河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试题（含答案）

这是一份河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试题（含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1 ．水平放置的V ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A¢C ¢ = 4 ，B¢C¢ = 3，则V ABC 的面积是( )
A ．6 B ．10 C ．12 D ．24
2 ．已知点A(3, -2) ，B (-5,-1) ，且 则点P 的坐标为 ( )
A ． B ．(-8,1) C ． D ．(8, -1)
3 ．在V ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为 则 ）
A ．- B ． C ．-1 D ．1
4 ．在 ΔABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角 A ，B ，C 所对的边，设向量 = (b - c，c - a), = (b, c + a) ，若
uv v
m 丄 n，则角 A 的大小为( )
A ． B ． C ． D ．
5 ．底面圆周长为2π ,母线长为 4 的圆锥内切球的体积为( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．已知复数z 满足z + 2z = 3 + i，则 ( )
A ．1+ i B ．1- i C ．1+ 2i D ．2 + i
7 ．如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，M，N 分别为AC, A1B 的中点，异面直线 MN 与DD1 所成角为( )
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
5π
12
uuu→ 2 uuu→ uuu→ uuu→ 1 uuu→
8 ．在V ABC 中，AD = 3 AC ，点 E 在BD 上，若AE = xBA + 3 BC ，则 x = ( )
A ． B ． C ． D ．-
二、多选题
9 ．已知复数z1 = 3 + i ，z2 = 1- 3i ，则( )
A ． z1 = z2 B ．z1 + z2 = 4 - 2i C ．z1 - z2 = 2 - 4i D ．iz1 = z2
10 ．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2 ，在轴截面 ABCD 中， AB = AD = BC = 4cm, CD = 2AB ，则下列说法正确的有( )
A ．该圆台的高为 cm
B ．该圆台轴截面面积为24cm2
C ．该圆台轴截面面积为12cm2
D ．一只蚂蚁从点 C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为10cm
11 ．已知V ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，则( )
A ．a ≥ bsin A
则
C ．若a2 + b2 > c2 ，则V ABC 为锐角三角形
D ．若a = , b = , A = 45 ，则V ABC 的形状能唯一确定
三、填空题
12 ．复数i(3 - 2i) + 2i 的虚部为 ．
13 ．已知等边V ABC 边长为 2 ，PC 丄 平面ABC ，且 PC = ·、 ，则点 C 到平面PAB 的距离为 ．
14 ．已知 、 满足 = 4, . = 6 ，若 在 方向上的投影向量为 ，则 + = ．
四、解答题
15 ．已知z = i4 + (1- i)2 ，z . z1 = 4 + 3i .
(1)求z，z1 ；
(2)若z , z1 在复平面内对应的向量分别为 , + ) 丄 ( - ) ，求实数 λ 的值.
16 ．如图，在四边形 ABCD 中，AB ⅡCD ，AB = 2 ，CD = ·、 ，cs A = ，cs 上ADB = .
(1)求cs 上BDC 及 AD 的长度；
(2)求 BC 的长度.
17 ．如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1 中，E, F 分别为A1C1 , BC 的中点．
(1)求证：FC1 // 平面ABE ；
(2)若AB = BC = 1, AC = , A1A = 1, 求直三棱柱ABC - A1B1C1 的体积和表面积；
18 ．在锐角V ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a = 2 且csC + (csB - sinB)csA = 0 ．
(1)求角A 的大小；
(2)若b = 2 ，求V ABC 的面积；
(3)求b+ c 的取值范围．
19 ．如图，四棱锥P - ABCD 的底面是正方形，PD 丄 底面ABCD ，点 E 在棱PB 上．
(1)求证：平面AEC 丄 平面PDB ；
(2)当PD = 2AB ，且 E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
1 ．C
根据直观图与斜二测画法的定义求解.
【详解】由题可知，V ABC 为直角三角形，且AC 丄 BC ，如图：
由斜二测画法知AC = A¢C ¢ = 4, BC = 2B¢C ¢ = 6 ，所以S△ 故选：C.
2 ．A
设点P 的坐标为(x, y)，根据平面向量的坐标运算可得出关于 x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即 可得出点P 的坐标.
【详解】点 A(3, -2) 、B (-5, -1) ，且 ，
设点P 的坐标为(x, y) ，则
所以 求得 故点P 的坐标为 ， 故选：A．
3 ．C
利用三角函数诱导公式cs(π - A) = - csA及定义法求向量数量积．
【详解】解：V ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
C
D
B
C
ABC
CD
题号
11
答案
AB
uuu→
uuu→ uuu→
CA
则CA. AB =
uuu→
. AB cs(π - A) = -bc cs A = -1 ，
故选：C．
【详解】因为 丄 ,所以 . = b(b - c) + (c - a)(c + a) = 0 ,
即b2 -bc + c2 - a2 = 0 ,所以 因为A∈(0, π ) ,故 故选：B．
5 ．C
作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积. 【详解】由题意可知，圆锥的母线l = 4 ，底面半径 r = 1，
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：
根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆O ，即为等腰V ABC 的内切圆， 即OE 丄 AC ，AD 丄 BC ，OD = OE ，CD = CE ，
在Rt△ADC 中，AD2 + CD2 = AC2 ，由 AC = l = 4 ，CD = r = 1 ，则 ， 在Rt△AOE 中，AE2 + OE2 = AO2 ，即 2 + OE2 =
可得 解得 即内切球的半径 ， 故内切球体积为
故选：C.
6 ．D
设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案. 【详解】设 z = a + bi ，则z + 2z = a + bi + 2 (a -bi) = 3a -bi ，
即3a -bi = 3 + i ，解得 z = 1- i ，
所以 故选：D.
7 ．B
连结A1D ，BD ，根据题中条件，得到异面直线 MN 与DD1 所成角即为直线A1D 与DD1 所成角，进而可求出 结果.
【详解】
连结A1D ，BD ，因为在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M，N 分别为AC, A1B 的中点，
所以MN Ⅱ A1D ，
因此，异面直线MN 与DD1 所成角即为直线A1D 与DD1 所成角，即上A1DD1 ，显然为 45° . 故选：B
8 ．C
利用向量的线性运算将 -→ 用 -→ 与 -D-→ 表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解.
因为 所以 ，
因为B, E, D 三点共线，所以 解得 .
故选：C
9 ．ABC
A 利用复数的模的定义计算；B 利用复数的加法运算；C 先计算z1 - z2 ，再利用共轭复数的定义；D 利用复 数的乘法运算.
【详解】由题意可得 则 z1 = z2 ，故 A 正确；
z1 + z2 = 3 + i +1- 3i = 4 - 2i ，故 B 正确；
z1 - z2 = 3 + i - = 2 + 4i ，则 故 C 正确；
iz1 = i (3 + i) = -1+ 3i ≠ z2 ，故 D 错误.
故选：ABC
10 ．CD
由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断 A 选项；由梯形面积公式即可判断 BC 选项；由圆台侧面展开图 结合勾股定理即可判断 D 选项．
如图① , 作BE 丄 CD 交CD 于 E，则
则 则圆台的高为2 cm ，故 A 错误；
圆台的轴截面面积为 故 B 错误，C 正确；
将圆台的一半侧面展开，如图@，设 P 为AD 的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开 为扇形COD ，
可得大圆锥的母线长为8cm ，底面半径为 4cm ，圆锥侧面展开图的圆心角为 连接CP ，可得 上COP = 90° , OC = 8cm, OP = 4 + 2 = 6(cm) ，则
所以沿着该圆台表面从点 C 到AD 中点的最短距离为10cm ，故 D 正确．
故选：CD．
11 ．AB
应用正弦定理及边角关系判断 A 、B 、D；由余弦定理易得C 为锐角，而角A 和角B 是否为锐角无法确定， 即可判断 C.
因为sinB ∈(0, 1] ，所以 故 A 正确；
因为 则 故 B 正确；
由余弦定理 可知C 为锐角，
但无法判断角A 和角B 是否为锐角，V ABC 不一定为锐角三角形，故 C 错误；
由正弦定理得 即sinB = ，又b > a ，所以 B > A ，所以 B = 或 ，故 D 错误. 故选：AB
12 ．5
利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.
【详解】因为复数i(3 - 2i) + 2i = 3i - 2i2 + 2i = 2 + 5i ， 所以该复数的虚部为 5．
故答案为：5.
13 ．
利用等体积VC-PAB = VP-ABC 计算即可.
【详解】因 PC 丄 平面ABC ，则 PC 为三棱锥P - ABC 的高，
由PC 丄 平面ABC ，AC Ì 平面ABC ，则 PC 丄 AC ， 在直角VPCA 中，PA = = ，同理PB = ，
则等腰VPAB 的底边AB 上的高为 则S△ ,
设点 C 到平面PAB 的距离为△ 得
故答案为： .
14 ．
→
利用投影向量的定义求出| b |，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由 在 方向上的投影向量为 ，得 |. b| = ，则 |. b| = ，而 . = 6 ，
于是| |= + |= = = ·、i37 .
故答案为：、
15 ．(1)1+ 2i ，2 - i
(2) λ = 1
（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果；
（2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 z = i4 + (1- i)2 = 1- 2i ，所以 z =1+ 2i
因为 所以
→ → → →
（2）由（1）可知 a = (1, 2), b = (2, -1) ，则 λa + b = λ(1, 2) + (2, -1) = (λ+ 2, 2 λ-1) ，
- = (-1, 3) ，因为(λ+）丄( - + 2)+ 3(2λ-1) = 0 ，
解得 λ = 1 .
(2)
（1）运用平方关系求出 sin A = ，sin 上ADB = ，
由于cs 上BDC = cs π - (上A + 上ADB) = - cs (上A + 上ADB) ，
借助和角公式求出cs 上BDC 即可．再用正弦定理求出AD = 5 即可；
（2）在△ABD 中，由正弦定理求出BD ，再用余弦定理求出 BC 即可. 【详解】（1）因为 AB Ⅱ CD ，AB = 2 ，cs 上ADB = ，cs A = ，
所以 上 由于上A + 上ADB + 上ABD = π ,又 AB Ⅱ CD ，∴ 上ABD = 上BDC ， ∴上BDC = π - (上A + 上ADB)，
则cs 上BDC = cs π - (上A + 上ADB) = - cs (上A + 上ADB)
= - cs 上Acs 上ADB + sin 上Asin 上ADB = × 2 - × 1 = ，
3 3 3 3 9
所以sin 上
在 △ADB 中，由正弦定理得
所以 所以AD = 5 .
（2）在△ABD 中，由正弦定理得 可得 解得BD = 3 .
由于cs 上 ，
在△BCD 中，由余弦定理可得
17 ．(1)证明见解析
（1）取 AB 的中点P ，连接PE, PF ，只需证PFC1E 为平行四边形，由此 FC1 // PE ，进而可证FC1 // 平面
ABE ；
（2）由题干条件可知底面为等腰直角三角形，且直棱柱高为 1，利用三棱柱的体积和表面积公式即可算出 答案.
【详解】（1）如图，取 AB 的中点P ，连接PE, PF ，
因为F 为BC 的中点， 所以 ， 因为四边形ACC1A 1 为平行四边形，E 为A1C1 的中点，
所以EC1 //AC, 且 所以PF//EC1 , 且PF = EC1 ， 所以四边形PFC1E 为平行四边形，所以 FC1 // PE ，
又因为FC1 Ë 平面ABE ，PE Ì 平面ABE ， 所以FC1 // 平面ABE ；
（2）因为 AB = BC = 1, AC = ，即 AB2 + BC2 = AC2 ，由勾股定理的逆定理可知 AB 丄 BC ， 且在直三棱柱ABC - A1B1C1 中，A1A = 1 为高，由三棱柱的体积公式可得体积 表面积为 5 个面面积之和
18 ．
(2) + 3
(3) (6, 4
（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；
（2）先利用余弦定理求得 c = + ，进而可求面积；
æ πö
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得b + c = 4sin B + 6 ，结合正弦函数的有界性运算求 解.
【详解】（1）因为
csC + (csB - sinB)csA = - cs (A + B ) + (csB - sinB)csA = sin B(sin A - cs A) = 0 ， 且 则sin B ≠ 0 ，可得sin A - cs A = 0 ，
整理得tan A = ，所以
（2）由余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc csA ，即 解得c = + 或c = - （舍去），
所以V ABC 的面积
（3）由正弦定理 可得b = 4 sin B, c = 4 sin C ， 则b + c = 4 sin B + 4sin C = 4sin B + 4 sin (A+ B)= 4sin B + 2 sin B + 2cs B
因为V ABC 为锐角三角形，且 则 解得 则 可得 ，
所以b+ c 的取值范围为(6, 4 .
19 ．(1)证明见解析
(2) 45°
（1）先证 AC 丄 平面PDB ，再根据线面垂直证明面面垂直；（2）先构造出直线 AE 与平面PDB 所成的角， 再根据三角形的边角关系求角.
【详解】（1）设 AC∩ BD = O ，连接 EO，如图：
Q 四边形ABCD 是正方形，所以AC 丄 BD .
因为PD 丄 底面ABCD ，AC Ì 底面ABCD ，所以 PD 丄 AC .
又PD ∩ BD = D ，PD ，BD Ì 平面PDB ，所以 AC 丄 平面PDB .
因为AC Ì平面AEC ，所以平面 AEC 丄 平面PDB .
（2）由( 1) 知AC 丄 平面PDB 于O ， :上AEO 为AE 与平面PDB 所的角， :O ，E 分别为DB 、PB 的中点，
又Q PD 丄 底面ABCD ，
:OE 丄 底面ABCD ，AO Ì底面ABCD ，OE 丄 AO ， 在Rt△AOE 中
:上AEO = 45° ,即 AE 与平面PDB 所成的角的大小为45° .