（预习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义08 直线方程（2份，原卷版+解析版）

这是一份（预习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义08 直线方程（2份，原卷版+解析版），文件包含预习人教A版高二数学暑假自主学习讲义08直线方程原卷版docx、预习人教A版高二数学暑假自主学习讲义08直线方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
1 直线的点斜式方程
若直线的斜率为k，且过定点P(x0,y0)，则直线方程为y−y0=k(x−x0)，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
解释
① 点斜式告诉我们：给定一点和斜率便可唯一确定一条直线，确定其方程.
当倾斜角为0°时，k=tan0°=0，方程为y=y0;
当倾斜角为90°时，斜率不存在，不能用点斜式表示，方程为x=x0;

② 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式；
③ 证明：直线l经过点P(x0,y0)，且斜率为k，设P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式可得k=y−y0x−x0，即y−y0=k(x−x0).
因此显然可得直线l上每一点的坐标(x,y)都满足关系式y−y0=k(x−x0).
反过来呢？坐标满足关系式y−y0=k(x−x0)的每个点都在直线l上.
事实上，若点P1(x1,y1)的坐标x1,y1满足关系式y−y0=k(x−x0)，即y1−y0=kx1−x0
当x1=x0时，点P1与P0重合，显然点P1在直线l上；
当x1≠x0时，有k=y1−y0x1−x0，这说明过点P1，P0的直线l1的斜率为k，
因为直线l,l1的斜率均为k，且都过点P0，所以它们重合，所以点P1在直线l上.
故坐标满足关系式y−y0=k(x−x0)的每个点都在直线l上.
【例】求经过点P(1,−2)，倾斜角为45°的直线方程.
解 k=tan45°=1，则直线方程为y−(−2)=1×(x−1)，即y=x−3.
2 直线的斜截式方程
我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中k为直线斜率，b为直线在y轴上的截距.
解释
截距是一个数值，不是距离；
【例1】已知直线在y轴上的截距为−3，且斜率为2，求直线的截距式方程.
解 k=2，b=−3，则直线的截距式方程y=2x−3.
3 直线的两点式方程
经过两点P1x1,y1,P2x2,y2(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程是y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
解释
① 证明：当x1≠x2时，经过两点P1x1,y1,P2x2,y2的直线斜率k=y2−y1x2−x1，再取点P1x1,y1，由点斜式可得y−y1=y2−y1x2−x1x−x1；
当y1≠y2时，可得y−y1y2−y1=x−x1x2−x1.
② 在P1x1,y1,P2x2,y2中，如果x1=x2或y1=y2，则直线P1P2没有两点式;
③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实.
【例】利用两点式求过点A(0,1)和B(1,2)的直线方程.
解 直线方程为y−12−1=x−01−0，化简为y=x+1.
4 直线的截距式方程
我们把xa+yb=1(其中a，b分别是直线在x轴、y轴上的截距且a≠0,b≠0)叫做直线的截距式方程，简称截距式.
解释
① 证明：因为直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，
由两点式可得y−0b−0=x−a0−a，即xa+yb=1.
② 使用截距式的前提是直线x轴、y轴上的截距均不为0.
【例】求经过点A(0,2)和B(−1,0)的直线方程.
解 直线的截距式方程为x−1+y2=1，化简为y=2x+2.
5 直线的一般式方程
关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
【题型一】 直线的点斜式与斜截式
【典题1】 求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2,−3)，倾斜角是直线y=13x倾斜角的2倍；
(2)过P(−2,3)，Q(5,−4)两点；
解析 (1)∵直线y=13x的斜率为13，∴倾斜角为30°．
∴所求直线的倾斜角为60°，其斜率为3．
∴所求直线方程为y+3=3(x−2)，即3x−y−23−3=0．
(2)过点P(−2,3)，Q(5,−4)两点的直线斜率kPQ=−4−35−(−2)=−77=−1．
又∵直线过点P(−2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y−3=−(x+2)，即y=−x+1．
【典题2】已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程．
解析 设l的方程为y=−x+b，则它与两个坐标轴的交点为A(b,0)和B(0,b)，
所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b|，所以其面积为12b2，由12b2=12，解得b=±1，
所以所求直线的方程为y=−x+1或y=−x−1．
变式练习
1.已知直线l的方程是y+2=−(x+1)，则( )
A．直线l经过点(−1,2)，斜率为−1 B．直线l经过点(2,−1)，斜率为−1
C．直线l经过点(−1,−2)，斜率为−1 D．直线l经过点(−2,−1)，斜率为1
答案 C
2.过点P(2,－1)且倾斜角为π4的直线方程是( )
A．x－y+1=0B．2x－2y－2－2=0C．x－y－3=0D．2x－2y+2+1=0
答案 C
解析 ∵斜率k=tanπ4=1，∴过点P(2,－1)，且倾斜角为π4的直线方程为：y+1=x－2，
即x－y－3=0，故选：C
3.斜率为－3，在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )[来源:学，科，网]
A．3x+y+6=0 B．3x−y+2=0
C．3x+y−6=0 D．3x−y－2=0
答案 C
解析 设直线方程为y=−3x+b，∵在x轴上的截距为2，∴直线过点(2,0)，则b=6，
故直线方程为y=−3x+6⇒3x+y−6=0，故选C.
4.已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l的方程为 .
答案 y=3x+1
解析 由题意知：直线l的斜率为3，则直线l的方程为y=3x+1．
5.已知直线y=kx+2k+1.则直线恒经过的定点 ．
答案 (−2,1)
6.已知直线l的倾斜角为30°，在y轴上的截距为−2，则直线l的方程为__________．
答案 y=33x−2
【题型二】 直线的两点式与截距式
【典题1】 已知△ABC的三个顶点A(1,1)，B(−2,−1)，C(3,－3)，求△ABC三条边所在的直线方程和AB边的中线所在直线的方程．
解析 由两点式方程，得直线AB的方程是y−1−1−1=x−1−2−1 整理，得2x－3y+1=0．
直线BC的方程是y+1−3−(−1)=x+23−(−2)，整理，得2x+5y+9=0，
直线AC的方程是y−1−3−1=x−13−1，整理，得2x+y－3=0．
设AB的中点D(x,y)，则x=1−22=−12,y=1−12=0，∴点D的坐标为−12,0．
∴直线CD的方程为y−0−3−0=x+123−−12，整理，得6x+7y+3=0．
因此△ABC三边AB，BC，AC及中线CD所在的直线方程分别是
2x－3y+1=0，2x+5y+9=0，2x+y－3=0，6x+7y+3=0．
【典题2】经过点(0,−2)且在两坐标轴上截距和为2的直线方程是( )
A．x2+y−2=1 B．x−2+y2=1 C．x4+y2=1 D．x4−y2=1
解析 过点(0,−2)即直线在y轴上的截距为−2，
又在两坐标轴上截距和为2，直线在x轴上的截距为−4，
则直线方程为x4+y−2=1⇒x4−y2=1，故选D.
变式练习
1.过点P1(−2,0),P2(1,3)的直线方程是( )
A．y=−x+1 B．y=−3x−6
C．y=x+2 D．y=−x−2
答案 C
解析 由两点式可得y−0x+2=3−01+2，化简得y=x+2，故选C.
2.直线经过点(−2,0)和(0,3)，则直线的方程为( )
A．x2+y3=1 B．x−2+y3=1 C．x−2+y−3=1 D．x2+y−3=1
答案 B
3.直线2x−y+6=0在x轴和y轴上的截距分别是( )
A．3,−6 B．−3,−6 C．3,6 D．−3,6
答案 D
解析 令y=0得y=−3，令x=0得y=6；则直线在x轴和y轴上的截距分别是−3,6， 故选D.
4.直线x5+y2=1和坐标轴所围成的三角形的面积是( )
A．2 B．5 C．7 D．10
答案 B
解析 直线x5+y2=1，与坐标轴的交点分别为(5,0)，(0,2)，∴直线x5+y2=1和坐标轴所围成的三角形的面积是12×2×5=5，故选B．
5.经过点A(－2,3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的方程为______．
答案 x + y=1或x−4+y6=1
解析 由题意可得设直线l的方程为xa+yb=1 ，∵直线l过点P(−2，3)， ∴−2a+32−a=1，
又a+b=2,解得：a=1或a=−4，∴直线l的方程为x + y=1或x−4+y6=1．
故答案为：x + y=1或x−4+y6=1．
6.已知直线l与x轴，y轴分别交于A,B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．
答案 x+4y－8=0
解析 由题意可设A(x,0)，B(0,y)，由中点坐标公式可得&x+02=4,&0+y2=1解得&x=8&y=2∴A(8,0)，B(0,2)．
由直线方程的截距式得l方程为x8+y2=1，即x+4y－8=0．
【题型三】 一般式方程
【典题1】 下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是( )
A．直线l的斜率为−mB．直线l的斜率为−1m
C．直线l过定点(0,1)D．直线l过定点(1,0)
解析 当m≠0时，直线l的方程可变为y=−1m(x−1)，其斜率为−1m，过定点(1,0)，
当m=0时，直线l的方程变为x=1，其斜率不存在，过点(1,0)，故AB不正确，D正确，
将点(0,1)代入直线方程得m−1=0，故只有当m=1时直线才会过点(0,1)，即C不正确，
故选：ABC．
变式练习
1.直线x−3y+1=0的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 A
解析 直线方程可化为y=33x+33，所以斜率k=33，则倾斜角为30° ，故选A.
2.已知ab