（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义10 直线的方程（2份打包，原卷版+教师版）

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学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．
知识点 直线的点斜式方程和斜截式方程
思考1 经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？
答案 不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
思考2 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件？
答案 (1)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，
(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
思考3 直线在y轴上的截距是距离吗？
答案 不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值．
1．直线的点斜式方程也可写成eq \f(y－y0,x－x0)＝k( × )
2．y轴所在直线方程为x＝0.( √ )
3．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．( √ )
4．直线y＝2x－3在y轴上的截距为3.( × )
一、求直线的点斜式方程
例1 已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
解 (1)如图所示，
因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)因为∠A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝eq \r(3)，所以直线AC的方程为y－1＝eq \r(3)(x－1)．
因为∠B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)过点P(4，－2)，倾斜角为150°；
(2)过两点A(1,3)，B(2,5)．
解 (1)∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，∴直线的点斜式方程为y＋2＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)．
(2)∵k＝eq \f(5－3,2－1)＝2，∴直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)．
二、直线的斜截式方程
例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
延伸探究
本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．
解 ∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为eq \f(1,2).
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋2.
反思感悟 求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角是直线y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角的eq \f(1,4)，且在y轴上的截距是－5.
解 (1)y＝2x＋5.
(2)∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，∴y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
(3)∵y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角为120°，∴所求直线的倾斜角为α＝120°×eq \f(1,4)＝30°，
∴k＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，∴y＝eq \f(\r(3),3)x－5.
点斜式方程和斜截式方程的应用
典例 (1) 求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点；
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
(1)证明 将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．
(2)解 由题意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
[素养提升] (1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明．
(2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养．
1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )
A．x＝3 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
答案 B
2．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
3．已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为( )
A．9 B．－9 C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)
答案 B
解析 由y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，得y＝eq \f(9,4)x－9，∴l在y轴上的截距为－9.
4．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x＋2
C．y＝－eq \r(3)x－2 D．y＝eq \r(3)x－2
答案 D
解析 ∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝eq \r(3)，∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x－2.
5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
1．知识清单：
(1)直线的点斜式方程．
(2)直线的斜截式方程．
2．方法归纳：
待定系数法、数形结合思想．
3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案 C
解析 由y＋2＝－x－1，得y＋2＝－(x＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2)．
2．直线y－2＝－eq \r(3)(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A．60°，2 B．120°，2－eq \r(3)
C．60°，2－eq \r(3) D．120°，2
答案 B
解析 该直线的斜率为－eq \r(3)，当x＝0时，y＝2－eq \r(3)，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－eq \r(3).
3．与直线y＝eq \f(3,2)x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4) B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4) D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
答案 C
4．过点(－1,3)且平行于直线y＝eq \f(1,2)(x＋3)的直线方程为( )
A．y＋3＝eq \f(1,2)(x＋1) B．y＋3＝eq \f(1,2)(x－1)
C．y－3＝eq \f(1,2)(x＋1) D．y－3＝eq \f(1,2)(x－1)
答案 C
解析 由直线y＝eq \f(1,2)(x＋3)，得所求直线的斜率为eq \f(1,2)，其方程为y－3＝eq \f(1,2)(x＋1)，故选C.
5．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝eq \f(1,2)x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－eq \f(1,2)x＋4
答案 D
解析 由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－eq \f(1,2)，∴所求直线方程为y＝－eq \f(1,2)x＋4.
6．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________．
答案 y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6
解析 因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，
又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6.
7．不管k为何值，直线y＝k(x－2)＋3必过定点________．
答案 (2,3)
解析 化为点斜式y－3＝k(x－2)．
8．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，∴2m－1＝7，得m＝4.
9．求满足下列条件的m的值．
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．
解 (1)∵l1∥l2，∴两直线斜率相等．∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1.
(2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(3,4).
10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，直线l与x轴交点坐标为(a，0)，且a比直线在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程．
解 由题意知，直线l的斜率为eq \f(3,2)，故设直线l的方程为y＝eq \f(3,2)x＋b，
由eq \f(3,2)x＋b＝0得a＝－eq \f(2,3)b，在y轴上的截距为b，所以－eq \f(2,3)b－b＝1，b＝－eq \f(3,5)，
所以直线l的斜截式方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(3,5).
11．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )
A．y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3) B．y＝－eq \f(1,3)x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝eq \f(1,3)x＋1
答案 A
解析 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－eq \f(1,3)x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－eq \f(1,3)(x－1)，即y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3).
12．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
答案 D
解析 对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D.
13．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；当k>0时，直线过第三象限；当k<0时，直线不过第三象限．
14．将直线y＝x＋eq \r(3)－1绕其上面一点(1，eq \r(3))沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________．
答案 y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)
解析 由y＝x＋eq \r(3)－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为eq \r(3).
又∵直线过点(1，eq \r(3))，∴由直线的点斜式方程可得y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)．
15．(多选)若AC＜0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 ABD
解析 将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，
∵AC＜0，BC＜0，∴AB＞0，∴k＜0，b＞0.故直线通过第一、二、四象限．
16．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
令y＝0得，x＝eq \f(2k－2,k)，由三角形的面积为2，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2k－2,k)))×2＝2.解得k＝eq \f(1,2).
可得直线l的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)，综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
2．2.2 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
知识点 直线的两点式方程和截距式方程
思考1 过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？
答案 没有．其方程为y＝y0.
思考2 方程eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1是直线的截距式方程吗？
答案 不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
1．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示．( × )
2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ )
3．直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( √ )
4．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
一、直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得eq \f(y－－4,－2－－4)＝eq \f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(a，b)，则a＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(－4＋－2,2)＝－3，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
又BC边的中线过点A(－3,2)，所以eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－－3,\f(5,2)－－3)，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
延伸探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．
解 kBC＝eq \f(－4－－2,5－0)＝－eq \f(2,5)，则BC边的垂直平分线的斜率为eq \f(5,2)，
又BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，由点斜式方程可得y＋3＝eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，即10x－4y－37＝0.
反思感悟 利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．
(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以eq \f(y－1,－3－1)＝eq \f(x－－2,3－－2)，所以eq \f(y－1,－4)＝eq \f(x＋2,5)，化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
例2 求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
延伸探究 (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0，符合题意．
(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l过点(5,2)，∴eq \f(5,2a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝eq \f(9,2).∴l的方程为x＋2y－9＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
跟踪训练2 (多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A．y＝eq \f(3,2)x B．x＋y＝5 C．y＝－eq \f(3,2)x D．x＋y＋5＝0
答案 AB
解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当a＝b≠0时，直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5，当a＝b＝0时，k＝eq \f(3,2)，∴y＝eq \f(3,2)x，综上所述，y＝eq \f(3,2)x和x＋y＝5.
直线方程的灵活应用
典例 已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 如图．
(1)因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称．
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上．
由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.
(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，即2x＋y－5＝0.
[素养提升] (1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．
(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养．
(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．
1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1 C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1
答案 A
2．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6
答案 B
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
3．过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是( )
A.eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1 B.eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝0 C.eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1 D.eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1
答案 C
4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
5．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得eq \f(y－3,5－3)＝eq \f(x－1,2－1)，即2x－y＋1＝0.
1．知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．
1．(多选)下列说法中不正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
C．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式
D．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式
答案 ABC
2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
答案 D
解析 由直线的两点式方程，得eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－3,4－3)，化简得x－y－1＝0.
3．直线eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
答案 B
解析 令x＝0，得y＝－b2.
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,5) D．2
答案 A
解析 由两点式eq \f(y－1,9－1)＝eq \f(x＋1,3＋1)，得y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－eq \f(3,2)，即为在x轴上的截距．
5．若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 010，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 021 B．2 020
C．2 019 D．2 018
答案 A
解析 由直线的两点式方程得直线l的方程为eq \f(y－－1,5－－1)＝eq \f(x－－1,2－－1)，即y＝2x＋1，
令x＝1 010，则有b＝2×1 010＋1，即b＝2 021.
6．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．
答案 3x＋y－6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，eq \f(y－0,3－0)＝eq \f(x－2,1－2)，整理得3x＋y－6＝0.
7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________________．
答案 eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1
解析 设A(m，0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，
则l的截距式方程是eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1.
8．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案 －2
解析 由直线方程的两点式，得eq \f(y－－1,4－－1)＝eq \f(x－2,－3－2)，即eq \f(y＋1,5)＝eq \f(x－2,－5).∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
9．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解 设直线方程的截距式为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1.则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的截距式方程．
解 (1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0－2,2)))，BC边的中点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋7,2)，\f(y0＋3,2)))，
因为M在y轴上，所以eq \f(x0＋5,2)＝0，解得x0＝－5.
又因为N在x轴上，所以eq \f(y0＋3,2)＝0，解得y0＝－3.即C(－5，－3)．
(2)由(1)可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，
所以直线MN的截距式方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－\f(5,2))＝1.
11．直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 B
12．若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l的截距式方程为eq \f(x,－a)＋eq \f(y,－b)＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
13．两条直线l1：eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1和l2：eq \f(x,b)－eq \f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 两条直线化为截距式分别为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，eq \f(x,b)＋eq \f(y,－a)＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．
14．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )
A.eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1 B.eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1
C.eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,3)－eq \f(y,6)＝1
答案 B
解析 A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－3)＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1.
15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.
16．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，
则在y轴上的截距为－a(a≠0)，故直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
2．2.3 直线的一般式方程
学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
知识点一 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
思考 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
答案 都可以，原因如下：
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
知识点二 直线的五种形式的方程
思考 当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
答案 (1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－eq \f(C,B)，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－eq \f(C,A)，表示与x轴垂直的一条直线．
知识点三 直线各种形式方程的互化
1．任何直线方程都能表示为一般式．( √ )
2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × )
3．对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( × )
4．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．( × )
一、直线的一般式方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)；
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，即eq \r(3)x－y－5eq \r(3)＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)，即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1 (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－eq \f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案 ①x＋2y＋4＝0 ②2x－y－3＝0 ③x＋y－1＝0
(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
答案 D
解析 直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
∵所求直线过点A且斜率为－eq \f(1,2)，∴所求直线的方程为y＋2＝－eq \f(1,2)x，即x＋2y＋4＝0.
二、直线的一般式方程的应用
例2 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝eq \f(2m－6,m2－2m－3)，
∴eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq \f(5,3)或m＝3(舍去)．∴m＝－eq \f(5,3).
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq \f(1,2)且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程得y＝eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq \f(6－2m,2m2＋m－1)，则eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解 ∵直线l与y轴平行，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,－2m2＋m－1＝0，,6－2m≠0，))∴m＝eq \f(1,2).
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2 (1)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝________.
答案 1
解析 由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝eq \f(2,a)，∵2＝eq \f(2,a)，∴a＝1.
(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
解 整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))所以直线l经过定点M(1，－1)．
一般式下直线的平行与垂直的问题
典例 已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.
解 (1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，∴m＝－eq \f(2,5).
(2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，l1∥l2；当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去．
∴m＝－3.
[素养提升] (1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，
则l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养．
1．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案 C
2．在直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
答案 D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)
答案 C
解析 kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
答案 3
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.
1．知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线五种形式方程的互化．
(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直．
2．方法归纳：分类讨论法、化归转化．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况．
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为( )
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案 D
解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案 A
解析 过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为eq \f(1,2)，
由点斜式求得直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
3．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是( )
A.eq \f(3x,4)－eq \f(y,2)＝1 B.eq \f(x,\f(4,3))＋eq \f(y,－2)＝1 C.eq \f(x,\f(1,3))－eq \f(y,\f(1,2))＝4 D.eq \f(3,4)x－eq \f(y,－2)＝1
答案 B
解析 由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即eq \f(3,4)x－eq \f(2,4)y＝1 , 即eq \f(x,\f(4,3))＋eq \f(y,－2)＝1，
所以直线的截距式方程为eq \f(x,\f(4,3))＋eq \f(y,－2)＝1.
4．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．0或2
C．2 D．－1
答案 D
解析 由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.
当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A．－eq \r(3)，－1 B.eq \r(3)，－1 C．－eq \r(3)，1 D.eq \r(3)，1
答案 A
解析 原方程化为eq \f(x,\f(1,a))＋eq \f(y,\f(1,b))＝1，∴eq \f(1,b)＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)＝a，
且eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°＝－eq \r(3)，∴a＝－eq \r(3)，故选A.
6．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
7．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －eq \f(4,15)
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－eq \f(4,15).
8．若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k＝________.
答案 －1或3
解析 直线l经过原点时，可得斜率k＝3.
直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，
∴经过点(a，0)，(0，a)．(a≠0)．∴k＝－1.综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.
9．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解 方法一 由题意l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq \f(3,4).
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).
又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，
又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
10．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
解 (1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝eq \f(5±\r(5),2).
∴若这两条直线垂直，则k＝eq \f(5±\r(5),2).
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 ∵k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0.所以倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是( )
A．m＝1 B．m＝±1
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n≠－1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n≠－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n≠1))
答案 D
解析 令m×m＝1×1，得m＝±1.
当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.
当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
13．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点( )
A．(3,2) B．(－3,2)
C．(－3，－2) D．(3，－2)
答案 A
解析 由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2)．
14．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________．
答案 4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
解析 由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，
令y＝0，得x＝－eq \f(c,4)，令x＝0，得y＝－eq \f(c,3)，则S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,4)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,3)))＝6，得c2＝122，c＝±12，
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
15．(多选)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C．－2 D. 2
答案 BD
解析 当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2.当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，
由题意知，当a＝0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距为eq \f(2＋a,a)，
与在y轴上的截距2＋a相等，可得eq \f(2＋a,a)＝2＋a，解得a＝1或a＝－2(舍)．综上知，a＝－2或1.
所以直线l的斜率为－1或2.
16．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线y－1＝0上，∴设B点坐标为(x，1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)，2)).
又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，
∴eq \f(x＋1,2)－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
截距
直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y轴上的截距分别为a，b
( a≠0，b≠0)
示意图
方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
适用范围
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
形式
方程
局限
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
x1≠x2，y1≠y2
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
无