黑吉辽蒙四省2024-2025学年高一下学期期末测试 数学试题（含答案）

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(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 测试范围：人教A版2019必修第二册全部内容。
5. 难度系数：0.65.
第一部分(选择题共58分)
一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 复 数z 满足 z(1+i)=1√7+3i|, 则复数z=()
A.2-i B.2+i C.2-2i D.8+8i
2. 设a=(m,12),b=(2m,-6), 若 a1b, 则 m=()
A.-6 B.0 C.6 D.±6
3. 某圆锥的侧面展开图是面积为3π,圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为()
B.4√2 C.2√2 D.2
4. 一艘轮船北偏西65°方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为16海里，该轮船以20海里/时的速度沿南 偏西55°的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为()
A.14 海里 B.16 海里 C.18 海里 D.12 海里
5. 如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B'=1,B'C′=3, 则原四边形ABCD的 周 长 为 ( )
A.12 B.2√5+6 C.2√35+6 D.2√33+6
6. 据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考 科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这 三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E= “选择生物学科”,F=“选择一门理科学科”,G=“选择 政治学科”,H= “选择一门文科学科”,则下列说法正确的是()
A.G 和 H 是互斥事件但不是对立事件 B.F 和 H 是互斥事件不是对立事件
C.P(F)+P(G)=1 D.P(EuH)=P(E)+P(H)
7. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为1,底面三角形的三边长分别为3,4,5,用这两个三棱柱拼成一个三 棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为( )
1 4 3、 5
A.36 B.38 C.40 D.42
8. VABC 中， 则 ·的 取 值 范 围 是 ( )
B. D.
二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 . 记,则下列结论正确的是()
A.|w|=1 B.w²+w=-1 C.w²⁰25=1 D.w²+w=0
10. 在 VABC 中 ，AB=2,AC=3, ,D 为边BC 上 一 动 点 ， 则 ( )
A.BC=√ 7
B.△ABC 的外接圆半径为
C. 当 D 为 BC 中点时，
D. 当AD 为 角A的角平分线时，
11. 如图，在棱长为2的正方体中ABCD-ABCD₁,E 为线段CC₁ 的 中 点 ，F 为线段A₁B 上的动点(含端
点),则下列结论正确的有()
A. 过A,D,E 三点的平面截正方体ABCD-AB₁C₁D 所得的截面的面积为
B. 存在点F, 使得平面EF// 平面AD₁C
C. 当F 在线段AB 上运动时，三棱锥C-AFD₁ 的体积不变
D.FA+FC 的最小值为2 √2+ √2
第二部分(非选择题共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第13题第一空2分，第二空3分.
12. 已知向量a=(-1,0), 向量b=(1,2), 则b 在a 上的投影向量是 (注：本题答案用坐标表示)
13. 在某次活动中，登记的8个数据x₁,x₂,x₃,…,xg 的平均数为8,方差为16,其中x=7. 后来发现x₁ 应该
为10,并且漏登记了一个数据14,则修正后的9个数据的平均数为 _,方差为
14. 在三棱锥P-ABC 中 ，ABIBC, 点 P 在底面的投影O 为VABC的外心，若AB=4,BC=3,PO=5, 则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 . (13分)
VABC内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知sin(B-C)+sin(B+C)=sin B.
(1)求角C;
(2)若c=2√3,VABC 的面积为2 √ 3.求VABC的周长.
16 . (15分)
树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”
工作的认可程度，若学生认可系不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实 施，否则需进一步整改.为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程 度给出的评分，分成[50,60],[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.
个频率/组距
0.030
0.025 0.020
0.015
x
0 5060708090100评分
(1)求频率分布直方图中x的值和第70百分位数(结果保留两位小数);
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分 组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在(60,70)的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
17 . (15分)
在VABC中 ，BD=2DC,E 为AC 中点，BE与AD 交于点F.
(1)设AF=λAD, 求实数λ的值；
(2)若∠ABC=90°,AB=2,AC=3, 设 M 是AD 上一点，且MB·MA=MC·MB, 求FM·CA 的值.
18 . (17分)
如图1,在矩形ABCD中 ，AB=4,AD=2, 将△BCD沿BD 翻折至△BC₁D, 且AC₁=2√3, 如图2所示.
图 1
图 2
在图2中：
(1)求证：平面 ABC₁1 平面AC₁D;
(2)求点C 到平面ABD的距离d;
(3)求二面角C₁-BD-A 的余弦值.
1 9 . ( 1 7 分 )
在VABC 内一点P 满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a, 则称 P 为VABC 的布洛卡点，a 为布洛卡角. 小明同学
对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如∠APC=π-∠BAC=∠ABC+∠ACB, 若 下 列问题中的点P 为 VABC 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：
(1)当AB=AC=2, 且 时，求tana;
(2)角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∠ABP=∠PBC=a, 求证：b²=ac;
(3)在(2)的条件下，若VABC 的周长为4,试把BA·BC 表示为b 的 函 数f(b), 并 求f(b) 的值域 .