2024-2025学年内蒙古部分学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古部分学校高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5,sinB=25,sinA=23，则b=( )
A. 3B. 4C. 43D. 34
3.已知集合A={x|−1bB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a
7.某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中( )
A. 直线AB与CD相交，且直线AB与CD的夹角为π4
B. 直线AB与CD相交，且直线AB与CD的夹角为π3
C. 直线AB与CD异面，且直线AB与CD的夹角为π4
D. 直线AB与CD异面，且直线AB与CD的夹角为π3
8.sin50°+sin10°−sin110°=( )
A. 2sin20°B. 2cs20°C. 0D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=4−2i，则( )
A. z的虚部为2B. z的共轭复数为4+2i
C. z1−i=2+iD. z1−i在复平面内对应的点位于第一象限
10.从装有除颜色外完全相同的2个红球(编号为1，2)和2个白球(编号为3，4)的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则( )
A. 甲和乙为互斥而不对立事件B. 丙和丁为互斥而不对立事件
C. P(甲)=13D. 甲和丁为独立事件
11.已知函数f(x)=lg2x+lg2(8−x)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图象是轴对称图形B. f(x)在(0,3)上单调递增
C. f(x)的值域为(0,4]D. f(x)恰有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.| 3−5i|= ______．
13.已知函数f(x)=sin(ωx−πω)(ω>0)的最小正周期为π2，且f(x)的图象关于点(a,0)对称，则ω= ______，a的最小正值为______．
14.已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为256π15，则该圆锥外接球的半径为______，该圆锥的底面半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲机床一天内生产的零件的重量(单位：g)从小到大为6，7，8，9，10，10，11，12，13，14．
(1)求这组数据的60%分位数；
(2)求这组数据的平均数x−和标准差s；
(3)求零件重量位于x−−s和x−+s之间的个数及所占的百分比．
参考数据： 6≈2.45．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2+ab−c2=0．
(1)求C；
(2)若c=7,asinB=157sinC，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
已知平行四边形ABCD的三个顶点A(−1,0)，B(3,3)，C(4,5)，且A，B，C，D按逆时针方向排列．
(1)求点D的坐标；
(2)求向量AB与AD夹角的余弦值；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
18.(本小题17分)
某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1，2，3，4题的概率分别为12，13，14，15，且每道题目能否答对都是相互独立的．
(1)求甲得10分的概率；
(2)求甲得3分的概率；
(3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.(本小题17分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，G分别为AB，BB1的中点，AA1=AB=4，B1E=3EB．
(1)证明：DE//平面AGC；
(2)证明：A1D⊥平面CDE；
(3)若点M在△DEC的三边上运动，直线C1M与平面DEC所成的角为α，求tanα的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.C
9.BD
10.AD
11.ABD
12.2 7
13.4 π16
14.8 1515 1
15.(1)甲机床一天内生产的零件的重量(单位：g)从小到大为：
6，7，8，9，10，10，11，12，13，14，
∵10×60%=6，
∴这组数据的60%分位数为10+112=10.5．
(2)x−=6+7+8+9+10+10+11+12+13+1410=10，
∴s= 42+32+22+12+12+22+32+4210= 6．
(3)由题意得x−−s=10− 6≈7.55,x−+s=10+ 6≈12.45，
则零件重量位于x−−s和x−+s之间的有8，9，10，10，11，12，共6个，
∴零件重量位于x−−s和x−+s之间的个数及所占的百分比为610=60%．
16.(1)因为a2+b2+ab−c2=0，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12．
因为C∈(0,π)，所以C=2π3．
(2)因为asinB=157sinC，c=7，
所以ab=157c=15，
由(1)可知c2=a2+b2+ab=(a+b)2−ab=(a+b)2−15=49，
即(a+b)2=64，
所以a+b=8，
所以△ABC的周长为a+b+c=15．
17.(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(−1,0)，B(3,3)，C(4,5)，且A，B，C，D按逆时针方向排列，
则AB=(3,3)−(−1,0)=(4,3)，
设D(x,y)，
则DC=(4,5)−(x,y)=(4−x,5−y)，
由AB=DC，
得4−x=45−y=3，
得x=0y=2，
所以点D的坐标为(0,2)．
(2)由题意得AD=(0,2)−(−1,0)=(1,2)，
AB⋅AD=4×1+3×2=10，|AB|= 42+32=5，|AD|= 12+22= 5，
所以向量AB与AD夹角的余弦值为AB⋅AD|AB||AD|=2 55．
(3)由(2)可知向量AB与AD夹角的余弦值为2 55，
则向量AB与AD夹角的正弦值为 1−(2 55)2= 55，
所以平行四边形ABCD的面积为2×12×|AB|×|AD|× 55=5．
18.(1)甲得10分的概率为12×13×14×15=1120；
(2)甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题，
故甲得3分的概率为12×13×(1−14)×(1−15)+(1−12)×(1−13)×14×(1−15)=16；
(3)若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题，
甲答辩成功的概率为(1−12)×(1−13)×14×15=160，
若甲恰好答对3道题目答辩成功，
则甲答对第2题、第3题、第4题，或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题，
甲答辩成功的概率为(1−12)×13×14×15+12×(1−13)×14×15+12×13×(1−14)×15=120，
由(1)可知甲得10分的概率为1120，所以甲答辩成功的概率为160+120+1120=340．
19.(1)证明：因为D，G分别为AB，BB1的中点，B1E=3EB，所以DE//AG．
因为DE⊄平面AGC，AG⊂平面AGC，所以DE//平面AGC．
(2)证明：如图所示，连接A1E，A1C，
易得A1D=2 5，DE= 5，A1E=5，CD=2 3,A1C=4 2．
因为A1D2+DE2=A1E2，所以A1D⊥DE，
因为A1D2+CD2=A1C2，所以A1D⊥CD．
因为DE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，DE∩CD=D，
所以A1D⊥平面CDE．
(3)解：将直三棱柱ABC−A1B1C1补成直四棱柱A1B1O1C1，
设OO1，CO的中点分别为H，I，连接C1D，C1E，GH，EH，CH，C1I，DI，
设CH与C1I的交点为J．
因为GH//BO//AC，GH=BO=AC，
所以四边形AGHC是平行四边形，所以AG//CH．
因为DE//AG，所以DE//CH，即D，E，H，C四点共面．
因为A1C1//BO//DI，A1C1=BO=DI，
所以四边形A1DIC1是平行四边形，所以C1I//A1D.
由(2)可知A1D⊥平面CDE，所以C1I⊥平面DEHC，所以C1I⊥CH，
由cs∠CC1I=C1CC1I=C1JC1C，得C1J=C1CC1I⋅C1C=8 55，即点C1到平面DEHC的距离为8 55，
当点M在△DEC的三边上运动时，
sinα=C1JC1M=8 55C1M,tanα=C1JJM=8 55JM，
易得C1C=4,C1E= (34C1C)2+BC2=5,C1D= C1C2+CD2=2 7，
当M与D重合时，C1M取得最大值，则sinα取得最小值，最小值为8 55×2 7=4 35，
此时tanα取得最小值，最小值为4 19=4 1919.如图，过J作JK⊥CE，垂足为K．
易得CJ= C1C2−C1J2=4 55,EC=EH= 17,CH=2 5，
则sin∠ECH= EC2−(12CH)2EC=2 3 17，
所以JK=CJsin∠ECH=8 3 85．
当M与K重合时，JM取得最大值，则tanα取得最大值，最大值为8 55× 858 3= 513．
故tanα的取值范围为[4 1919, 513]．