天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
2. 以虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（ ）
A 9B. C. 21D.
5. 设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，， 且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A B. C. D.
8. 在中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）．
A. B. C. D. 2
10. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11 __.
12. 若实数满足，其中为虚数单位，则________.
13. 已知向量 ，若，，则________.
14. 在四边形中， 若且，则的面积为__________.
15. 已知的内角的对边分别为，若，则__________．
16. 在△ABC中，，， ， F为线段AB上一点，则 的取值范围为_________.
三、解答题：本题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，其中i为虚数单位，．
（1）若z为纯虚数，求；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
18. 已知向量 和 ，则 ,, 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 夹角θ的余弦值．
19. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点，

（1）用，表示，；
（2）如果，，求的面积．
20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
（1）求角；
（2）若，，求边及的面积；
（3）在（2）的条件下，求的值.
天津经济开发区第一中学2024-2025学年第二季度
高一年级数学学科
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.
2. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法和复数实部以及虚部的概念即可.
【详解】因为的虚部为，的实部为，
所以新复数实部为，虚部为，即.
故选：A.
3. 已知，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量夹角公式直接求解得结果.
【详解】设向量与的夹角为，则，
由于，所以.
故选：C
【点睛】本题考查向量夹角，考查基本求解能力，属基础题.
4. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（ ）
A. 9B. C. 21D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，物体从点处移动到点处，可得,
因为力，所以力对物体所做的功为.
故选：C.
5. 设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底
【详解】解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意；
对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意；
对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意；
对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意，
故选：C
6. 已知，， 且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算公式可得解.
详解】设，
由，，
则，，
又，
则，解得，
即，
故选：D.
7. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.
【详解】，故，解得，所以，
则在方向上的投影向量为.
故选：A.
8. 在中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】和的分别为和的方向向量，结合可判断的形状，再由数量积的运算可求，再根据三角形内角和为，即可求解.
【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以，
因为，,所以，
则．
故选：D
9. 如图，，与的夹角为，与的夹角为，若，则等于（ ）．
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.
【详解】将沿与方向进行分解，如图，
由平行四边形法则有，且，所以
，又，，在中，，
即.
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
10. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11. __.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量加法法则求解．
【详解】
故答案为：
12. 若实数满足，其中为虚数单位，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数相等来计算即可.
【详解】根据复数相等可得：，解得：，所以.
故答案为：.
13. 已知向量 ，若，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由向量的坐标运算即可得到向量的坐标，再由向量的模长公式，即可得到结果.
【详解】设，则，
由，可得，解得，
则，所以.
故答案为：
14. 在四边形中， 若且，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的加法运算可得相等向量，即可判断四边行是菱形，从而可求面积.
【详解】
由，
可得四边形平行四边形，又因为，
所以四边形是菱形，可得，
所以是等边三角形，所以有，可得，
即的面积为：，
故答案为：.
15. 已知的内角的对边分别为，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值.
【详解】由余弦定理可得，
所以，
于是有.
故答案为：.
16. 在△ABC中，，， ， F为线段AB上一点，则 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，因为是线段上的点，所以，求出点的坐标，代入，由二次函数的性质即可求出答案.
【详解】
因为，
是以为坐标原点，建立直角坐标系，
，因为是线段上的点，
所以，所以，
所以，，所以，
，
当时，有最大值，当时，有最小值.
所以的取值范围是.
故答案为：
三、解答题：本题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，其中i为虚数单位，．
（1）若z为纯虚数，求；
（2）若复数z在复平面内对应点在第四象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果.
（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.
【小问1详解】
由z为纯虚数，得，解得，则，
所以
【小问2详解】
由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
18. 已知向量 和 ，则 ,, 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 的夹角θ的余弦值．
【答案】（1）；
（2）；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）（2）根据平面向量数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【小问1详解】
∵ ,, .
∴ ；
【小问2详解】
∵,
∴ ；
【小问3详解】
∵,
∴
19. 如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点，

（1）用，表示，；
（2）如果，，求的面积．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）将，作为基底，利用向量的加减法法则结合点是的中点，点是的三等分点可表示出，；
（2）先计算可得，然后分别求出，从而可求出的面积．
【小问1详解】
因为是的三等分点，
所以
因为是的中点，
所以；
【小问2详解】
，
因为为矩形，所以，
又，，
所以，即，
，
同理可得，
所以，，即三角形的面积为．
20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
（1）求角；
（2）若，，求边及的面积；
（3）在（2）的条件下，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；
（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.
（3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.
【小问1详解】
因为向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，则，显然，
则，又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理的，
整理得，解得或（舍），
所以的面积.
【小问3详解】
由正弦定理得，即，解得，
因为，故角为锐角，故，
，
，
.