人教A版必修第二册 高一数学下学期期末考点复习巩固练习 专题10 空间角与空间距离的综合（2份，原卷版+解析版）

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知识点1 线线角的定义与求解
线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角)
②范围：
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
3、三种平移产生
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
知识点2 线面角的定义与求解
1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]
2、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
知识点3 二面角
1、二面角的概念
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的平面角的概念
平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，
这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]
知识点4 确定二面角的平面角的方法：
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，
平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.
这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。
A
B D C
证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.
于，，
在内的射影为.
又，
（三垂线定理的逆定理）.
为二面角—BC—的平面角.
设△ABC和△的面积分别为S和，，则.
.
考点1 求直线与直线所成角
【例1】在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，则异面直线与所成的角的大小为__________.
【答案】
【解析】如图补全，假设，平移于位置，连接
异面直线与所成的角即是直线与所成的角
，，
根据余弦定理：
故直线与所成的角故答案为：
【变式1-1】如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且；
（1）求该圆锥的全面积和体积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值；
【答案】（1）全面积为，体积为；（2）.
【解析】（1）在中且，即圆锥高为，底面半径为2．
圆锥的侧面积，圆锥的底面积，
故圆锥的全面积；体积为.
（2）过D作交BO于点M，连接CM，
则为异面直线AO与CD所成角．
因为平面OBC，所以平面OBC，
因为平面OBC，所以．
在中，所以．
由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，
结合题设易知：．
在中，．
即异面直线AO与CD所成角的正切值为：.
【变式1-2】在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取，，的中点E，F，G连接，，．
∵，，∴（或其补角）即为与所成的角．
∵平面，∴，∴，则，
∵，，．取的中点，连接，，
∴，∴平面，∴，
又，∴，
∴．
∴与所成角的余弦值为．故选：C
【变式1-3】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，取中点，连接.因为是弧的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，故即为与所成角.
因为为中点，，所以.因为，，
又，，所以，
所以，即，所以，
即与所成角的大小为.故选：B.
【变式1-4】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，在棱上取一点，使得，
取的中点，连接 ，，，
由于分别是棱的中点，所以，
故四边形为平行四边形，进而,
又因为是的中点，所以，所以，
则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，
从而，
，故,
故异面直线与所成角的余弦值是.故选：C
考点2 求直线与平面所成角
【例2】如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】取的中点，则
因为侧面底面BCD，侧面底面，侧面，
所以平面，因为平面，所以，
所以就是直线AC与底面BCD所成的角，
因为，，，所以，
在直角中，，在直角中，，即，
所以直线AC与底面BCD所成角的大小为，故选：.
【变式2-1】如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，因为，所以⊥，
因为，平面，所以平面，因为平面，所以，
则为二面角的平面角，即，为AB与l所成的角，，
设AB与所成的角为θ，则.由图得.故选：B
【变式2-2】如图，已知正方体的棱长为2．
（1）求直线和平面ABCD所成角的大小；
（2）求直线和平面ABCD所成角的正切值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线AB，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．∵在中，，则，
∴直线和平面ABCD所成角的大小为．
（2）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
∵在中，，则，
∴直线和平面ABCD所成角的的正切值为．
【变式2-3】如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．
【答案】45°
【解析】如图所示，过作于．连接，
则为在平面上的射影，为与平面所成的角．
作，，由三垂线定理可得，．
由，，，
可得，则．
由于、分别为、在内的射影，则．
所以点在的平分线上．
设，又，则，，则．
在中，，则，即与平面所成角为45°．
【变式2-4】如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.
（1）求圆锥的体积与侧面积；
（2）求直线与平面所成的角的正切值.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由题意可得，
所以底面圆面积，圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
圆锥侧面展开图的半径为，弧长为底面圆周长
圆锥的侧面积为.
（2）取中点，连接，如下图所示：
在中，中位线，易知平面可得平面，
所以即为直线与平面所成的角，
易知，又，所以，
所以.所以直线与平面所成的角的正切值为.
考点3 求平面与平面所成角
【例3】已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【解析】设，连接，平面，平面，
，，四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.故答案为：.
【变式3-1】正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】
【解析】设正方体的边长为2，则；
在中，，，，
利用余弦定理，
则；则.
【变式3-2】如图，在正三棱柱中，，截面侧面.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）.
【解析】（1）设的中点为，过作，垂足为，连接，
因为是等边三角形，所以，
因为是正三棱柱，所以面侧面，
而面侧面，所以侧面，
因为截面侧面，截面侧面，所以侧面，因此，
因为是正三棱柱，所以侧面，
而平面侧面，所以，
因此是平行四边形，所以，
因为，所以，因为的中点为，所以是的中点，
于是有，而且，所以是中点，即；
（2）延长交于点，
设，由（1）可知：是的中点，
因此，因为，
所以，，，
因为，所以，
于是是平面与平面所成二面角的平面角，
因为，所以矩形是正方形，因此.
【变式3-3】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由 平面可得
又 ，所以平面，所以 ;
连交于点 ，连，则是 的中位线，，
而平面，平面，平面.
（2）取的中点，连，则是的中位线，
,又平面，平面；
因为平面，故，
又，底面为平行四边形，,，
而分别为中点，所以；
而是的中位线,,
而平面，故平面，
而平面，故，所以是二面角的平面角.
又 ；，而二面角与二面角互补,
故所求二面角的大小为.
【变式3-4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M为AD的中点且.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的平面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵底面ABCD，平面ABCD，∴，
又∵，，平面PAC，∴平面PAC，
∵平面PAC，∴；
（2）由（1）得，∴，
又∵，，代入上式解得：，
∴，，，
设AC与BM交于点O，
∵，所以，∴，，，
过O作交PA于点E，连接BE，
∵平面PAC，平面PAC，∴，
∵，平面OEB，∴平面OEB，
又平面OEB，所以，∴为二面角的平面角，
在△PAC中，，即，解得，∴，
二面角的平面角的正切值
考点4 求点到直线的距离
【例4】（2023·全国·高一专题练习）等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，，则，，
且，面，故面，面，
连接，面，故，所以到的距离为线段的长度，
二面角为90°，故，
且，故.故选：C
【变式4-1】在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】平面，平面，∴，
是直角梯形，，，，，
则，，所以，
，，平面，所以平面，
又平面，所以，即到直线的距离是，是中点，
所以到的距离等于到直线的距离的一半，即为．故选：B．
【变式4-2】在棱长为1的正方体中，点A到直线BD1距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过A作，垂足为，连结，易知为A到直线BD1距离.
在中，，
在正方体中，易得面，
又面，故，
则在中，，
由，得，
故A到直线BD1距离为.故选：C.
【变式4-3】已知菱形边长为，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于四边形是菱形，所以，由二面角的定义知，
下面在中解决点到直线的距离的最值，因为菱形的边长为，所以，点到的距离，，所以当，
即时，取得最大值.故选：B
考点5 求异面直线间的距离
【例5】在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】如图，该四棱柱为长方体，因为,
所以为异面直线与所成角，设底面正方形边长为，
则，
在中，，解得，
因为该四棱柱为长方体，所以平面，平面，
所以,同理,所以直线与直线的距离为，故选:B.
【变式5-1】如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在棱长为的正方体中，取中点G，连接，如图，
因为为的中点，则，即有四边形为平行四边形，
有，
则四边形为平行四边形，有，
又为的中点，则，
四边形为平行四边形，则有，
因此直线到直线的距离等于点F到直线的距离，
因为，则四边形为平行四边形，有，
在中，，边上的高，
由三角形面积得：，，
所以直线到直线的距离为.故选：D
【变式5-2】已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．
【答案】，
【解析】∵,，，∴，
因为与所成角大小为，而，则，
因为与所成角大小为，而，则，
，则，，，又是矩形，
所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段，
所以直线与的距离是，与的距离是．
【变式5-3】空间四边形中，，，，，，求异面直线和的距离．
【答案】
【解析】，，，平面，∴平面，
又平面，则，，
同理由，，，
平面得平面，平面，∴，
所以是异面直线和的公垂线段，∴异面直线和的距离为．
【变式5-4】如图，已知直三棱柱中，，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图过点作，垂足为，过作，垂足为，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，故为点到直线的距离，
因为，，所以，
设，，则，又，所以，
又为直角三角形，，所以，
因为平面，又平面，
所以，所以为直角三角形，，
所以，所以，又，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以线段上的动点到直线的距离的最小值为，故选：C.
考点6 求点到平面的距离
【例6】棱长为1正方体中，E为的中点，则E到面的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，连接，交于，如下图：
由正方体性质易知，平面，
故E到面的距离为到面的距离，
由正方体性质可知，平面，平面，故，
由正方形性质可知，，
因为平面，平面，，所以平面，
因为，所以到面的距离为，
从而E到面的距离为.故选：A.
【变式6-1】如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因为，即，因为，所以平面PAB，
又平面PAB，所以，因为，，
所以，的面积，
设点A到平面PBC的距离为h，则三棱锥的体积，
即，解得，即点A到平面PBC的距离为.故选：A.
【变式6-2】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，，，则点P到平面ABCD的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】在中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得．
因为PC＝2，BC＝1，，所以，即．
因为∠ABC＝90°，所以，又，所以平面PAB．
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．
在平面PAB内，过点P作，交BA的延长线于点E，如图所示，因为平面平面ABCD＝AB，，
所以平面ABCD．因为在中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以，所以点P到平面ABCD的距离为．故选：B．
【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.
（1）求证：平面；
（2）若的面积是，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为为菱形，所以.
又因为，平面所以平面.
因为平面，所以.
又由已知，平面所以平面.
（2）因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
由（1）知，平面，所以.
又因为，所以，所以，则.
设点到平面的距离为，所以.
因为，所以.
在中，，
，，
所以，
又，所以，
所以，
所以，所以.
【变式6-4】如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，，点是的中点，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：平面，平面，.
，，平面.
又平面，平面平面.
（2）平面，平面，.
点是的中点，,
在中，.
由（1）可知平面，平面，.
，.
设点到平面的距离为，则，即.
即，解得.点到平面的距离为.
考点7 求直线到平面的距离
【例7】如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为长方体，所以面⊥面ABCD，
过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面，所以直线与平面的距离为AE.在直角三角形ABD中，由等面积法可得：
，故选：C
【变式7-1】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】平面，到平面的距离等于到平面的距离，
由题计算得，
在中，，边上的高，
所以，所以，
利用等体积法，得: ,解得:
【变式7-2】如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
【答案】
【解析】连接，因为∥，平面，平面，
所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，
设到平面EAC的距离为，因为正四棱柱的底面边长为2，，所以，因为E为的中点，所以，所以，
所以，
,因为，
所以,所以，解得，故答案为：.
【变式7-3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.
（1）求证：平面；
（2）求直线到面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接BD交AC于O，连接FO，
∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，
∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.
（2）因为平面平面ABCD，平面平面，
，平面，所以平面ABCD.
由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.
又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.
取AD的中点E，连接EF，CE，则，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为平面，所以，
因为菱形且，，所以，，
则，
，，
设点D到平面ACF的距离为，
由得
即直线PB到平面ACF的距离为.
考点8 求平面到平面的距离
【例8】如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：作于点，作于点，
因为，则，，
又因为，所以为等边三角形，则，
取的中点，连接，，则，，，
因为，所以面，
则，，
由余弦定理可得：，
所以，
作于点，因为面，面，
所以，因为，所以面，
所以点到面的距离为，
故平面到平面的距离为，
由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半，
所以，故选：B.
【变式8-1】某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________.
【答案】2
【解析】连接，分别交EF，MN于点H，Q，连接AQ.
连接AC交BD于点G，连接HG.因为平面平面，
是分别是平面、平面与平面的交线，
所以，因为平面平面，
平面、平面，分别与平面交于直线、，
与平面交于直线、，所以，，
则四边形为平行四边形，.又因为，
所以点M，F，E，N分别为棱，，，的中点
在中，，由平面平面得，
又，，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，所以平面AMN与平面EFBD间的距离即为Q到平面BDE的距离，即为Q到GH的距离，设为h，在平行四边形AGHQ中，，则，
即两个截面间的距离为2.故答案为：2．
【变式8-2】在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为、分别为、的中点，则．
又因为平面，平面，所以平面．
因为，，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面．
又因为，所以平面平面．
（2）连接分别交、于点、，
则为的中点，且，因为平面，平面，，
又因为，，平面，
因为平面平面，所以，平面，
所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，
因为、分别为、的中点，则且，且有，则，
因为正方体的棱长为，所以，
即平面与平面之间的距离为．
【变式8-3】如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面的距离．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）∵，，是的中点，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵直角梯形与梯形全等，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵，∴平面 平面．
（2）设点到平面的距离为，易知，
由，得，即，
∵平面平面，∴平面与平面间的距离为．
1．如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，则，，，
因为∥，所以或其补角为异面直线与所成的角，
，
则异面直线与所成的角的余弦值为.故选：C．
2．如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M､N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知找中点及靠近点的四等分点为，
连接,如图所示:是中点，且,
四边形为平行四边形，,
是中点，,AM与CN所成角即为夹角,
因为正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=A1A=2,
,
在中由余弦定理可得:,
故直线AM与CN所成角的余弦值等于.故选:D
3．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接交于F，设与平面所成角为，因为∥,
所以与平面所成角为，如图：
因为在长方体中，，，
所以四边形是正方形，是中点，，
，所以，
又，面，所以平面，
又平面，所以平面平面，过作于，
因为面面，面面，，面，
所以平面，所以，即，所以，故选：A.
4．直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，在直三棱柱中，连接，
由题知，平面，，
又，∴又，所以平面，所以，
由于，点是棱上的中点，根据勾股定理，
，
，，
所以，即.设到平面的距离为，则，设点到平面的距离为，在四面体中，，
则，解得.故选：C.
5．如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接如图.易得，故直线与所成的角.
又直线平面，故与平面所成的角.
又平面，故二面角的平面角.
因为，，，
故，又均为锐角，故，故选：B
6．如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，截得.若，则二面角的平面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，如下图所示：
设，∵，∴，，
又∵，∴为等边三角形，则，
∴，∴，故选：C．
7．（多选）如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（ ）
A．
B．
C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为
【答案】BC
【解析】连接，如图，
因为平面，平面，则，
而，平面，
于是平面，又平面，因此，
在正方形中，，，
则，，A错误，B正确；
取中点，连接，则，为异面直线PE与BC所成的或其补角，
而平面，平面，有，又，平面，
则有平面，平面，于是，，因此，C正确；
由平面知，是直线PE与平面所成的角，，
显然，D错误.故选：BC
8．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（ ）
A．直线与所成的角为60°
B．直线与所成的角为60°
C．直线与平面所成的角为30°
D．直线与平面所成的角为30°
【答案】AD
【分析】根据线面的平行和垂直关系，确定各个异面直线所成角以及线面角，进行求解即可.
【解析】连接，由底面，所以，由，是边长为1的正方形，所以，，
对A，由底面，所以，又，所以平面，
由∥，所以直线与所成的角为直线与所成的角，，所以，故A正确；
对B，由是边长为1的正方形，所以，由底面，所以，又，所以平面，所以，故B错误；
对C，由底面，所以直线与平面所成的角为，由，所以，故C错误；
对D，由底面，所以，又，，所以，直线与平面所成的角为，由，所以，
所以，故D正确，故选：AD
9．（多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把三角形ABC折起来，则（ ）
A．在折起的过程中始终有AD⊥平面DB′C
B．三棱锥A－DB′C的体积无最大值
C．当∠B′DC＝60°时，点A到B′C的距离为
D．当∠B′DC＝90°时，点C到平面ADB′的距离为
【答案】ACD
【解析】因为AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正确；
当DB′⊥DC时，△DB′C的面积最大，此时三棱锥A－DB′C的体积也最大，最大值为，故B不正确；
当∠B′DC＝60°时，△DB′C是等边三角形，设B′C的中点为E，连接AE，DE，
则AE⊥B′C，即AE为点A到B′C的距离，，故C正确；
当∠B′DC＝90°时，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，
则CD就是点C到平面ADB′的距离，则，故D正确.故选：ACD.
10．在中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
【答案】
【解析】如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC．
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4．
在中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝.
故答案为：.
11．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为______．
【答案】
【解析】如图，由，知是二面角的平面角，
因此，且因为，平面，所以平面，
过作于，则，所以是异面直线和的公垂线，
的长即为异面直线和之间的距离．中，，，则，，所以异面直线和之间的距离为．故答案为：．
12．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为______________
【答案】
【解析】如图，过作，垂足点为，连接,根据面面，面面，可得底面，即为直线与面所成角，设，
设，又，则，
因为，，，，则，
易知，且，在中，，
由余弦定理可得：，
又，，
所以，，
令，
则，，当时，取得最大值.
所以，直线与面所成角的正弦的最大值为．故答案为：．
13．点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为______．
【答案】或
【解析】当二面角为钝角时，如下图所示：
设，连接，因为，所以，而平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角的补角，
在直角三角形中，，所以二面角的大小为，
同理当二面角为锐角时，二面角的大小为，故答案为：或
14．如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接交于点，连接，
，，四边形为平行四边形，，，
四边形，为平行四边形，分别为中点，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，，为边长为的等边三角形，
；又，，
设点到平面的距离为，则，解得：，
直线与平面之间的距离为.
15．如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．
（1）判断HM与面的关系，并证明你的结论；
（2）若，，求斜三棱柱两底面间的距离．
【答案】（1）直线HM与平面平行，证明见解析；（2）
【解析】（1）直线HM与平面平行．证明如下：取的中点N．连接NM，AN．
因为点M是的中点，所以，且．
又是正方形，点H是AB的中点，所以，．
所以，．所以四边形ANMH为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）因为点在平面上的射影是AB的中点H，所以平面．
连接，，则，．
由正方形的边AB=2，得，
所以，所以的面积为．
设斜三棱柱两底面间的距离为d，即H到平面的距离为d，
由得，解得，即斜三棱柱两底面间的距离为．
16．如图，在几何体中，平面ABC，平面ABC，，，．
（1）求证：平面ABE；
（2）求直线DC与平面ABE的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由平面ABC，平面ABC，
可得，，则在面中，
又平面ABE，平面ABE，则平面ABE
（2）由平面ABE，可知直线DC与平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离
△ABC中，，，，则
由平面ABC，可得，又，，则平面ABE
即为点C到平面ABE的距离，又，故直线DC与平面ABE的距离为
17．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
（1）求直线与平面所成角正弦值；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）平面，平面，，；
是圆的直径，，又，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
，，，又，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）过作，垂足为，由（1）得：平面，平面，
平面平面，又平面平面，平面，，
平面，，，
根据等面积法知：，，
即到平面的距离等于.
20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，∴AD⊥DC，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，
∵PD∩AD＝D，平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
（2）过点B作BE∥CA，且BE＝CA，如图，则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，在直角梯形中可知，AC＝CB＝，又AB＝2，
所以，所以四边形ACBE为正方形．
由PA⊥面ABCD，平面ABCD，则，
又平面PAE，
所以平面PAE，由平面PAE，可得，
在Rt△PEB中BE＝CA＝，，∴,
所以AC与PB所成的角余弦值为．
（3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，如图，在Rt△PAB中，AM＝MB，又AC＝CB，
∴△AMC≌△BMC，可得,∴△AMN≌△BMN，∴BN⊥CM，
故∠ANB为所求二面角的平面角，由PA⊥面ABCD，平面ABCD，则，
又平面PAC，所以平面PAC，由平面PAC，可得，
在Rt△PCB中，CM＝MB，所以CM＝AM．
在等腰三角形AMC中，ANMC＝，
∴．AB＝2，∴
∴二面角的余弦值为．
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求点D到的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在中, ，，∴，
∵平面,平面，∴.
又∵,平面，∴平面，
又，∴平面，又平面，所以平面平面
（2）由（1）知平面，，，
∴为二面角的平面角，∴.
在中, ，所以，，
设点D到的距离,由，有，
即，解得.即点D到的距离为.