人教A版必修第二册 高一数学下学期期末考点复习巩固练习 专题04 正余弦定理解三角形（2份，原卷版+解析版）

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知识点1 余弦定理
1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accsB，c2＝a2＋b2－2abcsC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
4、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
知识点2 正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
= 1 \* GB3 ①asinA=bsinB=csinC=2R，
= 2 \* GB3 ②sinA:sinB:sinC=a:b:c，
= 3 \* GB3 ③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，
= 4 \* GB3 ④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC=2R，
= 5 \* GB3 ⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理解决的两类问题
类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当A为锐角时：
当A为钝角时
知识点3 三角形面积公式
在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，ℎc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S=12aℎa=bℎb=cℎc
（2）S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
知识点4 三角形形状的判断
1、利用余弦定理判断三角形
（1）为直角三角形或或
（2）为锐角三角形，且，且
（3）为钝角三角形，且，且
（4）若，则或
2、利用正弦定理判断三角形
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
考点1 余弦定理解三角形
【例1】已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得，解得，所以，所以为直角三角形，则在中，．故选：A.
【变式1-1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A． B． C．92° D．135°
【答案】B
【解析】，设，最大，即最大，
，又，.故选：B.
【变式1-2】（多选）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=3，则a的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】BC
【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以csA＞0，csB＞0，csC＞0，.
所以，即，又a＞0，解得，故选：BC.
【变式1-3】（1）在中，已知，求的值；
（2）在中，已知，解这个三角形．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）因为，
所以，所以；
（2）因为，
所以，即，解得或，
当时，则，所以；
当时，由余弦定理得，所以，
综上所述，或.
考点2 正弦定理解三角形
【例2】已知的三个内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，所以得：，由正弦定理可得：即，所以，故选：B.
【变式2-1】在中,已知,,,则角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】由题知,,,
在中,由正弦定理可得:,解得,
因为,,所以或.故选:C
【变式2-2】中，若，，则_________
【答案】
【解析】由题意中，若，，则,
因为为锐角，故.
【变式2-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______.
【答案】
【解析】由题知，，，在中，由正弦定理，得，
所以，解得，因为中，，所以，所以.
考点3 三角形解的个数判断
【例3】在中，若，则此三角形（ ）
A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定
【答案】B
【解析】因为，，所以，因为，所以，所以满足的有两个，所以此三角形有两解.故选：B.
【变式3-1】（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，.
【答案】AD
【解析】对于A，由正弦定理得：，，，即，，则三角形有唯一解，A正确；对于B，由正弦定理得：，，，即，或，则三角形有两解，B错误；
对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；
对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.故选：AD
【变式3-2】在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意在中，若，则,由正弦定理得，可解，则需有，解得，
故边a的取值范围是.
【变式3-3】在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】BC
【解析】如图：要使有两个解，则，
即，解得：，故选：BC
考点4 正余弦定理边角互化
【例4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，所以.因为，
由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故选：B.
【变式4-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.
【答案】
【解析】根据正弦定理可知，，所以，
而，所以.
【变式4-2】已知的内角所对的边分别为，，则角______.
【答案】
【解析】将等式两边同时乘以得，
由正弦定理得，
又在中，得，.
【变式4-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得，，即，
所以，因为，所以.
（2）设，则，
所以，解得，，
所以，
由正弦定理，，所以.
【变式4-4】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
整理得，即
所以，
又因为，所以，所以，
因为，所以，所以，又因为，所以．
（2）由且，由余弦定理，可得，即，
解得或（舍），所以．
考点5 三角形的面积问题
【例5】记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______.
【答案】1
【解析】由，得，得，所以的面积为.
【变式5-1】中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】∵，，∴，
∴，展开得，
∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故，∴，
∴，，所以的面积.
【变式5-2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，得，即，
因为，所以，所以，所以；
（2）由余弦定理得，即，解得，
所以．
【变式5-3】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由整理得，
，由，；
（2），由正弦定理得，①，又，②，
由①②得，.
【变式5-4】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）由已知及正弦定理得，
∵，∵，
∵ ∴.
（2）∵ ∴,
又∵ ∴,所以．
考点6 多边形的形状问题
【例6】在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因为在，，所以，
又，所以，，所以为等腰三角形.故选：A.
【变式6-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由题意得：，即，故，因为，所以，故，即因为，所以，即，故，故，故，所以为直角三角形.故选：A
【变式6-2】在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ）
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵，所以，又，∴，
∵，∴，，，∴，
从而，为等边三角形，故选：C．
【变式6-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A．A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰三角形
【答案】BD
【解析】对于A，若，则，则B为锐角，
不能判定为锐角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则，且，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，即，
所以，因为，所以，所以，
所以是等腰三角形，故D正确.故选：BD.
【变式6-4】在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是__________．
【答案】等腰直角三角形
【解析】由正弦定理及， 得
，，， ，
又，由余弦定理， 得，
即，，为等腰直角三角形．
1．在△ABC中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，已知，，，
由余弦定理得：，故选：A
2．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，由余弦定理得，①，由三角形的面积公式得，代入①得，，，
由于，所以.故选：C
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】因为，由正弦定理可得，
则，
，，，，为内角，
，则，
，故选：D.
4．中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】在中，因为，，，所以，
即，解得或（舍去），所以.故选：A.
5．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ．若，，，则（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】∵，，
∴，，∴．
∵为锐角三角形，∴，∴．而，∴．
由余弦定理可得，∴，∴，
则．故选：C
6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有一解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理得，即，则，若有一解，则①，则，②，则，综上，的取值范围为，故选：D.
7．在中，角，，所对的边分别为，，，若A：B：C=3:2:1，则a:b:c=（ ）
A．1:2:3 B．3:2:1 C．1::2 D．2::1
【答案】D
【解析】由，又，则，由，即，所以，故选：D
8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由边化角可得，
因为，
所以，即，所以，
因为，所以,所以，所以解得，所以，
所以是直角三角形，故选:B.
9．（多选）一个锐角三角形的三边长为，，，则，，的值可能为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】AD
【解析】锐角三角形的三边长为，，其充要条件为：最大角的余弦值大于零.
结合三角形大边对大角可知：较小两边平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形.所以对于A，，符合；对于B，，不构成三角形三边，不符合
对于C，，不符合；对于D，，符合.故选：AD．
10．（多选）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．a>c C．c>a D．
【答案】ACD
【解析】由正弦边角关系知：，则，所以，而，则，A正确；由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确.故选：ACD
11．（多选）已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形
B．若，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，，，则只有一解
【答案】ABD
【解析】对于A，因为的三个角满足，
所以由正弦定理化简得，设，为最大边，
由余弦定理得，
所以为钝角，所以是钝角三角形，故A正确；
对于B，由及正弦定理，得,解得，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，故C错误；
对于D，由正弦定理得，解得，
因为,所以，所以只有一解，故D正确.故选：ABD.
12．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为
【答案】BC
【解析】由题设，则，即，故，
所以不为钝角，否则、都为钝角，则，又，即，整理得，故，
，且为三角形内角，则，
综上，的面积，故A、D错误，B、C正确.故选：BC
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则=___________.
【答案】
【解析】∵A：B：C=1：2：3，，∴
∴由正弦定理得：
14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则三角形外接圆半径为_____________．
【答案】##
【解析】因为，，由正弦定理可知△ABC的外接圆半径为.
15．边长为10，14，16的三角形中最大角与最小角的和为________．
【答案】
【解析】设边长为10，14，16分别对应边a，b，c，由余弦定理得：,因为，所以，则，故三角形中最大角与最小角的和为.
16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为______.
【答案】
【解析】根据余弦定理和正弦定理得到：，即，故，，故.
17．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，且，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，即，
所以．因为，所以；
（2）由余弦定理得，所以，即．①
因为，所以．②将②代入①，得，
整理得．因为，所以．
18．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积．
（1）求C； （2）求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）因为，由正弦定理得：，
即，即，
因为，所以，即，由得：.
（2）由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，则，令，则，解得，
由正弦定理得：，故的值为或．
19．在中，角所对的边分别为．已知．
（1）求的值；
（2）求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，由余弦定理可得，
可得，因为所以．由，则，
正弦定理得：，则．（2）因为，
所以．
20．在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的大小；
（2）和的值．
条件①：；条件②：．
【答案】（1）若选择①：；若选择②：
（2）若选择①：，；若选择②：．
【解析】（1）选择①：．在中，因为，，
所以由正弦定理得．因为，所以．所以．所以．
选择②：．
在中，因为，，所以由正弦定理得．
在中，，所以．所以．
（2）选择①：．因为，所以．所以．
因为，所以．
所以．
所以．由正弦定理得，即．因为，所以．
选择②：．
因为，所以．所以．因为，所以．
所以．
所以．
因为，所以．由正弦定理得，所以．