福建连城县第一中学2024~2025学年高一下册第一次月考数学试题

这是一份福建连城县第一中学2024~2025学年高一下册第一次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法正确的是( )
A．若||>||，则> B．若||＝||，则＝
C．若＝，则∥ D．若≠，则，不是共线向量
2．如图，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝，eq \(AC,\s\up6(→))＝，eq \(CD,\s\up6(→))＝，则向量eq \(BD,\s\up6(→))可以表示为( )
A．＋－ B．－＋
C．－＋ D．－－
3．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))，则P点的坐标为( )
A．(－14,16) B．(22，－11) C．(6,1) D．(2,4)
4．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq \r(2)，则边c等于( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
5．已知||＝3，在上的投影向量为eq \f(1,2)，则·的值为( )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
6．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cs B等于( )
A.eq \f(11,16) B.eq \f(7,9) C.eq \f(21,16) D.eq \f(29,16)
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccs A＋acs C＝2c，若a＝b，则sin B等于( )
A.eq \f(\r(15),4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(3),2)
已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.对于复数 (，∈R)，下列说法正确的是( )
A．若＝0，则为纯虚数 B．若＋(－1)＝3－2，则＝3，＝－1
C．若＝0，则＋为实数 D．的平方等于1
10．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
11．已知正三角形ABC的边长为2，设eq \(AB,\s\up6(→))＝2，eq \(BC,\s\up6(→))＝，则下列结论正确的是( )
A．|＋|＝1 B．⊥ C．(4＋)⊥ D．·＝－1
12．在△ABC中，若AB＝4，AC＝5，△BCD为等边三角形(A，D两点在BC两侧)，则当四边形ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是( )
A．∠BAC＝eq \f(2π,3) B．∠BAC＝eq \f(5π,6) C．S＝eq \f(41\r(3),4)＋20 D．S＝eq \f(41\r(3),4)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设是虚数单位，若复数z＝1＋2，则复数z的模为
14．在△ABC中，若b＝acs C，则△ABC的形状为______．
15．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝________.
16．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，
则△ABC的周长的最大值为 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，m)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(1，n)，且eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)).
(1)求实数n的值；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，求实数m的值．
18．(12分)已知向量＝3－2，＝4＋，其中＝(1,0)，＝(0,1)．
(1)求·，|＋|；
(2)求与的夹角的余弦值．
19.（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin.
20.（12分）如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将eq \(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq \(OA,\s\up6(→))＝，eq \(OB,\s\up6(→))＝.
(1)用和表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．
21．(12分)在①3c2＝16S＋3(b2－a2)；②5bcs C＋4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知_______．
(1)求tan B的值；
(2)若S＝42，a＝10，求b的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(12分)在梯形中，∥，．
(1)若，且，求的面积；
(2)若，，求的长．
连城一中2024-2025学年下期高一年级月考一数学参考答案
1． 答案 C解析 向量不能比较大小，所以A不正确；＝需满足两个条件：，同向且||＝||，所以B不正确；C正确；若，是共线向量，则只需，方向相同或相反，D不正确．
2． 答案 C解析 依题意得，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
即eq \(BD,\s\up6(→))＝－＋，故选C.
3．答案 D.解析 设P(),由已知,即，得P (2,4).
4．答案 B解析 ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
由正弦定理，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(2\r(2)sin 30°,sin 45°)＝2.
5．答案 B解析 设与的夹角为θ，∵||·cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)，∴||·cs θeq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝eq \f(1,2)，∴||·cs θ＝eq \f(3,2)，∴·＝||||cs θ＝3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
6．答案 A解析 依题意，设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(16k2＋4k2－9k2,2×4k×2k)＝eq \f(11,16).
7．答案 A解析 ∵ccs A＋acs C＝2c，∴由正弦定理，可得sin Ccs A＋sin Acs C＝2sin C，∴sin(A＋C)＝2sin C，∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，又a＝b，∴a＝2c.
∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4c2＋c2－4c2,2×2c2)＝eq \f(1,4)，∵B∈(0，π)，∴sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(15),4).
8． 答案 B解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)为eq \(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)为eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，
则eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)的方向为∠BAC的平分线eq \(AD,\s\up6(→))的方向．又λ∈(0，＋∞)，
所以λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))的方向与eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)的方向相同．而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，
所以点P在eq \(AD,\s\up6(→))上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
9.答案 BC解析 对于A，当b＝0时，a＋bi＝0为实数，故A错误；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；
对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；
对于D，i的平方为－1，故D错误．
10． 答案 ABD解析 对于A，若cs A＝cs B，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故正确；
对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，得2Rsin A＞2Rsin B，
即sin A＞sin B成立．故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝eq \r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq \r(84)，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2＜c2，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)0，∴00，所以cs B>0，所以tan B＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(3,4)……6分
选择条件②：因为5bcs C＋4c＝5a，由正弦定理得5sin Bcs C＋4sin C＝5sin A，……2分，5sin Bcs C＋4sin C＝5sin(B＋C)，即sin C(4－5cs B)＝0.
在△ABC中，sin C≠0，所以cs B＝eq \f(4,5)，又0＜B＜π，
sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(3,5)，所以tan B＝eq \f(3,4). ……6分
(2)选择①：由tan B＝eq \f(3,4)，得sin B＝eq \f(3,5)，又S＝42，a＝10，
则S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×10c×eq \f(3,5)＝42，解得c＝14. ……8分
将S＝42，a＝10，c＝14代入6c2＝16S＋3(b2＋c2－a2)中，
得6×142＝16×42＋3(b2＋142－102)，解得b＝6eq \r(2). ……12分
选择②：S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×10c×eq \f(3,5)＝42，解得c＝14，……8分,
又a＝10，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cs B，
即b2＝100＋196－2×140×eq \f(4,5)＝72，所以b＝6eq \r(2). ……12分
22． 解：(1)如图，由知，，，
在△ABC中，，，
由余弦定理，知，
所以，即，………………………3分
解得或(舍)，
所以△ABC的面积．……………4分
(2)在△ADC中，因为，，
所以，，………………………6分
由正弦定理，所以，……………………8分
又
，…………10分
在中，由余弦定理知
，所以．……12分