安徽省蒙城县第八中学2024-2025学年高二下学期3月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份安徽省蒙城县第八中学2024-2025学年高二下学期3月考数学试卷（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 对于回归分析,下列说法错误的是( )
A. 在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,因变量不能由自变量唯一确定
B. 线性相关系数可以是正的或负的
C. 回归分析中,如果r2=1,说明x与Y之间完全线性相关
D. 样本相关系数r∈(-1,1)
3. 已知随机变量X的分布列如下表：
则实数m的值为（ ）.
A B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（ ）
A B.
C. D.
7. 某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A. 18B. 24C. 32D. 64
二、多选题
9. 某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（ ）
A. 该正态分布的均值为B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量x与y负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
11. 在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A. 抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B. 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C. 若抽到学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D. 若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为
三、填空题
12. 将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有__________种不同的分法．
13. 某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：
根据上表可得回归方程，则宣传费用9万元时，销售额为__________万元．（填整数）
14. 袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
四、解答题
15. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．
（1）求的值；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望．
16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．
（1）求甲投球次，命中次的概率；
（2）若乙投球次，设命中次数为，求的分布列．
17. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球.
（1）记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求分布列；
（2）求从乙盒取出1个红球的概率.
18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
（2）若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
19. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）选完成关于商品和服务评价的列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全为好评的次数的分布列；
②求的数学期望和方差．
附临界值表：
的观测值：（其中）关于商品和服务评价的列联表：
2024-2025学年度蒙城八中3月考试卷
数 学
一、单选题
1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据散点图判断相关变量的正负相关性及相关性强弱判断相关系数的大小即可.
【详解】由图知：（1）（3）变量呈正相关，且（1）的相关性比（3）要强，则，
（2）（4）变量呈负相关，且（2）的相关性比（4）要强，则，
所以.
故选：A
2. 对于回归分析,下列说法错误的是( )
A. 在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,因变量不能由自变量唯一确定
B. 线性相关系数可以是正的或负的
C. 回归分析中,如果r2=1,说明x与Y之间完全线性相关
D. 样本相关系数r∈(-1,1)
【答案】D
【解析】
详解】分析：利用回归分析对每一个选项逐一判断得解.
详解：A. 在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,因变量不能由自变量唯一确定,是正确的；B. 线性相关系数可以是正的或负的，因为有正相关和负相关，所以是正确的；回归分析中,如果r2=1,说明x与Y之间完全线性相关，是正确的；D. 样本相关系数r∈，所以是错误的.故答案为D.
点睛：本题主要考查回归分析，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.
3. 已知随机变量X的分布列如下表：
则实数m的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据每个随机变量取值的概率之和为1即可得到答案.
【详解】由离散型随机变量分布列性质可知：,
解得，
故选C.
4. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件概率公式求出，进而利用互斥事件概率公式求出答案.
【详解】由，.
故选：D.
5. 书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式可求出结果.
【详解】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，
则.
故选：D
6. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得出所求概率.
【详解】
故选：D
7. 某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.
【详解】解：因为每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，
所以连续射击3次，至少命中两次的概率，
故选：A.
8. 今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A. 18B. 24C. 32D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种，
若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，
则安排的方法有种，
所以总的方法数有种.
故选：A
二、多选题
9. 某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（ ）
A. 该正态分布的均值为B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据可得出该正态分布的均值，可判断A选项；利用正态密度曲线的性质可判断BCD选项.
【详解】因为，
对于A选项，该正态分布的均值为，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错.
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量x与y负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正负相关的意义判断A；利用回归直线的性质判断B；利用相关系数、决定系数意义判断CD.
【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确；
对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误；
对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故选：ABD
11. 在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A. 抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B. 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C. 若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D. 若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，设出事件，利用乘法公式求出A正确；B选项，由全概率公式得到B正确；C选项，结合B选项，利用贝叶斯公式得到C错误；D选项，利用对立事件求概率公式求出答案.
【详解】A选项，用分别表示抽到的学生是男生､女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼.
由题意得，
则，
故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为，A正确；
B选项，由全概率公式得，B正确.
C选项，由B选项可得，C错误；
D选项，由C选项可得，D错误.
故选：AB
三、填空题
12. 将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有__________种不同的分法．
【答案】90
【解析】
【分析】先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，从而可求得结果.
【详解】由题意可得先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，
所以共有种不同的分法，
故答案为：90
13. 某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：
根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额为__________万元．（填整数）
【答案】132
【解析】
【分析】由表格数据求样本中心，根据回归直线过样本中心点求，将代入方程求销售额估计值即可.
【详解】由表格数据知：，，
∴由回归方程，有：，即，故，
∴当万元时，万元.
故答案为：132.
14. 袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得取出的4只球中至少有两个红球，有三种情况，分别求出各个情况的概率，再用互斥事件的加法公式计算作答.
【详解】依题意，的事件是，，的三个互斥事件的和，
的事件是取出2只红球、2只黑球的事件，，
的事件是取出3只红球、1只黑球的事件，，
的事件是取出4只红球的事件，，
因此，，
所以的概率为.
故答案为：
四、解答题
15. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．
（1）求的值；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可.
（2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望.
【小问1详解】
根据题意可知，
“”指事件“取出的个球中，恰有个白球”，
所以.
【小问2详解】
根据题意可知，的可能取值为：．
；；．
所以随机变量X的分布列为：
则的数学期望．
16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．
（1）求甲投球次，命中次的概率；
（2）若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）甲投球次，命中次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可，
（2）由题意可求得，服从，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列
【详解】解：（1）设“甲投球一次命中”为事件，
则，
故甲投球次命中次的概率为
（2） 设“乙投球一次命中”为事件．
由题意得， 解得，
所以，
由题意得服从，则



17. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球.
（1）记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求分布列；
（2）求从乙盒取出1个红球的概率.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布概率求解；
（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.
【小问1详解】
由题可知，随机变量可能的取值有，
所以
分布列如下：
所以.
【小问2详解】
(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，
此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出1个红球的概率为；
(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，
此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
(iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，
此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
所以从乙盒取出1个红球的概率为.
18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
（2）若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（1）2人，3人，3人
（2）（i）分布列见解析，；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据甲乙丙三个部分的人数之比，即可根据比例进行计算.
（2）根据超几何分布的概率求解，即可求得分布列，进而可求期望，由所求分布列，即可得抽取三人中有睡眠充足也有不足的事件概率.
【小问1详解】
由已知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2∶3∶3，由于采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，因此甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取
【小问2详解】
（i）的可能取值为0，1，2，3

用表格表示的分布列为
（ii）由（i）知
19. 近年来我国电子商务行业迎来发展新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）选完成关于商品和服务评价的列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全为好评的次数的分布列；
②求的数学期望和方差．
附临界值表：
的观测值：（其中）关于商品和服务评价的列联表：
【答案】（1）能（2）①见解析②
【解析】
【详解】试题分析：（1）对商品的好评率为0.6，故对商品的好评120次，因此对商品好评但对服务不满意40次；剩下对服务好评但对商品不满意70次，代入卡方公式得比较表格数据得结论（2）先确定随机变量取法可以是0，1，2，3．再分别求对应概率，而每次对商品和服务全为好评的概率为，所以符合独立重复试验，二项分布，利用公式求得分布列，数学期望及方差
试题解析：解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：
，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关
（2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3．
其中，
的分布列为：
②由于，则
考点：卡方公式，概率分布与数学期望
【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
X
1
2
3
4
P
m
4
5
6
7
8
60
80
90
100
120
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
对商品不满意
10
合计
200
X
1
2
3
4
P
m
4
5
6
7
8
60
80
90
100
120
0
1
2
3
0
1
2
X
0
1
2
3
P
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10828
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
对商品不满意
10
合计
200
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
0
1
2
3