陕西省延安市2025届高三下学期5月押题数学试卷（解析版）

这是一份陕西省延安市2025届高三下学期5月押题数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=x∣(x-1)20)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在曲线C上，AF1=13，AF2=7，cs∠F1AF2=1113，则C的离心率为 ．
【答案】43
【解析】因为双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，且AF1=13，AF2=7，
由双曲线的定义，可得2a=PF1-PF2=6，所以a=3，
又因为cs∠F1AF2=1113，
由余弦定理得F1F22=PF12+PF22-2PF1PF1cs∠F1AF2，
可得4c2=132+72-2×13×7×1113=64，所以c=4，
所以双曲线C的离心率e=ca=43.
故答案为：43.
14．已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱与底面所成的角为45∘，A1B1=2AB=22，则该四棱台的体积为 ．
【答案】143
【解析】由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为45∘，
所以高为4-22=1，则四棱台的体积V=13×1×2+8+2×8=143.
故答案为：143
四、解答题
15．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：
（1）根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
解：（1）由2×2列联表中的数据，
可得χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d=50×(20×5-10×15)230×20×35×15=50×2500315000≈0.397，
因为0.3971000的n的最小值．
解：（1）因为S3=6，故a1+a2+a3=6，故2a1+a2+2=6即2a1+a2=4，
而T3=7，故b1+b2+b3=6，故a1+a1q+q2a1=7，
而2a1+a2=4即为2a1+a1q=4，故42+q1+q+q2=7，
故q=2或q=-54，当q=-54时，a1=163，不合题意，舍；
故q=2，此时a1=1，故bn=2n-1.
（2）由（1）得b2=2，Tn=1×1-2n1-2=2n-1，
所以an=1+2×k-1,n=2k-12+3(k-1),n=2k,k∈N*，即an=2k-1,n=2k-13k-1,n=2k,k∈N*，即an=n,n=2k-132n-1,n=2k,k∈N*，
当n为偶数时，Sn=a1+a3+⋯+an-1+a2+a4+⋯+an =n1+n-14+n2+3n2-14=5n2+2n8，
令2n-1+5n2+2n8≥1000，
因为28-1+5×82+2×88=2971000；
当n为奇数时，Sn=Sn+1-an+1=5n+12+2n+18-3×n+12+1 =5n2+38，
令2n-1+5n2+38≥1000，
因为29-1+5×92+38=5622047>1000，
又因为fn=2n-1+5n2+2n8n=2k,k∈N*和gn=2n-1+5n2+38n=2k-1,k∈N*均单调递增，
故n的最小值为10.
17．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，E是PB的中点，F是PC的中点，EF⊥AC．
（1）求证：平面AEF⊥平面PAC；
（2）若AC=2，AB=5，且二面角A-PB-C的正弦值为265，求三棱锥P-ABC外接球的表面积．
（1）证明：因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC，
而PF=FC,PE=EB，故EF//BC，故EF⊥PA，
而EF⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC，故EF⊥平面PAC，
而EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PAC.
（2）解：由（1）EF⊥平面PAC，而EF//BC，故BC⊥平面PAC，
因为EF⊥AC，故BC⊥AC，故BC=1，
故可以C为原点，以CA,CB所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，
故A2,0,0,B0,1,0,C(0,0,0)，设P2,0,pp>0，
则PB=-2,1,-p,CB=0,1,0,AP=(0,0,p)，
设平面PAB的法向量为m=x,y,z，则m⋅PB=0m⋅AP=0，
所以-2x+y-pz=0pz=0，取m=1,2,0.
设平面PCB的法向量为n=a,b,c，则n⋅CB=0n⋅PB=0，
所以b=0-2a+b-pc=0，取n=p,0,2.
因为二面角A-PB-C的正弦值为265，
故1-2652=csm,n=m⋅nm⋅n=p5×p2+2=15，故p=1，
因为PA⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，故PA⊥AB，
同理BC⊥CP，故PB的中点到P,B,A,C的距离相等，
故PB的中点为三棱锥P-ABC外接球的球心，而PB=1+5=6，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4π×622=6π.
18．已知函数fx=x-lnxex-1．
（1）证明：x-1≥lnx；
（2）证明：fx在其定义域内为减函数；
（3）若在fx的定义域内，fx≤1ax恒成立，求实数a的取值范围．
（1）证明：令hx=x-1-lnxx>0，则h'x=1-1x=x-1x，
当x∈0,1时，h'x