精品解析：甘肃省白银市景泰县第三中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

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（试卷满分150分，时间120分）
一．精心选一选．（将答案填在表格中，每小题3分，共计80分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．
2. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”某品种的牡丹花粉直径约为0.0000345米，则数据0.0000345用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选B．
3. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质及补角的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质得出的度数，再根据邻补角的定义得出的度数即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：D．
4. 在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，完全平方公式的形式为，即两个相同二项式的乘积．需逐一分析选项，判断是否符合该形式．
【详解】A．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意；
B．原式，符合完全平方公式，可用完全平方公式计算，故符合题意；
C．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意；
D．两括号中的项不同，既不符合平方差，也不符合完全平方公式的结构，故不符合题意．
故选B．
5. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ）
A. 守株待兔B. 大海捞针C. 返老还童D. 旭日东升
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键．
【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；
B．大海捞针是不可能事件，不符合题意；
C．返老还童是不可能事件，不符合题意；
D．旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先计算求出，再代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再合并同类项，熟知法则是解题的关键．
7. 下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的定义、平行公理、垂线的性质，熟练掌握平行线的定义和公理是解答本题的关键．
根据平行线的定义、平行公理、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】解：①在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，故原说法错误；
②过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故原说法错误；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误；
④若直线， ，则，正确．
故选：D．
8. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到（图见详解），再利用三角形的外角性质求得的度数．
【详解】解：标注如图，
，
，
又，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，解决本题的关键是能灵活运用相关的几何定理．
9. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由平行线的性质即可得出，求得，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：由题意知，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球（个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误．
所以，正确的推断是②③．
故选：C
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
二．细心填一填．（每小题4分，共计32分）
11. 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．
【答案】同位角相等，两直线平行．
【解析】
【详解】利用三角板中两个60°相等，可判定平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行
考点:平行线的判定
12. 若，则________．
【答案】27
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，由可得，把当做一个整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：27．
13. 二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 _____．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为10×10×0.6＝60，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且变动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以估计概率．
14. 若是一个完全平方式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式：，进行计算即可得．
【详解】解：∵是一个完全平方公式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．
15. 在计算结果中，不含项，则a值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式运算法则“将前面一个多项式中每一项，分别乘以后面一个多项式的每一项”将整式化简，再根据结果不含，得出含的系数为0，即可解答．
【详解】解：
∵计算结果不含项，
∴，
解得：．
故答案为： ．
16. 如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC=26°，则∠DFG=________．

【答案】77°
【解析】
【详解】试题解析：


BC∥AD，

故答案为
17. 如图，已知，，若，则=_________．

【答案】##110度
【解析】
【分析】令与的交点为，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求出的值，再根据两直线平行，同旁内角互补的性质，即可求出的值．
【详解】解：令与的交点为，
，，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
18. 已知，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
设，，则，，利用完全平方公式求解即可．
详解】解：设，，
则，，
∴
．
故答案为：．
三．用心做一做．（共88分，要求写出文字说明或计算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）(运用乘法公式)
【答案】（1）2 （2）
（3）1 （4）
【解析】
【分析】本题考查了整式的四则混合运算，负整数指数幂，零指数幂，利用平方差公式计算，解题关键是熟练掌握相关运算公式，以及运算的顺序．
（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减；
（2）利用同底数幂相乘，幂的乘方运算法则计算，再降次排列；
（3）先将后面的用平方差公式计算，再作加减；
（4）先将式子调整为平方差公式形式，再利用平方差公式展开计算；
【小问1详解】
，
．
【小问2详解】
，
．
【小问3详解】
，
，
，
．
【小问4详解】
，
，
，
．
20. 如图，直线，相交于点，过点作，平分，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角的平分线和角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于度，直角等于度，是解答本题的关键．根据角平分线的定义和垂线定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
【答案】（1）平方米
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可；
（2）代入进行计算即可．
【小问1详解】
阴影部分的面积为：

；
答：观景台的面积为平方米；
【小问2详解】
当时，
原式
平方米，
元．
答：修建观景台需要费用为元．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系．
22. 如图，已知三角形，延长到．
（1）过点在上方作射线，使(尺规作图，保留作图痕迹)．
（2）假设，若（1）中所作射线是的平分线，试求出的度数．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法，两直线平行的判定与性质，掌握用尺规作图作一个角等于已知角的方法，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）作，根据同位角相等两直线平行，可得射线，使；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可快速求解；
【小问1详解】
如下图所示，射线即为所求，
【小问2详解】
是的平分线，，
，
，
(两直线平行，内错角相等) ．
23. 完成下列填空：
如图，已知，，．试说明：．
解：因为，（已知），
所以（__________）
所以________________（________）．
所以（_________）．
又因为（已知），
所以________（等量代换）．
所以（________）．
【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．根据平行线的判定与性质即可完成推理过程．
【详解】解：因为，（已知），
所以（垂直的定义），
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同位角相等）．
又因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
24. 一个正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，三个面上标有“3”，求这个骰子掷出后：
（1）“2”朝上的概率；
（2）朝上概率最大的数；
（3）如果规定出现朝上的数为1或2时甲胜，出现朝上的数为3时，乙胜，那么甲、乙谁获胜的机会大些．
【答案】（1）
（2）3 （3）甲、乙获胜的机会相同
【解析】
【分析】（1）用面上标有2的面数除以总面数即可得出答案；
（2）概率公式直接求解即可；
（3）根据面上标有1和面上标有2的共有3面，面上标有3的有3个面，得出面数相等，从而得出甲、乙谁获胜的机会一样大．
【小问1详解】
解： ∵共有6个面，其中两个面上标有2，
∴2朝上概率，
【小问2详解】
∵共有6个面，其中一个面上标有1，两个面上标有2，三个面上标有3，
∴朝上概率最大的数是3；
【小问3详解】
出现朝上的数为1或2时的概率，
出现朝上的数为3时的概率为，
所以甲、乙获胜机会相同．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
25. 如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由于，可判断，则，由得出判断出；
（2）由，得到，由得出，得出的度数．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
26. 【知识生成】：
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式图①，从边长为的长方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）．
（1）比较图①图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．
如图3大正方形的面积有两种表示方法可以说明公式： ．
【问题探究】：
（2）①已知，，则的值为 ．
②如图 3，已知，，求的值．
【拓展计算】：
（3）
【答案】（1）；（2）①12；②7；（3）
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的几何背景是解此题的关键．
（1）用两种方法用代数式表示图、图中阴影部分的面积以及图中各个部分的面积与总面积之间的关系即可；
（2）①利用平方差公式代入计算即可；②利用完全平方公式的变形计算即可得出答案；
（3）利用平方差公式计算即可得出答案．
【详解】解：（1）图中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图是长为，宽为的长方形，因此面积为，
故；
图整体上时边长为的正方形，因此面积为，组成图的四个部分的面积和为，
故有；
（2）①，，
；
② 解：由题意可得，
∴；
（3）应用乘法公式得：
．
27. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．

【提出问题】
小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究．
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）

【拓广提升】
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数．
【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升]
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题．
探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题；
探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到；
如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到；
如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到．
【详解】解：[探究一]：，理由如下：
如图①，

∵，
∴，
∴，
∴．
[探究二]如图②，

，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
如图③，延长交于L，

∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
[拓广提升]∵射线分别平分和，
∴，
如图④，
由探究一的结论得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．