的人数，再列出从这5人中随机抽取2人进行问卷调查的所有可能方法，得出第二组中恰好抽到2人的方法总数，即可求出从第二组中恰好抽到2人的概率.
【详解】（1）由题意及图得，组距=10，
，
解得：.
（2）由题意，（1）及图得，组距=10，
平均数为：，
∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁.
（3）由题意，（1）（2）及图得，组距=10，，
第一组人数：，
第二组人数：，
从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，
∴第一组抽取：，
第二组抽取：，
从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，
设这五人分别为：，
则共有下列10种抽取方法：
，
其中从第二组中恰好抽到2人的为3种，，
∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：，
∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：.
19．【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为.
【方法总结】1.向量法求两个平面的夹角：
首先求出两个平面的法向量m，n，再代入公式cs α＝±(其中m，n分别是两个平面的法向量，α是两个平面的夹角)求解.
2.求点到平面距离的常用方法：
(1)直接法，利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．
(2)间接法，利用等体积法、特殊值法等转化求解．
(3)向量法，求点P到平面α的距离的步骤：
①在平面α内取一点A，确定向量eq \(PA,\s\up6(→))的坐标；
②确定平面α的法向量n；
③代入公式d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)求解．