天津市滨海新区天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考 数学试题（含答案）

这是一份天津市滨海新区天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考 数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了、选择题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
一 、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队 员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的 样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为()
A.18 B.16 C.15 D.9
满意率/%
40 30 20 0L
i
户型
[ 震 室
四居室
2.已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和②所示，为了解 该小区户主对户型结构的满意程度，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20%的户主 进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()
图②
二主5四主人户
三居室户
主400人
图①
A.160;12 B.120,12 C.160,9 D.120,9
3.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程(单位：千米), 其数据分别为17,21,15,8,9,13,11,10,20,6,则这组数据的75%分位数是( )
A 12 B.16 C.17 D.18.5
4.复数z 满足z(1+i)= √7+3i, 则复数 )
A.2-i B.2+i C.2-2i D.8+8i
→ →
5.设 a=(m 12),b=(2m,-6),若a⊥b,则 m=()
A.-6 B.0 C.6 D.±6
6.棱长为2的正方体的内切球的体积为( )
A B.√3π C D.2π
7.在△ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若 a:b:c=3:5:7, 则△ABC )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
8.已知1,m,n 表示三条不同的直线，α,β表示不同的平面，则下面命题是真命题的是()
A. 若α⊥β,1⊥β,则1//α B. 若m//n,m⊥α,l n, 则l1α
C. 若m ⊥α,nca,I ||m,则l⊥n D. 若 m//α,n//α,m Cβ,nc β,则α//β
9.如图，在三棱锥D-ABC中 ，AC=BD,且 AC⊥BD,E,F 分别是棱
DC,AB 的中点，则EF 和 AC 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°
10.完殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、 “吴殿”,清 代称为“四阿殿”,如图(1)所示.现有如图(2)所示的庑殿顶式几何体ABCDMN,其中正方形A BCD边长为3,MNI AB, ,且MN 到平面ABCD的距离为2,则几何体 ABCDMN 的体积
为( )
图 1 图 2
A. B. C. D.
二 、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11.若复数(1-i)(a+i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
12.已知某圆锥体的底面半径r=2, 沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角 为 的扇形，则该圆锥体的表面积是_
13.已知向量 a=(-1,0), 向量 b=(7.2), 则b 在a 上的投影向量是_ (注：.本题答案
用坐标表示)
14. 在四棱锥P-ABCD 中 ，PA⊥平面 ABCD, 底面ABCD 是正方形， 且PA=AB=4 , 则直线PB与平面PAC 所成角为_
15.如图，正八面体是具有八个面、每个面都是全等的正三角形的立体结 构图形，在自然界中，正八面体结构广泛存在于各种矿物、化合物和生 物体中，它是一个具有高度对称性的结构，具有独特的物理、化学和生 物性质.若正八面体的棱长为1,则其外接球的表面积为
16.已知梯形ABCD 中，∠BAD=90°,AB//CD,AB=3,AD= √3DC=1, 若 BH=λBC, CE=λCD,λ∈[0], 则 AE·A H 的取值范围为
三 、解答题
频率 组距
a
17. (10分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性 荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益
25
0.025
者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文 0.020
0.010
0.005
405060708090100 分 数
明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞 赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的
成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成
六段：(40,50),(50,60), …,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值及样本成绩的第75百分位数；
(2)求样本成绩的众数和平均数；
(3)已知落在(50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在[60,70]的平均成绩为66,方差是4, 求两组成绩合并后的平均数 ∑和方差s² .
附：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分
别为： 。记总的样本平均数为w,
18. (12分)在△ABC中 ，a,b,c分别是角A,B,C 的对边，且(2a+c)csB+bcsC=0.
(1)求角B 的大小；
(Ⅱ)若b= √73,ac =3,求△ABC的面积和周长.
19. (12分)如图，在三棱柱 ABC-A,B₁C 面 ，AB⊥BC,AA₁=AC=2,BC=7,E,F
C 的中点.
(1)求证：平面ABE1 平面B1 BCC1.
(2)求证：C1 F//平面ABE.
(3)求三棱锥 E-ABC 的体积.
中，侧棱垂直于底 分别是A₁C₁,B
20.(12分)如图，在正方体ABCD--A1 B₁C1 D₁ 中，M,N, S分别是AB,A1 C,AD的中点，AB=2.
(1)若A₁B 中点为Q, 求证：平面MNQ//平面A₁AD;
(2)求二面角.S-A₇C-M 的大小；
(3)求点C 到平面A1 BD的距离.
天津经济技术开发区第一中学2024—2025学年度第二学期 高一年级数学学科阶段检测试卷答案
一、选择题
1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D
二、填空题
11:(一 ∞,-1) 12:16π 13:(1,0) 14:30° 15:2π 16:
三、解答题
17: 解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1,
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,∴a=0.030;
成绩落在(40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,
落在(40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9,
设第75百分位数为m, 由0 .65+(m-80)×0.025=0.75, 得m=84, 故第75百分位数为84;
(2) , 样本成绩的众数为75.
45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74,得样本成绩的平均数为74 (3)由图可知，成绩在(50,60)的市民人数为100×0.1=10,
成绩在(60,70)的市民人数为100×0.2=20,
所 ,
18:(I) 由余弦定理的推论得 ,将其代入(2a+c)csB+bcsC=0,
整理得a²+c²-b²=-ac,∴ ∵角B为△ABC的内角，∴
(II)在△ABC中，
在△ABC中，由余弦定理b²=a²+c²-2accsB, 得b²=(a+c)²-2ac-2accsB, 将b=√ 13,ac=
3,入得 , ∴a+c=4,
故△ABC的周长C△ABC=a+c+b=4+√ 13.
19:(1)在三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，因为BB,⊥底面ABC,AB C平面ABC, 所以BB₁⊥AB.
又因为AB⊥BC,BB₁∩BC=B,BB₁,BC c平面B₁BCC₁, 所以AB1 平面B₁BCC₁ .
又AB C平面ABE, 所以平面ABE1 平面B₁BCC₁ .
(2)如图，取AB的中点G, 连接EG,FG.
因为G,F 分别是AB,BC 的中点，所以FG//AC, 且
因为E为A₁C₁1的中点，AC//A₁C₁, 且AC=A₁C₁,
所以FG//EC₁, 且FG=EC₁, 所以四边形GFC₁E为平行四边形，所以C₁F// EG. 又因为EG c平面ABE,C₁Fø 平面ABE, 所以C₁F// 平面ABE.
(3)因为AA₁=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB=√AC²-BC²=√3,
所以三棱锥E-ABC 的体积
20:(1)因为Q为A₁B的中点，M 是AB的中点，所以MQⅡ AA₁, 又因为MQα平面AA₁D, AA₁c 平面AA₁D, 所以MQⅡ 平面A₁AD,
因为N 是A₁C的中点，Q 是A₁B的中点，所以QN//BC, 因为BC//AD, 所以QN//AD,
因为QNα平面AA₁D,ADc 平面AA₁D, 所以QNⅡ 平面A₁AD 因为QN,MQC 平面MNQ,NQ nMQ=Q,所以平面MNQ//平面A₁AD
(2)连接SN,SM,MC,A₁S,A₁M, 因为M,N,S 分别是AB,A₁C,AD 的中点，正方体的棱长为2, 所以CM =A₁M=√5,SC=A₁S=√5,所以A₁C⊥MN,SN ⊥A₁C,
所以∠SNM为二面角S-A₁C—M 的平面角，在△A₁MC中 ，CM=A₁M=√5, A₁C= √2²+2²+22=2 √3, 所 以MN= √2, 同理可得NS= √2,
因为SM=√AS²+AM²=√2, 所以△SNM为等边三角形，所以
所以二面角S-A₁C—M 的平面角为
(3)由题意可得A₁D=BD=A₁B=2√2, 所以
设点C 到平面BDA₁的距离为h, 由等体积法Vc-BDA₁=VA₁-BDC, 可得
, 所 ,解
所以点C到到平面BDA₁的距离